線性規(guī)劃的有關(guān)概念及圖解法

1、3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題第1課時(shí)線性規(guī)劃的有關(guān)概念及圖解法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解線性規(guī)劃的意義.2.理解約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.3.掌握線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)可新知夯實(shí)基礎(chǔ)0, y0.該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，求2x+3y的最大值.以此為例，嘗試通過(guò)下列問(wèn)題理解有關(guān)概念.知識(shí)點(diǎn)一線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)1 .在上述問(wèn)題中，不等式組是一組對(duì)變量x, y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x, y的二次不等式，故又稱線性約束條件2 .在上述問(wèn)題中，是要研究白目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù).因?yàn)樗顷P(guān)于變量 x, y的二次解析

2、式，這樣的目標(biāo)函數(shù)稱為線性目標(biāo)函數(shù) .知識(shí)點(diǎn)二線性規(guī)劃問(wèn)題一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)三可行解、可行域和最優(yōu)解滿足線性約束條件的解（x, y）叫做可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.在上述問(wèn)題的圖中，陰影部分叫可行域,陰影區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都是一個(gè)可行解，其中能使式取最大值的可 行解稱為最優(yōu)解.思考辨析判斷正謾1 .可行域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都滿足約束條件.(，)2 .可行解有無(wú)限多個(gè)，最優(yōu)解只有一個(gè).(X)3 .不等式Ax+ By+ C0表示的平面區(qū)域一定在直線A

3、x+ By+ C= 0的上方.(X )題型探究類型一最優(yōu)解問(wèn)題命題角度1問(wèn)題存在唯一最優(yōu)解,x+2y 8,4xw 16,例1已知x, y滿足約束條件4 4y 0, y0,該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，求考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值解設(shè)區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn) P(x, y), z=2x+3y,則 y=-|x+ f, 33啟迪思維探究重點(diǎn)2x+3y的最大值.這是斜率為一2,在y軸上的截距為Z的直線，如圖尸$工+配一H=033由圖可以看出，2 zz 一當(dāng)直線y=；經(jīng)過(guò)直線x=4與直線x+2y8=0的交點(diǎn)M(4,2)時(shí)，截距；的值最大,3 33此時(shí) 2x+3y= 14.反思與感悟圖解

4、法是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的有效方法，基本步驟(1)確定線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù);(2)作圖畫出可行域；(3)平移一一平移目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線z= ax+by,看它經(jīng)過(guò)哪個(gè)點(diǎn)(或哪些點(diǎn))時(shí)最先接觸可行域或最后離開(kāi)可行域，確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置；(4)求值一一解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.跟蹤訓(xùn)練1 已知1Wx+ y 5, - 1 x-y 3,求2x 3y的取值范圍.考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值1Wx+yW5,解作出二元一次不等式組5所表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示)即為可行一 1 w x y w 3域.設(shè) z=2x 3y,變形得 y = 一拉

5、是直線在y軸上的截距， 當(dāng)直線截距最大時(shí)，z的值最小，由圖可知，當(dāng)直線z= 2x 3y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn) A時(shí)，截距最大,即z最小.x y= - 1,解方程組5得A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),x+ y= 5,zmin = 2x- 3y=2X 2-3X 3=- 5.當(dāng)直線z= 2x- 3y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn) B時(shí)，截距最小,即z最大.x-1z, 33則得到斜率為2,且隨z變化的一組平行直線. 3x- y= 3,解方程組f得B點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 1）.|x+y= 1,Zmax= 2x 3y= 2X2-3X（-1）=7.-52x- 3y0,例2已知x, y滿足約束條件$x+ y0, y=ax+ z與x+y=2重合時(shí)

6、，最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，此時(shí)a=1;當(dāng)a0, y=ax+z與x y=0重合時(shí)，最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，此時(shí) a=1.綜上，a= 1或a= 1.反思與感悟當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取最優(yōu)解時(shí)，如果目標(biāo)函數(shù)與平面區(qū)域的一段邊界（實(shí)線）重合，則此邊界上所有點(diǎn)均為最優(yōu)解.跟蹤訓(xùn)練2給出平面可行域（如圖陰影部分所示），若使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值的最優(yōu) 解有無(wú)窮多個(gè)，則 a等于（）A.1 B.3 C.4 D.5 453 考點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題題點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)最優(yōu)解問(wèn)題答案 B 一, _5-2解析 由題息知，當(dāng)直線y=ax+z與直線AC重合時(shí)，取優(yōu)解有無(wú)否多個(gè)，則a=16-3,即a = 5,故選B. 55類型二生活中的線性規(guī)劃問(wèn)題例3

7、營(yíng)養(yǎng)專家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白質(zhì)，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白質(zhì)，0.14 kg脂肪， 花費(fèi)28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白質(zhì)，0.07 kg脂肪，花費(fèi)21元.為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B各多少kg?將已知數(shù)據(jù)列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07考點(diǎn)實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問(wèn)題題點(diǎn)線性規(guī)劃在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用解

8、設(shè)每天食用x kg食物A, y kg食物B,總成本為z,0.075,7x+ 7y5?I 0.07x+0.14y0.06,I 7x+ 14yA6,則 0.14x+0.07y0.06,即14x+7y6,| xR0，x0,y0,y 0.目標(biāo)函數(shù)為 z=28x+ 21y.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示,2a莘+2卜=022 久久777*把目標(biāo)函數(shù)z=28x+ 21y變形為y= 4x+看， 32 1、一，4 八 它表示斜率為-3,且隨z變化的一族平行直線，3看是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最小時(shí)，z的值最小.由圖可知，當(dāng)直線 z= 28x + 21y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn) M時(shí)，截距最小

9、，即 z最小.7x+ 7y=5,1 4解方程組得M點(diǎn)的坐標(biāo)為,-.:1 A kg,|14x+7y=6,7 7所以為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物 人，4食物B7 kg.反思與感悟 （1）目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（bw0）在y軸上的截距z是關(guān)于z的正比例函數(shù)，其單調(diào) b性取決于b的正負(fù).當(dāng)b0時(shí)，截距b越大，z就越大；當(dāng)b0時(shí)，截距:越小，z就越大.（2）求解的最優(yōu)解，和目標(biāo)函數(shù)與邊界函數(shù)的斜率大小有關(guān)跟蹤訓(xùn)練3某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，集裝箱的體積、重量、可獲利潤(rùn)和托運(yùn)能力等限制數(shù)據(jù)列在下表中，那么為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)為貨物體

10、積（m3/箱）（50 kg/箱）利潤(rùn)（白兀/箱）甲5220乙4510托運(yùn)限制2413考點(diǎn) 生活實(shí)際中的線性規(guī)劃問(wèn)題題點(diǎn)線性規(guī)劃在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用答案 4,1解析 設(shè)甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)為x, y,則5 5x+ 4y24,2x+ 5y 0, xC N ,Il y0, ye N.目標(biāo)函數(shù)z= 20x+ 10y,畫出可行域如圖陰影部分所示2x+ 5y= 13,由 S得 A（4,1）.5x+ 4y= 24,易知當(dāng)直線z=20x+ 10y平移經(jīng)過(guò)點(diǎn) A時(shí)，z取得最大值，即甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)分另I為4和1時(shí)，可獲得最大利潤(rùn).檢測(cè)評(píng)餅達(dá)標(biāo)過(guò)美達(dá)標(biāo)檢測(cè)-2x,1 .若變量x, y滿足約束條件

11、ix+ y 1,A. 一 5 B.0 C.5 D.5 232考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案 C解析 畫出可行域如圖陰影部分（含邊界）所示.1 111.設(shè)z=x+2y,即y=2x+2z,平仃移動(dòng)直線 y= - 2x+2z,當(dāng)直線y=-2x+ 2過(guò)點(diǎn)B，3十寸，z取最大值5,所以（x+2y）max=5.卜+ y3,2 .設(shè)變量x, y滿足約束條件ix- y- 1, 則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為（）,2x-y 3,A.6 B.7 C.8 D.23考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案 B解析作出可行域如圖陰影部分（含邊界）所示.由圖可知，z= 2x+ 3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,

12、1）時(shí)，z有最小值，z的最小值為7.3 .在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括邊界），目標(biāo)函數(shù)z=x+ ay取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則 a的值為（）04,2)A. 3 B.3 C.1 D.1考點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題題點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)最優(yōu)解問(wèn)題答案 A1 2 一 11解析 一=，a=- 3.a 413，x+ 2yA 2,4.設(shè)變量x, y滿足約束條件i2x+y 一 1,A. ?3，6B，3，t-c 31C. 1,6D. 6, - 1考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍答案 A解析 作出不等式表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分（含邊界）所示，T/x+2y-2=li /由z=3x y,可得y=

13、3x z,則一z為直線y= 3x- z在y軸上的截距，r_截距越大，z越小，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線y=3xz平移到B時(shí)，z最 軟二葉】印1以+1小1 一3 _3 一一小，平移到 C 時(shí)，z 取大，可得 Bq, 3 I, zmin= - 2 , C（2,0） , zmax= 6, - 一 齊占 6.5.給出平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若使目標(biāo)函數(shù) 多個(gè)，則a的值為.z=ax+ y（a0）取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮.十二次L】）0x考點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題題點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)最優(yōu)解問(wèn)題答案35解析 將z= ax+y變形，得 y=ax+z.當(dāng)它與直線AC重合時(shí)，z取最大值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè).kAc= 工，_a=_? 即

14、 a = 7. 555L規(guī)律與方法-i.用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟（i）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）作圖一一畫出約束條件（不等式組）所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線1;（3）平移一一將直線1平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置；（4）求值一一解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值 .2 .作不等式組表示的可行域時(shí)，注意標(biāo)出相應(yīng)的直線方程，還要給可行域的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，平移直線時(shí)，要注意線性目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行域中邊界直線的斜率進(jìn)行比較，確定最優(yōu)解.3 .在解決與線性規(guī)劃相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利

15、用數(shù)形結(jié)合方法可迅速解決相關(guān)問(wèn)題.注重雙基強(qiáng)化落實(shí)課時(shí)對(duì)點(diǎn)練、選擇題1 .若點(diǎn)（x, y）位于曲線y=岡與y= 2所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)，則 2xy的最小值為（）A. 6 B. 2 C.0 D.2考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案 A解析 如圖，曲線y=|x|與y=2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分（含邊界）所示，令z= 2x-y,則y=2x z,作直線y= 2x,在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)直線y=2x,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（2,2）時(shí)，z取得最小值，此時(shí) z= 2X（-2）-2=- 6.x+ 3y- 30,2 .若變量x, y滿足約束條件i2x-y-30,A.9 B. C.1D.：7715考點(diǎn)線性目

16、標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案 A解析 畫出可行域如圖陰影部分（含邊界）所示，令 z=x+y,則 y=x+z.當(dāng)直線y=x+z過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z最大.2x-y-3=0, I ;x- y+ 1 = 0,得 A（4,5）,，zmax=4+5 = 9.0,3.設(shè)變量x, y滿足約束條件ix-y-20, 則目標(biāo)函數(shù)z=y2x的最小值為（）ty-30,4 .設(shè)變量x, y滿足約束條件,x 5y+10W0,則目標(biāo)函數(shù)z= 3x4y的最大值和最小值分、x+ y 8 w 0,別為()A.3 , - 11B.-3, - 11C.11, - 3D.11,3考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案 A解析 作

17、出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，由圖可知z= 3x 4y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z有最小值，經(jīng)過(guò)點(diǎn) B時(shí)，z有最大值.易求得A(3,5), B(5,3).Zmax= 3X54X3=3, Zmin=3X3 4X 5= 11.X1 ,5 .已知a0, x, y滿足約束條件，x+yW3, 若z= 2x+y的最小值為1,則a等于(),ya(x-3),11 八A.4 B.2 C.1D.2考點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題題點(diǎn) 線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題答案 B解析 作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分（含邊界）所示.易知直線z= 2x+y過(guò)交點(diǎn)B時(shí)，z取最小值，x= 1,x=1,由f得fy=a（x3 ）y=- 2a,1 zm

18、in = 2 2a = 1,斛佝 a = 2,故選 B.X 1,6 .已知，x y+ 1 0,若z= ax+y的最小值是2,則a的值為（）2xy2W0,A.1B.2 C.3 D.4考點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題題點(diǎn) 線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題答案 B解析 作出可行域，如圖中陰影部分所示，又2=2乂+ y的最小值為2,若a2,則（1,0）為最優(yōu)解，解得a=2;若a - 2,則（3,4）為最優(yōu)解，解得a=-2,舍去，故a=2.3（ 0xV2,7 .已知平面直角坐標(biāo)系 xOy上的區(qū)域D由不等式組y y2,確定.若M（x, y）為D上xW V2y的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2, 1）,則z=OM oA的最大值為（）A.

19、3 B.4 C.3 2 D.4 2考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案 B解析由線性約束條件0WxW 也yW2,x12,10 .在線性約束條件 僅+yWIO, 下，z= 2xy的最小值是 ,3x+ y12考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案 7p+ 3y12,解析 如圖作出線性約束條件 x x+ yW10,下的可行域，包含邊界Ux+y12H 2x-y=o三條直線中x+3y=12與3x+y=12交于點(diǎn)A(3,3),x+y=10 與 x+3y=12 交于點(diǎn) B(9,1),x+y=10 與 3x+ y=12 交于點(diǎn) C(1,9),作一族與直線 2x- y= 0平行的直線l: 2x

20、- y= z.即y=2x-z,然后平行移動(dòng)直線l,直線l在y軸上的截距為一z,當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，一z取最大值，此時(shí)z最小，即zmin=2X 1-9=- 7.11 .某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A, B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn) A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn) A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi) 為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，則所需租賃費(fèi)最少為 元.考點(diǎn) 生活實(shí)際中的線性規(guī)劃問(wèn)題題點(diǎn)線性規(guī)劃在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用答案 2 300解析 設(shè)需租賃甲種設(shè)備 x臺(tái)，乙種設(shè)備y臺(tái),5x+ 6y 50, 10x

21、+ 20yA 140, x N , yC N.目標(biāo)函數(shù)為 z=200x+300y.作出其可行域（圖略），易知當(dāng)x= 4, y=5時(shí)，z= 200x+300y有最小值2 300.三、解答題12x+ y4,12.設(shè) x,求z = x+ y的取值范圍y 滿足 ix y 1, lx- 2y 2,考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值解 作出約束條件表示的可行域，如圖所示,z= x+ y表示直線 y = x+ z過(guò)可行域時(shí)，在 y軸上的截距，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移至過(guò)可行域內(nèi)的A點(diǎn)時(shí)，z有最小值.2x+ y= 4,聯(lián)立f解得A(2,0).x- 2y= 2,Zmin = 2, z 無(wú)最大值. x+yC 2 , +8).13.某運(yùn)輸公司接受了向抗洪救災(zāi)地區(qū)每天送至少180 t支援物資的任務(wù).該公司有8輛載重為6 t的A型卡車與4輛載重為10 t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車