初中數(shù)學(xué)一題多解與一題多變

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案初中數(shù)學(xué)一題多解與一題多變時(shí)代在變遷，教育在進(jìn)步，理念在更新。前兩年提出考試要改革， 有了指導(dǎo)意見，于是一批批探索性、開放性和應(yīng)用性試題不斷涌 現(xiàn)；如今又提出課程要改革，有了課程標(biāo)準(zhǔn)，其中突出了學(xué)生自 主探索的學(xué)習(xí)過程，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用數(shù)學(xué)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，鼓勵(lì)教師創(chuàng)造 性教學(xué)，學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。面臨這種嶄新的教育形勢(shì)，我們會(huì)思考這樣一些問題：教學(xué)要 如何從靜態(tài)轉(zhuǎn)為動(dòng)態(tài)？怎樣有效地指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立地分析問題、解決問題，形成有效的學(xué)習(xí)策略，提高效益？該如何引導(dǎo)和組織學(xué)生從事觀 察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興 趣和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力？等等。我個(gè)人在實(shí)際教學(xué)過程中，對(duì)

2、這些問題作過一些深思和一些嘗試，其中比較突出的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行 一題多解和一題多變的訓(xùn)練。下面，我提出幾個(gè)實(shí)例來分析其引導(dǎo)過 程與方法，拋磚引玉，僅供參考。一、一題多解，多解歸一對(duì)于“一題多解"，我是從兩個(gè)方面來認(rèn)識(shí)和解釋的：其一，同一 個(gè)問題，用不同的方法和途徑來解決；其二，同一個(gè)問題,A其結(jié)論是 多元的，即結(jié)論開放性問題。一題多解，有利于溝通各知識(shí)的內(nèi)涵和 外延，深化知識(shí)，培養(yǎng)發(fā)散性和創(chuàng)造性思維；于而歸4,有利心 分析問題和解決問題的通性、通法，從中擇優(yōu)，培養(yǎng)聚合思維。例1:如圖，已知 D E在BC上，AB=AC AD=AE求證：BD=CE.（本題來自幾何第2冊(cè)69頁例3）思路與解

3、法一：從 ABCffl ADEM等腰三角形這一角度出發(fā)，利用” 等腰三角形底邊上的三線合一”這一重要性質(zhì)，便得三種證法，即過點(diǎn)A作底邊上的高，或底邊上的中線或頂角的平分線。其通法是"等腰三角形底邊上的三線合一二證得BH=CH.思路與解法二：從證線段相等常用三角形全等這一角度出發(fā)， 本題可 設(shè)法證 ABN zACE或證AABm A ACID于是又得兩種證法，而證 這兩對(duì)三角形全等又都可用 AAS ASA SAS進(jìn)行證明，所以實(shí)際是六 種證法。其通性是"全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等"。思路與解法三：從等腰三角形的軸對(duì)稱性這一角度出發(fā)， 于是用疊合 法可證。例2:已知，如圖，在

4、。中，AD是直徑，BC是弦，AD±BQ E為垂足，由這些條件你能推出哪些結(jié)論?字母，不寫推理過程）思路與解法一：從相等的線段這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：D1.OA=OD2.BE=CE3.AB=AC4.BD=CD.思路與解法二：從相等的角這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：1. /AEC= AEBh BED= CED =/ABD= ACD=R£ ;2. /ABC= ACB3. / DBC= DCB4. / BAD= CAD5. / BDA= CDA6. / BAD= BCD7. / CBD= CAD8. /ABC= ADC9. /ACB= ADB.思路與解法三：從相等的弧這一角度出發(fā)

5、，可得如下結(jié)論：1 .弧AB哪AQ2 .弧BD孤CD3 .弧 ABD瓠 ACD4 .弧 ABC瓠 ACB5 .弧 BAD瓠 DAC.思路與解法四：從全等三角形這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：1. AAEE3AAEC2. ABEBACED3. AABBA ACD.思路與解法五：從相似三角形這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論： AB曰AACE CD9 BD曰 ABN ACD即圖中所有的直角三 角形兩兩相似。思路與解法六：從比例線段這一角度出發(fā)，可得如下結(jié)論：1. AE DE=EB EC2. BE2=EA ED=EC3. A隹AE AD=AC4. bD=de da=dC思路與解法七：從其它一些角度去思考，還可得

6、如下一些結(jié)論：1. aU+bE=a的aC=aU+eC2. bV+e6=bD=cD=cE+dE3. /BAC廿 BDC=1804. /BAE吆ABE=9015. S四邊形 ABCD =2AD BC6. S形 ABC = S形 ACB以上兩例分別從解法和結(jié)論發(fā)散性地分析與解決問題，其中例2雖然不要求寫推理過程，但實(shí)際在分析過程中蘊(yùn)含著異常豐富的思維 和推斷過程，如此便能很好地鍛煉觀察、猜想、推斷、驗(yàn)證等探求能 力和有效地發(fā)展創(chuàng)造性思維能力。二、一題多變，多題歸一知識(shí)是靜態(tài)的，思維是活動(dòng)的；例、習(xí)題是固定的，而它的變化 卻是無窮的。我們可以通過很多途徑對(duì)課本的例、 習(xí)題進(jìn)行變式，如： 改變條件、改變

7、結(jié)論、改變數(shù)據(jù)或圖形；條件引申或結(jié)論拓展；條件 開放或結(jié)論開放或條件、結(jié)論同時(shí)開放等。通過一題多變、多題歸一 的訓(xùn)練，可以把各個(gè)階段所學(xué)的知識(shí)、知識(shí)的各個(gè)方面緊密聯(lián)系起來， 加深對(duì)知識(shí)的理解，認(rèn)識(shí)和體會(huì)數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，但更重要的是可以 起到以一當(dāng)十，解一道題懂一類題，提高效率的目的，激發(fā)學(xué)生的學(xué) 習(xí)興趣、創(chuàng)新意識(shí)和探索精神，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。例3:已知，如圖，AB是。的直徑，CD是弦，AH CD垂足為E,BF，CD垂足為F,求證：EC=DF.變式一：如圖，已知 AB是。的直徑，CD是弦，AU CD于E, BFXC葉 F, BF交。于 G 下面的結(jié)論：1.EC=DF 2.DE=CF

8、3.AE=GF4.AE+BF=ABK 正確的有（）A.1、4B.2、3、4C.1、2、3D.1、2、3、4變式二：把直線EF和直徑AB的相對(duì)位置加以變化，即圖形變化，條件和結(jié)論均不變，便得新題，變化后的圖形如下：ACD變式三：把直線EF和圓的位置關(guān)系由一般的相交變?yōu)橄嗲?，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線 MN和。切于點(diǎn)C, AB是。的直徑，AC是弦，AE! MN E, BF± MNT F,文檔(1)求證：AC平分/ BAE(2)求證：AB=AE+BF(3) 求證：EF 2 =4EA BF(4)如果。的半徑為5, AC=6試寫出以AE BF的長為根的一元 二次方程.變式四：

9、把直線EF動(dòng)起來，由相切變?yōu)橄嘟?，在運(yùn)動(dòng)變化過程中猜 想并推斷原有的結(jié)論是否仍成立，即把原來的封閉型試題演變?yōu)閯?dòng)態(tài)幾何探索題。題目如下:(1)如圖，AB是。的直徑，直線L與。有一個(gè)公共點(diǎn)C,過A、B分別作L的垂線，垂足為 E F,則EC=CF.（2）上題中當(dāng)直線L向上平行移動(dòng)時(shí)，與。O有了兩個(gè)交點(diǎn)C1、C2 , 其它條件不變，如圖，經(jīng)過推證，我們會(huì)得到與原題相應(yīng)的結(jié) 論：EC1=FC2（3）把L繼續(xù)向上平行移動(dòng)，使與弦C1C西AB交于點(diǎn)P（P不與A、 B重合），在其它條件不變的情形下，請(qǐng)你在圓中將變化后的圖 形畫出來，標(biāo)好對(duì)應(yīng)的字母，并寫出與（1）、（2）相應(yīng)的結(jié)論 等式，判斷你寫的結(jié)論是否成立，若不成立，說明理由；若成 立，給予證明。結(jié)論:證明結(jié)論成立或不成立的理由：象以上這種一題多解與一題多變的題例，在我們的教學(xué)過程中， 如果有意識(shí)的去分析和研究，是舉不勝舉、美不勝收的。我想，拿到 一個(gè)題目，