重積分的計算及應用

1、第二十章 重積分的計算及應用§1. 二重積分的計算1 將二重積分化為不同順序的累次積分：(1) 由軸與所圍成；(2) 由及所圍成；(3) 由和圍成；(4) 2. 計算下列二重積分：(1) ，； (2) ，；(3) ，；(4) ，3. 改變下列累次積分的次序：(1) ；(2) ；(3) 4. 設在所積分的區(qū)域上連續(xù)，證明5. 計算下列二重積分：(1) (),是由圍成的區(qū)域；(2) 是由和圍成的區(qū)域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所圍成；(6) 由所圍成；(7) 是以和為頂點的三角形；(8) 由和所圍成6. 求下列二重積分：(1) ；(2) ；(3) 7. 改變下列累次積分的次序：(

2、1) ；(2) ；(3) ；(4) 8. 求下列立體之體積：(1) 由所確定；(2) 由所確定；(3) 是由坐標平面及所圍成的角柱體9. 用極坐標變換將化為累次積分：(1) ：半圓；(2) ：半環(huán) ；(3) ：圓 ；(4) ：正方形 10. 用極坐標變換計算下列二重積分：(1) ：；(2) 是圓的內部；(3) 由雙紐線圍成；(4) 由阿基米德螺線和半射線圍成；(5) 由對數螺線和半射線圍成11. 在下列積分中引入新變量，將它們化為累次積分：(1) 若；(2) ()，若；(3) ，其中，若；(4) ，其中 ()，若12. 作適當的變量代換，求下列積分：(1) 是由圍成的區(qū)域；(2) 由圍成；(3

3、) 由圍成§2. 三重積分的計算1. 利用二重積分求由下列曲面圍成的立體的體積：(1) ；(2) ；(3) 球面與圓柱面（）的公共部分；(4) ()；(5) ；(6) 2. 求曲線所圍成的面積3. 用柱坐標變換計算下列三重積分：(1) ，由曲面圍成；(2) , 由曲面 圍成4. 用球坐標變換計算下列三重積分：(1) ：；(2) , 由圍成；(3) ，由圍成5. 作適當的變量代換，求下列三重積分：(1) ，由 圍成的立體，其中；(2) ，同(1)；(3) ，由 ()， ()以及圍成；(4) ，由圍成；(5) 6. 求下列各曲面所圍立體之體積：(1) ；(2) ()7. 計算下列三重積分

4、：(1) ：；(2) 由曲面所圍成；(3) 由曲面所圍成；(4) 是由曲面圍成的位于第一卦限的有界區(qū)域；(5) 由曲面所圍成；(6) 是由及所圍成的區(qū)域§3. 積分在物理上的應用1 求下列均勻密度的平面薄板的質心：(1) 半橢圓；(2) 高為，底分別為和的等腰梯形；(3) 所界的薄板；(4) 所界的薄板2 求下列密度均勻的物體的質心：(1) ；(2) 由坐標面及平面所圍成的四面體；(3) 圍成的立體；(4) 和平面圍成的立體；(5) 半球殼3 求下列密度均勻的平面薄板的轉動慣量：(1) 邊長為和，且夾角為的平行四邊形，關于底邊的轉動慣量；(2) 所圍平面圖形關于直線的轉動慣量4 求由下列曲面所界均勻體的轉動慣量：(1) 關于軸的轉動慣量；(2) 長方體關于它的一棱的轉動慣量；(3) 圓筒，關于軸和軸的轉動慣量5 設球體上各點的密度等于該點到坐標原點的距離，求這球的質量6 求均勻薄片對軸上一點(0，0，)(>0)處單位質點的引力求均勻柱體對于(0，0，) (>)處單位質點的引