因式分解經(jīng)典題及解析

1、學(xué)習(xí)文檔僅供參考因式分解拔高題1在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，我們學(xué)習(xí)了提公因式法和公式法平方差公式和完全平方公式，事實(shí)上，除了這兩種方法外，還有其它方法可以用來(lái)因式分解，比方配方法例如，如果要因 式分解X2+2X-3時(shí)，顯然既無(wú)法用提公因式法，也無(wú)法用公式法，怎么辦呢？這時(shí)，我們 可以采用下面的方法：2 2 2X+2X-3=X+2* XI+ 1-1-3-=x+12-22-=* 解決以下問題：1填空：在上述材料中，運(yùn)用了_的思想方法，使得原題變?yōu)榭梢岳^續(xù)用平方差公式因式分解，這種方法就是配方法；2顯然所給材料中因式分解并未結(jié)束，請(qǐng)依照材料因式分解X2+2X-3;3請(qǐng)用上述方法因式分解X2-4X-5.2請(qǐng)看

2、下面的問題：把X4+4分解因式分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無(wú)公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家蘇菲？熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和X22+222的形 式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4X2,隨即將此項(xiàng)4X2減去，即可得X4+4=X4+4X2+4-4X2=X2+22-4X2=X2+22-2X2=X2+2X+2X2-2X+2人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲？熱門給出這一解法，就把它叫做 熱門定理”請(qǐng)你依照蘇菲？熱門的做法， 將以下各式因式分解.1x4+4y4；2X2-2ax-b2-2ab.3.下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式X2-4X+2X2-4X+6+4進(jìn)行因式分解的過程. 解：設(shè)X2-4x=y原式=y+

3、2y+6+4第一步2=y +8y+16第二步=y+42第三步=X2-4x+42第四步答復(fù)以下問題：1該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 _.A、提取公因式B.平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式D.兩數(shù)差的完全平方公式2該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底 _ .填 徹底”或不徹底”假設(shè)不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果 _.3請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式X2-2XX2-2X+2+1進(jìn)行因式分解.4.找出能使二次三項(xiàng)式x2+ax-6可以因式分解在整數(shù)范圍內(nèi)的整數(shù)值a,并且將其進(jìn)行因式分解.5.利用因式分解說(shuō)明： 兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù).學(xué)習(xí)文檔僅供參考26已知關(guān)于x的多項(xiàng)式3x +x+m

4、因式分解以后有一個(gè)因式為3x-2，試求m的值并將多項(xiàng)式因式分解.7.已知多項(xiàng)式a2+ka+25-，在給定k的值的條件下可以因式分解請(qǐng)給定一個(gè)k值并寫出因式分解的過程.&先閱讀，后解題：要說(shuō)明代數(shù)式2x2+8x+10的值恒大于0還是恒等于0或者恒小于0,我們可以將它配方成一個(gè)平方式加上一個(gè)常數(shù)的形式，再去考慮，具體過程如下：2解：2x +8x+10=2x2+4x+5提公因式，得到一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次多項(xiàng)式=2x2+4x+22-22+5=2x+22+1將二次多項(xiàng)式配方=2x+22+2去掉中括號(hào)因?yàn)楫?dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2x+22的值一定是非負(fù)數(shù)，那么2x+22+2的值一定為正數(shù)，所以

5、，原式的值恒大于0,并且，當(dāng)x=-2時(shí)，原式有最小值2.請(qǐng)仿照上例，說(shuō)明代數(shù)式-2x2-8x-10的值恒大于0還是恒小于0，并且說(shuō)明它的最大值 或者最小值是什么.9.老師給學(xué)生一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別給了一個(gè)關(guān)于此多項(xiàng)式的描述: 甲：這是一個(gè)三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1;丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式；?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法；假設(shè)已知這四位同學(xué)的描述都正確，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的一個(gè)多項(xiàng)式.10.在對(duì)某二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而將其分解為2x-1x-9，而乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，而將其分解為2x-2x-4，請(qǐng)你判斷正確的二次 三項(xiàng)式并進(jìn)

6、行正確的因式分解.11.觀察李強(qiáng)同學(xué)把多項(xiàng)式2解：設(shè)x +6x=y，則 原式=y+10y+8+1 =y2+18y+81=y+92=x2+6x+91答復(fù)以下問題：這位同學(xué)的因式分解是否徹底？假設(shè)不徹底，請(qǐng)你直接寫出因式分解的最后結(jié)果：_.2仿照上題解法，分解因式：x2+4x+1x2+4x-3+4.12.1寫一個(gè)多項(xiàng)式，再把它分解因式要求：多項(xiàng)式含有字母m和n,系數(shù)、次數(shù)不限, 并能先用提取公因式法再用公式法分解.2閱讀以下分解因式的過程，再答復(fù)所提出的問題：21+x+xX+1+xx+1=1+x1+x+xx+1=1+x21+x=1+x31上述分解因式的方法是 _ ，由到 這一步的根據(jù)是_;x2+6

7、x+10學(xué)習(xí)文檔僅供參考2假設(shè)分解1+x+xx+1+xx+12+xx+12006,結(jié)果是一；3分解因式：1+x+xx+1+xx+12+ -+xx+1nn為正整數(shù).13閱讀下面的材料并完成填空：因?yàn)閤+ax+b=x2+a+bx+ab，所以，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x2+px+q的因式解，就是把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個(gè)數(shù)的積且使這兩數(shù)的和等于p,即如果有a,b兩數(shù)滿足a-b=a+b=p，則有x +px+q=x+a x+b.如分解因式x2+5x+6.解：因?yàn)? 3=6,2+3=5, 所以x2+5x+6=x+2x+3丨.再如分解因式x2-5x-6.解：因?yàn)?=-6,-6+1=-5,所以x2-5x-6=

8、x-6x+1.同學(xué)們，閱讀完上述文字后，你能完成下面的題目嗎？試試看.2 2 2 2因式分解：1x2+7x+12;2x2-7x+12;3x2+4x-12;4x-x-12.答案1.請(qǐng)看下面的問題：把x4+4分解因式分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無(wú)公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家蘇菲？熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和x22+222的形 式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2,隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=x2+22-4x2=X2+22-2x2=x2+2x+2x2-2x+2人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲？熱門給出這一解法，就把它叫做 熱門定理”請(qǐng)你依照蘇菲？熱門的

9、做法， 將以下各式因式分解.1x4+4y4；2x2-2ax-b2-2ab.考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法.專題：閱讀型.分析： 這是要運(yùn)用添項(xiàng)法因式分解，首先要看明白例題才可以嘗試做以下題目.解答：4,442 22 2 2解：1x +4y =x +4x y +4y-4x y,r2小22,22=x +2y-4x y,2222=x +2y +2xyx +2y-2xy；2 22x-2ax-b-2ab,=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab,=x-a2-a+b2,=x-a+a+bx-a-a-b，=x+bx-2a-b.點(diǎn)評(píng)：此題考查了添項(xiàng)法因式分解，難度比較大.2 22.下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式x2-4x+2

10、x2-4x+6+4進(jìn)行因式分解的過程. 解：設(shè)x2-4x=y原式=y+2y+6+4第一步2=y +8y+16第二步=y+42第三步學(xué)習(xí)文檔僅供參考=x2-4x+42第四步答復(fù)以下問題：1該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的C.A、提取公因式B平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式D兩數(shù)差的完全平方公式2該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底不徹底 .填 徹底”或 不徹底”假設(shè)不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果X-24.3請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式x2-2xx2-2x+2+1進(jìn)行因式分解.考點(diǎn)：專題：分析：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.閱讀型.1完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)積的兩倍的和或差； 2x2

11、-4x+4還可以分解，所以是不徹底.3按照例題的分解方法進(jìn)行分解即可.解答： 解：1運(yùn)用了C,兩數(shù)和的完全平方公式；2x2-4x+4還可以分解，分解不徹底；3設(shè)x2-2x=y.x2-2xx2-2x+2+1,=yy+2+1,=y2+2y+1,r、2=y+1,=x2-2x+12,=x-14.點(diǎn)評(píng)： 此題考查了運(yùn)用公式法分解因式和學(xué)生的模仿理解能力，按照提供的方法和樣式解答即可，難度中等.3找出能使二次三項(xiàng)式x2+ax-6可以因式分解在整數(shù)范圍內(nèi)的整數(shù)值a,并且將其進(jìn)行因式分解.考點(diǎn)：因式分解-十字相乘法等.分析：根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點(diǎn)可知：a是-6的兩個(gè)因數(shù)的和，則-6可分成3X-2，-3

12、2,6X-1，-6X1,共4種，所以將x2+ax-6分解因式后有4種情 況.解答：解：x2+x-6=x+3x-2;x2-x-6=x-3x+2；2x +5x-6=x+6x-1；x-5x-6=x-6x+1.學(xué)習(xí)文檔僅供參考點(diǎn)評(píng)：此題考查十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并 體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程，常數(shù)-6的不同分解是此題的難點(diǎn).4利用因式分解說(shuō)明：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù).考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用.分析：根據(jù)題意設(shè)出兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n、2n+2,利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可證出結(jié)論.解答：解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n,2n+2,則有2n+22-2n2,=

13、2n+2+2n2n+2-2n，=4n+22,=42n+1，因?yàn)閚為整數(shù)，所以42n+1丨中的2n+1是正奇數(shù)，所以42n+1丨是4的倍數(shù)，故兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除.點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)，再用平方差公 式對(duì)列出的式子進(jìn)行整理，此題較簡(jiǎn)單.25已知關(guān)于x的多項(xiàng)式3x +x+m因式分解以后有一個(gè)因式為3x-2試求m的值并將 多項(xiàng)式因式分解.考點(diǎn)：因式分解的意義./m=-2;2 2 3x +x+m=3x +x-2=x+13x-2;故答案為：m=-2,x+13x-2.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查因式分解的意義，有公因式時(shí)，要先考慮提取公因式；注意運(yùn)用整體

14、代入法求解.6.已知多項(xiàng)式a2+ka+25-b2，在給定k的值的條件下可以因式分解.請(qǐng)給定一個(gè)k值并寫出因式分解的過程.分析:由于x的多項(xiàng)式3x2+x+m分解因式后有一個(gè)因式是為0,由此得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m解答:進(jìn)行因式分解，即可求出答案.解：Tx的多項(xiàng)式3x2+x+m分解因式后有一個(gè)因式是3x-2,所以當(dāng)x時(shí)多項(xiàng)式的值的值，再把m的值代入3x2+x+m3x-2,0,當(dāng)/2+m=0,學(xué)習(xí)文檔僅供參考考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法.學(xué)習(xí)文檔 僅供參考專題 ：開 放型 分析：根據(jù)完全平方公式以及平方差公式進(jìn)行分解因式即可解答：解 ：k=10，假設(shè)k=10，則有a2+i0a+25丨-b2=

15、a+52-b2=a+5+ba+5-b.點(diǎn)評(píng)：此 題主要考查了運(yùn)用公式法分解因式， 正確掌握完全平方公式和平方差公式是解題關(guān) 鍵7先閱讀，后解題：要說(shuō)明代數(shù)式2X2+8X+10的值恒大于0還是恒等于0或者恒小于0,我們可以將它配方成一個(gè)平方式加上一個(gè)常數(shù)的形式，再去考慮，具體過程如下：2解：2x +8x+10=2X2+4X+5提公因式，得到一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次多項(xiàng)式2 2 2=2x2+4x+22-22+52=2x+22+1將二次多項(xiàng)式配方=2x+22+2去掉中括號(hào)因?yàn)楫?dāng)X取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2X+22的值一定是非負(fù)數(shù)，那么2X+22+2的值一定 為正數(shù)，所以，原式的值恒大于0，并且，當(dāng)x=-

16、2時(shí)，原式有最小值2.請(qǐng)仿照上例，說(shuō)明代數(shù)式-2X2-8X-10的值恒大于0還是恒小于0，并且說(shuō)明它的最大值或者最小值是什 么.考點(diǎn) ：配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方. 分析：按照題目提供的方法將二次三項(xiàng)式配方后即可得到答案.解答：解 ：-2x2-8x-102=-2x2+4x+5=-2x2+4x+22-22+52=-2x+22+1=-2x+22-2因?yàn)楫?dāng)X取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2X+22的值一定是非負(fù)數(shù)，那么-2x+22-2的值一定為負(fù)數(shù)，所以，原式的值恒小于0，并且，當(dāng)x=-2時(shí)，原式有最大值-2.點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法與完全平方式的非負(fù)性的應(yīng)用. 注意解此題的關(guān)鍵是將原代數(shù)式準(zhǔn) 確配方.

17、8.老師給學(xué)生一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別給了一個(gè)關(guān)于此多項(xiàng)式的描述：甲：這是一個(gè)三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1；丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式； ?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法； 假設(shè)已知這四位同學(xué)的描述都正確，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的一個(gè)多項(xiàng)式.考點(diǎn) ：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.專題 ：開 放型. 分析：能用完全平方公式分解的式子的特點(diǎn)是：三項(xiàng)；兩項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào)需相同；有一項(xiàng)是 兩底數(shù)積的2倍.解答：解：由題意知，可以理解為：學(xué)習(xí)文檔僅供參考甲：這是一個(gè)關(guān)于x三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1，即三次項(xiàng)為X3；丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式X；?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用

18、到完全平方公式法.故多項(xiàng)式可以為xx-12=xX2-2x+1=x3-2X2+X.點(diǎn)評(píng)：此題考查了提公因式法和公式法分解因式，是開放性題，根據(jù)描述按照要求列出這個(gè) 多項(xiàng)式.答案不唯一.9.在對(duì)某二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而將其分解為2x-1x-9，而乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，而將其分解為2x-2x-4，請(qǐng)你判斷正確的二次三項(xiàng)式并進(jìn)行正確的因式分解.考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用.分析：此題可以先將兩個(gè)分解過的式子復(fù)原，再根據(jù)兩個(gè)同學(xué)的錯(cuò)誤得出正確的二次三項(xiàng) 式，最后進(jìn)行因式分解即可.解答：解 :2x-1x-9=2X2-20X+18,2x-2x-4=2X2-12X+16; 由于甲同學(xué)因看錯(cuò)

19、了一次項(xiàng)系數(shù)，乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)， 則正確的二次三項(xiàng)式為：2x2-12X+18;再對(duì)其進(jìn)行因式分解：2x2-12X+18=2x-32.點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解的應(yīng)用，題目較為新穎，同學(xué)們要細(xì)心對(duì)待.10.觀察李強(qiáng)同學(xué)把多項(xiàng)式解：設(shè)x2+6x=y，則原式=y+10y+8+12=y +18y+81=y+922 2=x +6x+91答復(fù)以下問題：這位同學(xué)的因式分解是否徹底？假設(shè)不徹底，請(qǐng)你直接寫出因式分解 的最后結(jié)果： x+34.2仿照上題解法，分解因式：X2+4X+1X2+4X-3+4.考點(diǎn)：因式分解-十字相乘法等.專題：換元法.分析：1根據(jù)X2+6X+9=x+32,進(jìn)而分解因式得出答案即可;2仿

20、照例題整理多項(xiàng)式進(jìn)而分解因式得出答案即可.解答:解：1這位同學(xué)的因式分解不徹底,原式=y+10y+8+12=y +18y+81=y+92=X2+6X+92=x+34.故答案為：x+34;2設(shè)x2+4x=y，則X2+6X+10X2+6X+8+1分解因式的過程:學(xué)習(xí)文檔僅供參考原式=y+1y-3+4=y2-2y+1=y-12=x +4x-1鍵.11.1寫一個(gè)多項(xiàng)式，再把它分解因式要求：多項(xiàng)式含有字母m和n系數(shù)、次數(shù)不限， 并能先用提取公因式法再用公式法分解.2閱讀以下分解因式的過程，再答復(fù)所提出的問題：21+X+XX+1+XX+1=1+x1+x+xx+1=1+x21+X=1+x31上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由到 這一步的根據(jù)是同底數(shù)幕的乘法法則；2假設(shè)分解1+X+XX+1+XX+12+XX+12006,結(jié)果是 1+x2007；3分解因式：1+x+xx+1+xx+12+ -+Xx+1nn為正整數(shù).考點(diǎn)：分析：因式分解-提公因式法.1根據(jù)題目要求可以編出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；2首先通過分解因式，可發(fā)現(xiàn) 中的式子與結(jié)果之間的關(guān)系，根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 可直接得到答案.解答：3 2 2 2解：1m-mn =mm-n=mm-nm+n，2提公因