(完整版)6-1-22雞兔同籠問題(二).教師版

1、6-1-9.雞兔同籠問題（二）6-1-9.雞兔同籠問題（二）.題庫教師版page 7 of 7目教學(xué)目標(biāo)1 .熟悉雞兔同籠的砍足法”和假設(shè)法”.2 .利用雞兔同籠的方法解決一些實(shí)際問題，需要把多個(gè)對(duì)象進(jìn)行恰當(dāng)組合以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)對(duì)象.目地比知識(shí)精講一、雞兔同籠這個(gè)問題，是我國古代著名趣題之一.大約在 1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題.書 中是這樣敘述的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有 35個(gè)頭；從下面數(shù)，有 94只腳.求籠中各有幾只雞和兔？你會(huì)解答這個(gè)問題嗎？你想知道孫子算經(jīng)中是如何解答這個(gè)問題的嗎？

2、 二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了 獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了 雙 腳兔”.這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了 47只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1.因此，腳的總只數(shù) 47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即 47 35 12 （只）.顯然，雞的只數(shù)就是 35 12 23 （只）了.這一思路新穎而奇特，其 砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已.除此之外，雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路假設(shè)法假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比 較，做差除二兔找到.解雞兔同籠問題的基本關(guān)系

3、式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有：數(shù)二（每只兔子腳數(shù) 加兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）+（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有：兔數(shù)二（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)加兔總數(shù)）+（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù) 當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí)，腳的關(guān)系：兔子是雞的2倍當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí)，頭的關(guān)系：雞是兔子的2倍在學(xué)習(xí)的過程中，注重假設(shè)法的運(yùn)用，滲透假設(shè)法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等 專題中也都會(huì)接觸到假設(shè)法且獨(dú)隹例題精講兩個(gè)量的 雞兔同籠”問題一一變例【例1】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有 20道題，每道題做對(duì)得 5分，沒做或做錯(cuò)都要扣 2分，小聰?shù)昧?79分，他做對(duì)了多少道題

4、?【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 做錯(cuò)（5 20 79 ）（5 2） 3 （道），因此，做對(duì)的20 3 17 （道）.【答案】17道【鞏固】 數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有20道題，規(guī)定做對(duì)一道得 5分，做錯(cuò)或不做倒扣 3分，趙天在這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中得了60分，他做對(duì)了幾道題？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 假設(shè)他將所有題全部做對(duì)了，則可得 100分，實(shí)際上只得了 60分，比假設(shè)少了 40分，做錯(cuò)一題要 少得8分，少得的40分中，有多少個(gè)8分，就是他做錯(cuò)的題的數(shù)量，則知他做對(duì)了15道.【答案】15道【鞏固】 東湖路小學(xué)三年級(jí)舉行

5、數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共20道試題.做對(duì)一題得5分，沒有做一題或做錯(cuò)一題都要倒扣2分.劉鋼得了 86分，問他做對(duì)了幾道題？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 這道題也類似于 雞兔同籠”問題.假設(shè)劉鋼20道題全對(duì)，可得分 5 20 100 （分），但他實(shí)際上只得86分，少了 100 86 14 （分），因此他沒做或做錯(cuò)了一些題.由于做對(duì)一道題得5分，沒做或做錯(cuò)一道題倒扣 2分，所以沒做或做錯(cuò)一道題比做對(duì)一道題要少5 2 7 （分）.14分中含有多少個(gè)7,就是劉鋼沒做或做錯(cuò)多少道題.所以，劉鋼沒做或做錯(cuò)題為14 7 2（道），做對(duì)題為20 2 18（道）.【答案】18道

6、【鞏固】 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試題共有 10道，每做對(duì)一題得 6分，每做錯(cuò)一題倒扣 2分。小紅最終得44分，做 對(duì)的題比做錯(cuò)的題多 道?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級(jí)，第8題，假設(shè)思想方法【解析】60 44 8 2,做錯(cuò)2道題，做對(duì)8道題，對(duì)的比錯(cuò)的多 6道。【答案】多6道【鞏固】 次數(shù)學(xué)競(jìng)賽有10道試題，若小宇得 70分，根據(jù)圖5中兩人的對(duì)話可知小宇答對(duì) 題。圖5【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第 12題【解析】設(shè)答對(duì)了 x道題，那么10x 5 （10 x） 70,所以x 8,也就是小宇答對(duì)了 8道題?！敬鸢浮?題

7、【鞏固】 一次口算比賽，規(guī)定：答對(duì)一題得8分，答錯(cuò)一題扣5分。小華答了 18道題，得92分，小華在此 次比賽中答錯(cuò)了 道題?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 12題【解析】 假設(shè)他全答對(duì)了，應(yīng)該的 18 >8=144分，實(shí)際上少了 144-92=52分，每答錯(cuò)一道題少 8+5=13分，答 錯(cuò)了 52 43=4道題?！敬鸢浮?題【例2】某工人與老板簽訂了一份 30天的勞務(wù)合同：工作一天可得報(bào)酬48元，休息一天則要從所得報(bào)酬中扣掉12元。該工人合同到期后并沒有拿到報(bào)酬，則他最多工作了 天?！究键c(diǎn)】和倍問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，

8、四年級(jí)，二試，第 5題【解析】方法一：假設(shè)他沒有休息他會(huì)得30 48=1440 （元），休息一天會(huì)少 48 12=60 （元），所以他休息了 1440 60=24 （天），他工作了 30 24=6 天方法二：工作一天休息 4天剛好抵消，那么最后沒拿到錢，他只工作了30+1）=6天?！敬鸢浮?天【例3】春風(fēng)小學(xué)3名云參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共 10道題，答對(duì)一道題得 10分，答錯(cuò)一道題扣 3分，這3名同學(xué) 都回答了所有的題，小明得了87分，小紅得了 74分，小華得了 9分，他們?nèi)艘还泊饘?duì)了 道題.【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】三人共得87 74 9 170（分

9、），比滿分10 10 3 300（分）少300 170 130（分）因此三個(gè)人共做錯(cuò)：130 （10 3） 10（道）題，共答對(duì)了 30 10 20（道）題【答案】20【例4】張明、李華兩人進(jìn)行射擊比賽，規(guī)定每射中一發(fā)得20分，脫靶一發(fā)扣12分，兩人各射了 10發(fā)，共得208分，其中張明比李華多 64分，則張明射中 發(fā)?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】張明得分（208+64） 2= 136分，根據(jù)雞兔同籠，張明脫靶（20 X0136）（20+ 12） = 2,射中 8 發(fā)?！敬鸢浮?發(fā)【鞏固】 小明和小剛進(jìn)行數(shù)學(xué)解題能力對(duì)抗賽，兩人商定，對(duì)一題

10、得20分，不答或答錯(cuò)一題扣 12分。兩人各解答了 10道題，一共得208分，又知道小明比小剛多得64分。那么小剛做對(duì)了 道題?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，初試， 10題【解析】小剛得了 208 64 2 72 （分），如果小剛10道題都做對(duì)了，應(yīng)得 200分，實(shí)際得72分，所以錯(cuò)了 200 7220 124 （道），做對(duì)了 10 4 6 （道）?！敬鸢浮?道【鞏固】 有兩次自然測(cè)驗(yàn)，第一次 24道題，答對(duì)1題彳導(dǎo)5分，答錯(cuò)（包含不答）1題倒扣1分；第二次15道 題，答對(duì)1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì) 30道題，但第一次測(cè)驗(yàn)得分 比

11、第二次測(cè)驗(yàn)得分多 10分，問小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】法一：如果小明第一次測(cè)驗(yàn)24題全對(duì)，得5 24 120（分）.那么第二次只做對(duì)30 24 6（題）得分是8 6 2 （15 6） 30（分）.兩次相差120 30 90（分）.比題目中條件相差10分，多了 80分.說明假設(shè) 的第一次答對(duì)題數(shù)多了，要減少.第一次答對(duì)減少一題，少得 5 1 6（分），而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8 2 10分.兩者兩差數(shù)就可減少 6 10 16（分）.（90 10） （6 10） 5（題）.因此，第一次答對(duì)題數(shù)要

12、比假設(shè)（全對(duì)）減少5題，也就是第一次答對(duì)19題，第二次 答又30 19 11 （題）.第一次得分5 19 1 （24 9） 90 .第二次得分 8 112 （15 11） 80.法二：答對(duì)30題，也就是兩次共答錯(cuò) 24 15 30 9（題）.第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去5 1 6（分），第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去8 2 10（分）.答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差6 10 16 （分）.如果答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去6 9 .但兩次滿分都是120分.比題目中條 件 第一次得分多10分”，要少了 6 9 10.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是 （6 9 10） （6 10） 4（題）.第一次答

13、錯(cuò)9 4 5（題）. 第一次得分5 （24 5） 1 5 90 （分）.第二次得分8 （15 4） 2 4 80 （分）. 【答案】第一次得分 90分.第二次得分80分.【例5】某旅游點(diǎn)有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價(jià)格為30元，成人票的價(jià)格為 40元，如果是團(tuán)體還可以買平均 32元一位的團(tuán)體票，一個(gè)由 8個(gè)家庭組成的旅游團(tuán)（每個(gè)家庭由兩位大人， 或兩個(gè)大人、一個(gè)小孩組成）來景點(diǎn)旅游，如果他們買團(tuán)體票那么可以比他們各買各的少花120元,問這個(gè)旅游團(tuán)一共有多少人？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】每個(gè)三口之家可以少花 30 40 40 32 3

14、 14 （元），每個(gè)二口之家可以少花 40 40 64 16 （元）， 如果這8個(gè)家庭都是三口之家，那么一共少花14 8 112 （元），所以這8個(gè)家庭中有 （120 112） （16 14） 4 （個(gè)）家庭是二口之家， 所以這個(gè)旅防I團(tuán)一共有 4 2 （8 4） 3 20 （人）.【答案】20人【例6】一張數(shù)學(xué)試卷，只有25道選擇題.做對(duì)一題得4分，做錯(cuò)一題倒扣1分；如不做，不得分也不扣分.若 小明得了 78分，那么他做對(duì) 題，做錯(cuò) 題，沒做 題.【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法，祖沖之杯【解析】這道題不是普通的雞兔同籠問題，需要尋找一些特殊的線索.小明得了

15、 78分，而且只有做對(duì)了題目才能得分.78 4 19,所以可以知道小明至少做對(duì) 20道題目，否則一定低于 4 19 76（分）；再假設(shè)他做對(duì)21題，發(fā)現(xiàn)即使另外四題都錯(cuò)，小明仍然有4 21 1 4 80（分），超過了 78分，所以小明至多做對(duì)20道題目；綜上，可以斷定小明做對(duì)了 20道題.至此本題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單雞兔同籠問題.假設(shè)剩下5題全部沒做，那么小明應(yīng)得 4 20 80（分）.但是只得了 78分，說明又倒扣了 2分，說明錯(cuò)了 2道題，3道題沒做.所以小明做對(duì)了 20道題，做錯(cuò)了 2道題，沒做3道題.【答案】對(duì)了 20道題，做錯(cuò)了 2道題，沒做3道題【例7】一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡

16、車裝載只要 36輛.已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸.利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4 36 144 （噸）.根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45 36 9（輛）小卡車.這樣每輛小卡車能裝144 9 16（噸）.由 此可求出這批鋼材有 720噸.【答案】720噸【例8】下面是小波和售貨員阿姨的一段對(duì)話：小波：“阿姨，您好！”售貨員：“同學(xué)，你好.想買點(diǎn)什么？”小波：“我

17、只有 100元，請(qǐng)幫我安排買10支鋼筆和15本筆記本.”售貨員：“好，每支鋼 筆比每本筆記本貴 2元，退你5元，請(qǐng)拿好.再見.”根據(jù)這段對(duì)話，則鋼筆每支是 元， 筆記本每本是 元.【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】 學(xué)而思杯，4年級(jí)，第14題【解析】一共花了 100 5 95元。如果是買25本筆記本可以少花10 2 20元，即75元。所以每本筆記本3元， 每支鋼筆5元【答案】5元【例9】買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比 4分的郵票多 40張,那么兩種郵票 各買了多少張【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 解一:如果

18、拿出40張8分的郵票，余下的郵票中 8分與4分的張數(shù)就一樣多.（680-8 沖0）葉8+4）=30（張）,這就知道，余下的郵票中,8分和4分的各有30張.因此8分郵票有 40+30=70（張）.解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件"8分比4分多40張"，那么應(yīng)有60張8分.以"分"作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是4X20+8 >60=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是（680-4 20-8 60） （4+8）=10（張）.因此4分有20+10=30（張）

19、,8分有60+10=70（張）.【答案】4分有30張,8分有70張.【例10】喜羊羊的存錢罐中只有5角和1元的硬幣共100枚，其中5角的硬幣比1元的硬幣多20元，喜羊羊的存錢罐中總共有 錢?！究键c(diǎn)】盈虧問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】 學(xué)而思杯，4年級(jí)，第3題【解析】60元。20 0.5 40 枚，100 403 20 枚，20100 20 0.5 60 元?！敬鸢浮?0元【例11】小同有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒，存放的都是硬幣，其中 2分幣比5分幣多22個(gè)；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個(gè)1分幣.小同共存了多少錢？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【

20、解析】假設(shè)去掉22個(gè)2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個(gè)5分幣比一個(gè)2分幣多3 分，所以5分幣有84 （5 2） 28 （個(gè)），2分幣有28 22 50 （個(gè)），5 28 2 50 1 36 140 100 36 276 （分）.【答案】276分【例12】現(xiàn)有大小油桶50個(gè)，每個(gè)大桶可裝油 4千克，每個(gè)小桶可裝油2千克，大桶比小桶共多裝油20千克，問大小桶各多少個(gè) ？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】方法一：假設(shè)50個(gè)油桶都是大桶，則共裝油 （4 50） 200千克，而這小桶所裝油則為0.這樣大桶比小桶多裝200千克，比條件所給的差數(shù)多了

21、（200 80） 180千克，若在50個(gè)大桶中把一部分大桶換成小桶，則每拿一個(gè)大桶換成小桶，大桶裝的油就減少4千克，而小桶共裝的油就增加2千克，那么大桶比小桶多裝的數(shù)量就減少（4 2） 6千克，所以小桶有： 180 6 30（個(gè)），大桶有：50 30 20（個(gè)）. 方法二：這道題也可以用另外一種假設(shè)；每個(gè)大桶比每個(gè)小桶多裝2千克，如果大小桶同樣多，大桶要比小桶共多裝20千克，則應(yīng)該大小桶各20 （4 2） 10個(gè)，現(xiàn)在共有 50個(gè)桶，在剩下的（50 10 2） 30個(gè)桶中，大小桶應(yīng)裝同樣多的油，而每個(gè)大桶裝的油是每個(gè)小桶裝的（4 2） 2倍，那么在這30個(gè)桶中，應(yīng)該有30 （1 2） 10個(gè)大

22、桶，（30 10） 20個(gè)小桶；所以可求出 50個(gè)桶中， 有大小桶各多少個(gè).解：20 （4 2） 10（個(gè)）（50 10 2） （1 2） 10 （個(gè)）（大桶） 10 10 20（個(gè)）（大桶共有）50 20 30（個(gè)）（小桶共有）【答案】大桶20個(gè)，小桶30個(gè)【例13】 大、小猴共35只，它們一起去采摘水蜜桃.猴王不在時(shí)，一只大猴一個(gè)小時(shí)可采摘15千克，一只小猴子一小時(shí)可摘 11千克；猴王在場(chǎng)監(jiān)督的時(shí)候，每只猴子不論大小每小時(shí)都可以多采摘12千克.一天，采摘了 8小時(shí)，其中第一小時(shí)和最后一小時(shí)猴王在監(jiān)督，結(jié)果共采摘了 4400千克水蜜桃.在這個(gè)猴群中，共有小猴子多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難

23、度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】其實(shí)大猴子和小猴子就相當(dāng)于雞兔問題中的雞和兔.但是卻有猴王來搗亂，所以我們先讓猴王消 失.一天中，猴王監(jiān)視了2小時(shí)，假設(shè)猴王一直都不在，同猴王在時(shí)相比，每只猴子每小時(shí)都會(huì)少采12千克，那樣猴群只能采摘 4400 35 2 12 3560（千克）；這是一天也就是 8小時(shí)的工作量，據(jù) 此可以求出這群猴每小時(shí)采 3560 8 445（千克）；假設(shè)都是大猴子，應(yīng)該每小時(shí)采摘15 35 525（千 克），比實(shí)際多采了 525 445 80（千克）.而每只小猴子被假設(shè)成大猴子，會(huì)多采15 11 4（千克）.因此可以求出小猴子有：80 4 20（只）.【答案

24、】20只【例14 今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002年）父的年齡是弟 的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的 3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】4年后，兩人年齡和都要加 8.此時(shí)兄弟年齡之和是 17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的 年齡看作"雞"頭數(shù)，弟的年齡看作"兔”頭數(shù).25是"總頭數(shù)".86是"總腳數(shù)”.根據(jù)公式，兄的年齡是 （25 486） （4-3）=14（歲）.1998年，兄年齡是 14-4=10（歲）.父年齡是 （25-14） 4-4=40（歲）.因此，當(dāng)父的 年齡是兄的年齡的 3倍時(shí)，兄的年齡是（40-10） （3-1）=15（歲），這是2003年.【答案】2003年【例15】一份稿件，甲單獨(dú)打字需 6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成 現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了 7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)，甲每小