最新講義基本不等式

1、精品文檔第3講基本不等式知識(shí)梳理j a+ b1 .基本不等式y(tǒng)/Obv 2(1)基本不等式成立的條件：a>0, b>0 .(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2 .算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0, b>0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為a=,幾何平均數(shù)為強(qiáng)，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)示小于它們的幾何平均數(shù).3 .利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0, y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x= y時(shí),x + y有最小值是 Rp.(簡(jiǎn)記：積定和最小)2(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x= y時(shí),xy有最大值是女.(簡(jiǎn)記：和定

2、積最大)做一做1 .已知a, bC (0, +oo ),若ab= 1,則a+b的最小值為 ；若a+b=1,則ab的最大值為 .12 4要點(diǎn)搭合3 .辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三個(gè)條件缺一不可；(2)連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致.4 .活用幾個(gè)重要的不等式a2+b2>2ab(a, bCR)； b + a>2(a, b 同號(hào)). a bi,za+ b /_i'a+ b。a2+ b2_abw2-/(a, bCR)； -2i<2(a, bC R).5 .巧用“拆” “拼” “湊”在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”

3、“拼” “湊”等技巧，使其滿足基本不等式中 “正” “定” “等”的條件.考點(diǎn)一利用基本不等式證明不等式規(guī)律方法利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等.1. "a>0且b>0”是“嚶> 眄成立的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件 A4 ,2.若x>1,則x+的最小值為.x- 15已知 a>0, b>0

4、,求證:a+ b= 1,，互動(dòng)探究在本例條件下，求證1 1,一+ -> 4. a b跟蹤訓(xùn)賽1.設(shè)a, b, c都是正數(shù)，求證:bc , ac , ab ，一+ + > a+ b+ c.a b c考點(diǎn)二_利用基本不等式求最值(高頻考點(diǎn))利用基本不等式求最值是高考的?？純?nèi)容，題型主要為選擇題、填空題.高考對(duì)利用基本不等式求最值的考查常有以下三個(gè)命題角度：(1)知和求積的最值；(2)知積求和的最值；(3)求參數(shù)的值或范圍.規(guī)律方法利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：一正二定三相等.(1) “ 一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；(2) “二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二

5、項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必須把構(gòu)成 積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3) “三相等”即檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，判斷等號(hào)能否取到，只有等號(hào)能成立，才能利用基本不等式求最1 1當(dāng)0<x<2時(shí)，函數(shù)y = 2x(1 2x)的最大值為 .(2)(2014高考重慶卷)若log4(3a+ 4b)=log20b,則a+b的最小值是()A. 6+2#B. 7+2V3C. 6+4/3D. 7+473(3)(2015吉林長(zhǎng)春調(diào)研)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x, y滿足2+；=1,并且x+2y>m2+2m恒成立，則實(shí)數(shù) m的取值 范圍是()A . (一 00, - 2) U 4 , +°0)B.(巴4

6、 U 2 , +8)C. (-2, 4)D. (-4, 2)1上(2)D (3)D,2x2.(1)當(dāng)x>。時(shí)，f(x)=x22x的最大值為 . 4(2)若x<3,則函數(shù)f(x) = -+x的取大值為 x 3(3)已知函數(shù)y = ax+3-2(a>0 , a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn) A,若點(diǎn)A在直線mm+；= 1上，且m, n>0,則3m精品文檔精品文檔+ n的最小值為.(4)已知正實(shí)數(shù)a, b滿足a+2b=1,則a2 + 4b2+上的最小值為 17(1)1(2)-1 (3)16 (4)萬(wàn)考點(diǎn)三 利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題規(guī)律方法應(yīng)用基本不等式解實(shí)際問(wèn)題的步驟：理解題意，設(shè)變量

7、；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；寫(xiě)出正確答案.6斷 小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為W(x)萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足 8萬(wàn)件時(shí)，W(x) = gx23+ x(萬(wàn)元).在年產(chǎn)量不小于 8萬(wàn)件時(shí)，W(x) = 6x+10038(萬(wàn)元).每件產(chǎn)品售價(jià)為 5元.通過(guò)市場(chǎng)分析，小 x王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入一固定成本一流動(dòng) 成本)(2)年產(chǎn)量

8、為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大.最大利潤(rùn)為15萬(wàn)兀.2.某養(yǎng)殖廠需定期購(gòu)買(mǎi)飼料，已知該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為 1.8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元，購(gòu)買(mǎi)飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.(1)求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少；(2)若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購(gòu)買(mǎi)飼料不少于5噸時(shí)，其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價(jià)的85%).問(wèn):該廠是否應(yīng)考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說(shuō)明理由.據(jù)琮刎旌3.某化工企業(yè)2014年年底投入100萬(wàn)元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備

9、每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元.設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備 x年的年平均污水處理費(fèi)用為 y(單位：萬(wàn)元).(1)用x表小y;(2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí)，企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備，則該企業(yè)幾年后需要重 新更換新的污水處理設(shè)備.該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.考題溯源一一基本不等式的實(shí)際應(yīng)用毫密» (2014高考福建卷)要制作一個(gè)容積為 4 m3,高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底 面造價(jià)是每平方米 20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是

10、 (單位：元).160精品文檔精品文檔卜如圖所示，將一矩形花壇 ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇 AMPN ,要求B點(diǎn)在AM上,點(diǎn)在AN上，且對(duì)角線 MN過(guò)點(diǎn)C,已知AB=3米，AD=2米.精品文檔要使矢I形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）當(dāng)DN的長(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形花壇 AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?DN長(zhǎng)的取值范圍是0, 2必6, + 8）.（單位：米）x= 2時(shí)，矩形花壇的面積最小，為 24平方米.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)則p是q成立的（1. （2015青島模擬）設(shè)a, bCR,已知命題p： a2 + b2w2ab;命題q：B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件A .

11、必要不充分條件C.充要條件選B2.A .（2015上海黃浦模擬）已知a,a+ b>2 , aba b、cB+ + L2b C R,且ab w 0,則下列結(jié)論恒成立的是C.D. a2+b2>2aba b 、c 一十一 >2b a選C.3,若2x+2y= 1 ,則x+y的取值范圍是（）A. 0, 2B. -2, 0C . -2, +00 ）D. （一- 2選D4. （2015湖北黃岡模擬）設(shè)2>1, b>0,若a+ b=2,則7 + 2的最小值為（）、a1 bA. 3+22B. 6C. 4啦D. 272選A.5. （2015山東青島質(zhì)檢）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*,

12、”對(duì)任意a, bCR, a*b為唯一確定的實(shí)數(shù),且具有性質(zhì)：對(duì)任意aC R, a*0 = a；（2）對(duì)任意 a, bCR, a*b=ab+（a*0） + （b*0）.則函數(shù)f（x）=（ex）*2的最小值為（）' eA. 2B. 3C. 6D. 8選B.6 .已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列an中，a4與a14的等比中項(xiàng)為212,則2a7+a1的最小值為 .87 .某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x N*).則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) 年時(shí)，年平均利潤(rùn) 最大, 最大值是 萬(wàn)兀.5 88 .已知

13、a, bCR,且ab=50,則|a+2b|的最小值是 209 .當(dāng)x<3時(shí)，求函數(shù) y= x+ 2 8 3的最大值;(2)設(shè)0<x<2 ,求函數(shù)y=x (42x)的最大值.函數(shù)的最大值為一52.當(dāng)x= 1時(shí)，函數(shù)y= x (42x)的最大值為/2.10 .已知 x>0, y>0,且 2x+ 8yxy=0,求(1)xy的最小值；(2)x+y的最小值.xy的最小值為64.x+ y的最小值為18.能力提升1 .不等式x2+x<7+b對(duì)任意a, bC(0, +8)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()b aA. (-2, 0)B.(巴2)U(1, +00 )C. (-2,

14、 1)D. ( 8, 4)U(2, +8)選C.2. (2013高考山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x, y, z滿足x23xy+4y2z= 0.則當(dāng)xy取得最大值時(shí)，x +，j的最大值 為()A. 0B. 19C.4D- 3當(dāng)y=1時(shí)，2+12的最大值為1.x y z3. (2015云南統(tǒng)一檢測(cè))已知a>0, b>0,方程為x2+y2-4x+ 2y=0的曲線關(guān)于直線 axby1 = 0對(duì)稱(chēng),則電警的最小值為ab4m+74. (2014高考湖北卷)某項(xiàng)研究表明：在考慮行車(chē)安全的情況下，某路段車(chē)流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車(chē)流速度v(假設(shè)車(chē)輛以相同速度 v行駛，單位：米/秒

15、)，平均車(chē)長(zhǎng)1(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F= 2 76 000v v2 + 18v+201.如果不限定車(chē)型，1=6.05,則最大車(chē)流量為 輛/時(shí)；(2)如果限定車(chē)型，1 = 5,則最大車(chē)流量比(1)中的最大車(chē)流量增加 輛/時(shí). (1)1 900 (2)1005. 已知 x>0, y>0,且 2x+5y=20.6. (1)u=1g x+lg y的最大值；1 1 , 一 ，2 2) 一十一的取小值.x ylg x+lg y有最大值1.1, 1的日古斗7+2yi0一+一的最小值為 一盆一.x y206.(選做題)首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開(kāi)，本屆大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.

16、某單位在 國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該 單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=2x2-200x+80 000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則需要國(guó)家至少補(bǔ)貼多少元才能使該 單位不虧損？最低成本為200元.該單位每月不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40 000元才能不虧損.對(duì)勾函數(shù)f(x)=ax+ :的圖象

17、與性質(zhì)對(duì)勾函數(shù)是數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)而又特殊的函數(shù)。它在高中教材上不出現(xiàn)，但考試總喜歡考的函數(shù)， 所以也要注意它和了解它。(一)對(duì)勾函數(shù)的圖像對(duì)勾函數(shù)是一種類(lèi)似于反比例函數(shù)的一般函數(shù)，形如f(x)=ax+ :(接下來(lái)寫(xiě)作 f(x)=ax+b/x )。當(dāng)a加，b加時(shí)，f(x)=ax+b/x是正比仞函數(shù)f(x)=ax與反比例函數(shù)f(x)= b/x 疊加”而成的函數(shù)。這個(gè)觀點(diǎn), 對(duì)于理解它的性質(zhì)，繪制它的圖象，非常重要。當(dāng)a, b同號(hào)時(shí)，f（x尸ax+b/x的圖象是由直線y= ax與雙曲線y= b/x構(gòu)成，形狀酷似雙勾。故稱(chēng) 對(duì)勾函 數(shù)”，也稱(chēng) 勾勾函數(shù)”、海鷗函數(shù)”。如下圖所示：當(dāng)a, b異號(hào)時(shí)，f（x尸ax+b/x的圖象發(fā)生了質(zhì)的變化。但是，我們依然可以看作是兩個(gè)函數(shù)“疊加”而成。（請(qǐng)自己在圖上完成：他是如何疊加而成的。）一般地，我們認(rèn)為對(duì)勾函數(shù)是反比例函數(shù)的一個(gè)延伸，即對(duì)勾函數(shù)也是雙曲線的一種，只不過(guò)它的焦點(diǎn)和漸進(jìn)線的位置有所改變罷了。接下來(lái)，為了研究方便，我們規(guī)定a>0 , b>0。之后當(dāng)a<0, b<0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)就很容易得出結(jié)論了。（二）對(duì)勾函數(shù)的頂點(diǎn)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)的研究離不開(kāi)均值不等式。利用均值不等式可以得到：當(dāng)x>0時(shí)，fg二招+ ：之2、,時(shí)當(dāng)且盡當(dāng)ax二:時(shí)取等號(hào)），此時(shí)x =當(dāng)x<0時(shí)，f（x） = ax+三-2而（