隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

1、2021/4/21教材：教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第三版第三版 浙江大學(xué)浙江大學(xué) 盛驟等盛驟等 編編 高等教育出版社高等教育出版社教教 師：師： 楊曉霞楊曉霞辦公室辦公室: : 理學(xué)院理學(xué)院 203 203 電電 話話: 62338357: 62338357e-mail: 數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)2021/4/22概率概率(或然率或幾率或然率或幾率) 隨機(jī)事件出現(xiàn)隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的量度的可能性的量度 其起源與博弈問題有關(guān)其起源與博弈問題有關(guān).16世紀(jì)意大利學(xué)者開始研究擲骰子等賭博世紀(jì)意大利學(xué)者開始研究擲骰子等賭博中的一些問題；中的一些問題；17世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家

2、B. 帕帕斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家C. 惠更斯惠更斯 基于排列組合的方基于排列組合的方法，研究了較復(fù)雜法，研究了較復(fù)雜 的賭博問題，的賭博問題， 解決了解決了“ 合理合理分配賭注問題分配賭注問題” ( 即得分問題即得分問題 ).概率論是一門概率論是一門研究客觀世界隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量研究客觀世界隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的規(guī)律的 數(shù)學(xué)分支學(xué)科數(shù)學(xué)分支學(xué)科.2021/4/23發(fā)展則在發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.基人是瑞士數(shù)學(xué)家基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利；而概率論的飛速伯努利；而概率論的飛速第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)

3、生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對所考察的整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的和行動提供依據(jù)和建議的 數(shù)學(xué)分支學(xué)科數(shù)學(xué)分支學(xué)科.論；使論；使 概率論概率論 成為成為 數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠 對客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率對客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率2021/4/

4、24統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這樣說：樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的一種應(yīng)用學(xué)是概率論的一種應(yīng)用. 但是它們是兩個(gè)并列但是它們是兩個(gè)并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系.2021/4/25本學(xué)科的應(yīng)用本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)所有

5、科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門中濟(jì)的各個(gè)部門中. 例如例如 1. 氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制及預(yù)測都與及預(yù)測都與概率論概率論緊密相關(guān)；緊密相關(guān)；2. 產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否在臨床中應(yīng)用，均要用到否在臨床中應(yīng)用，均要用到假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)；2021/4/266. 探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí)探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí),時(shí)間時(shí)間可夫過程可夫過程 來描述來描述;7. 研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，要以研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，要以馬爾馬爾序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4. 電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì), 火箭衛(wèi)星的研制及

6、其火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開發(fā)射都離不開可靠性估計(jì)可靠性估計(jì); 3. 尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和和數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理；5. 處理通信問題處理通信問題, 需要研究需要研究信息論信息論；2021/4/27水庫調(diào)度、購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都水庫調(diào)度、購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到可用一類概率模型來描述，其涉及到 的知的知裝卸、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、裝卸、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、8. 生物學(xué)中研究生物學(xué)中研究 群體的增長問題時(shí)，群體的增長問題時(shí)，提出了生滅型提出了生滅型隨機(jī)模型隨機(jī)模型，傳染病流行問傳染病流行問題要用到多

7、變量非線性題要用到多變量非線性生滅過程生滅過程；9. 許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶識就是識就是 排隊(duì)論排隊(duì)論.2021/4/28領(lǐng)域領(lǐng)域 , 特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題 , 都大量采用都大量采用概率概率統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法. 法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說說: “ 生活中最重要的問題生活中最重要的問題 , 其中絕大其中絕大領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展. 在社會科學(xué)領(lǐng)在社會科學(xué)領(lǐng)多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題.”目前目前, 概率統(tǒng)計(jì)理論

8、進(jìn)入其他自然科學(xué)概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)入其他自然科學(xué)2021/4/29概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，性的一門學(xué)科，是重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。是重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。在生活當(dāng)中，經(jīng)常會接觸到在生活當(dāng)中，經(jīng)常會接觸到一一些些現(xiàn)象現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象：在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果又具有在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象：隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性不確定性；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 在在經(jīng)濟(jì)、科技、教育

9、、管理和經(jīng)濟(jì)、科技、教育、管理和軍事等方面已得到廣泛應(yīng)用。軍事等方面已得到廣泛應(yīng)用。退 出目 錄前一頁后一頁2021/4/2101 1 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率2 2 等可能概型等可能概型3 3 條件概率條件概率4 4 獨(dú)立性獨(dú)立性第一章第一章概率論的基本概念概率論的基本概念退 出目 錄前一頁后一頁2021/4/211一一 隨隨 機(jī)機(jī) 試試 驗(yàn)驗(yàn)二二 事件間的關(guān)系與運(yùn)算事件間的關(guān)系與運(yùn)算三三 頻頻 率率 與與 概概 率率 1 隨隨 機(jī)機(jī) 事事 件件 的的 概率概率第一章 概率論的基本概念退 出目 錄前一頁后一頁2021/4/212 這里試驗(yàn)的含義十分廣泛，它包括各種各樣這里試驗(yàn)的含義十分廣

10、泛，它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，也包括對事物的某一特征的觀察。的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，也包括對事物的某一特征的觀察。 其典型的例子有：其典型的例子有：1) 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)（Experiment ）第一章 概率論的基本概念一一 、 隨隨 機(jī)機(jī) 試試 驗(yàn)驗(yàn)1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/213E1：拋一枚硬幣，觀察正面：拋一枚硬幣，觀察正面H（Heads）、反面）、反面T（Tails）出現(xiàn)的情況。）出現(xiàn)的情況。E3：觀察某一時(shí)間段通過某一路口的車輛數(shù)。：觀察某一時(shí)間段通過某一路口的車輛數(shù)。 E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E4：觀察某一電子元件的壽命。：

11、觀察某一電子元件的壽命。 E5：觀察某地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度。：觀察某地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度。E6: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E7: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);2021/4/214這些試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：這些試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：第一章 概率論的基本概念2. 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)；進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)； 3. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。1

12、. 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；1 隨機(jī)事件的概率稱具備上面三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。稱具備上面三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/215 2) 樣本空間樣本空間(Space)定義定義將隨機(jī)試驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn) E 的所有可能結(jié)果組成的集合的所有可能結(jié)果組成的集合稱為稱為 E 的的樣本空間樣本空間， 記為記為 S 。樣本空間的。樣本空間的元素，即元素，即 E 的每個(gè)結(jié)果，稱為的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)。第一章 概率論的基本概念1 隨機(jī)事件的概率要求：會寫出隨機(jī)試驗(yàn)的要求：會寫出隨機(jī)試驗(yàn)的 樣本空間。樣本空間。退 出前一頁后一頁目 錄2021/

13、4/216E1：拋一枚硬幣，觀察正面：拋一枚硬幣，觀察正面H（Heads）、反面）、反面T（Tails）出現(xiàn)的情況。）出現(xiàn)的情況。E3：觀察某一時(shí)間段通過某一路口的車輛數(shù)。：觀察某一時(shí)間段通過某一路口的車輛數(shù)。 E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E4：觀察某一電子元件的壽命。：觀察某一電子元件的壽命。E5：觀察某地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度。：觀察某地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度。E6: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E7: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);S1

14、: H , T S2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 S3 : 0,1,2,3S4 : t | t 0 S5 : ( x , y ) | T 0 x y T1 S6 : HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT S7 : 0, 1, 2, 3 2021/4/217隨機(jī)事件隨機(jī)事件 : 稱試驗(yàn)稱試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 S 的子集為的子集為 E 的的隨機(jī)事件，記作隨機(jī)事件，記作 A, B, C 等等；等等；基本事件基本事件 : 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；必然事件必然事件 : 樣本空間樣本空間 S 本身；本身；不可能事件不可能事件

15、 : 空集空集。3) 隨隨 機(jī)機(jī) 事事 件件我們稱一個(gè)我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它所包它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中在試驗(yàn)中出現(xiàn)。出現(xiàn)。第一章 概率論的基本概念1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/218例如：例如：S2 中中第一章 概率論的基本概念事件事件 A=2,4,6 表示表示 “出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;事件事件 B=1,2,3,4 表示表示 “出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過4”.1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/2191) 包含關(guān)系包含關(guān)系 二二 、 事件間的關(guān)系與運(yùn)算事件間的關(guān)系與運(yùn)算SABBA 第一章 概

16、率論的基本概念如果如果A發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生，則發(fā)生，則BA1 隨機(jī)事件的概率.,ABBABA 且且2）相等關(guān)系）相等關(guān)系 退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/220SAB3) 和（并）事件和（并）事件 BA第一章 概率論的基本概念事件事件 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A, B 至少發(fā)生一個(gè)至少發(fā)生一個(gè) . BA.中中至至少少發(fā)發(fā)生生一一個(gè)個(gè)表表示示 AA1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/221第一章 概率論的基本概念4) 積（交）事件積（交）事件ABBA SAB事件事件 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A , B 同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生.BA.同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生表表示示所所有有

17、 AA1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/222第一章 概率論的基本概念考察下列事件間的包含關(guān)系：考察下列事件間的包含關(guān)系：ABBAAB ABAABB BABA1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/223 5) 差事件差事件BA SABBA第一章 概率論的基本概念A(yù)SBA ABBA 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A 發(fā)生發(fā)生 B 不發(fā)生不發(fā)生.BAABA 1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/2246) 互不相容（互斥）互不相容（互斥） BA7) 對立事件對立事件 （逆事件）（逆事件）SBABA SAAB 第一章 概率論的基本概念SBA請注意

18、互不相容與對立事件的區(qū)別！請注意互不相容與對立事件的區(qū)別！1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/225第一章 概率論的基本概念例如，例如，在在S4 中中事件事件 A=t|t 1000 表示表示 “產(chǎn)品是次品產(chǎn)品是次品” 事件事件 B=t|t 1000 表示表示 “產(chǎn)品是合格品產(chǎn)品是合格品” 事件事件 C=t|t 1500 表示表示“產(chǎn)品是一級品產(chǎn)品是一級品”則則BA與與CA與與CB 表示表示 “產(chǎn)品是合格品但不是一級品產(chǎn)品是合格品但不是一級品”; BCCB 表示表示 “產(chǎn)品是一級品產(chǎn)品是一級品” ;表示表示 “產(chǎn)品是合格品產(chǎn)品是合格品”.是是互互為為對對立立事事件件；是是互互

19、不不相相容容事事件件；1 隨機(jī)事件的概率退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/2268) 隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律冪等律冪等律: :AAAAAA ,交換律交換律: :ABBAABBA ,第一章 概率論的基本概念 結(jié)合律結(jié)合律: : CBACBA 分配律分配律: : CABACBA De MorganDe Morgan（德摩根）定律（德摩根）定律: :1 隨機(jī)事件的概率 CBACBA CABACBA 退 出前一頁后一頁目 錄BAABBABA ,.,kkkkkkkkAAAA 可可推推廣廣2021/4/227第一章 概率論的基本概念1 隨機(jī)事件的概率例例1：設(shè)設(shè) A, B, C 為三個(gè)隨

20、機(jī)事件，用為三個(gè)隨機(jī)事件，用A, B, C 的運(yùn)的運(yùn) 算關(guān)系表示下列各事件算關(guān)系表示下列各事件.（1）A 發(fā)生發(fā)生.AABC CBACAB.CBA(2) A 發(fā)生，發(fā)生，B 與與 C 都不發(fā)生都不發(fā)生.CBA(3) A ,B , C 都發(fā)生都發(fā)生.ABC(4) A ，B , C 至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生.CBA退 出前一頁后一頁目 錄2021/4/228第一章 概率論的基本概念1 隨機(jī)事件的概率(5) A ，B , C 都不發(fā)生都不發(fā)生.CBA(6) A ，B , C 不多于一個(gè)發(fā)生不多于一個(gè)發(fā)生.CBA(7) A ，B , C 不多于兩個(gè)發(fā)生不多于兩個(gè)發(fā)生.CBA.CBA (8) A ，B , C 至少有兩個(gè)發(fā)生至少有兩個(gè)發(fā)生.BCACBACAB.BCACAB .CBACBACBACBACBACBABCACBACABABC退 出前一頁后一頁目 錄20