圓錐曲線—定點(diǎn)、定值專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練題

1、圓錐曲線一定點(diǎn)、定值專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練題1.過(guò)拋物線y =ax 2（a>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于 P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分1 1別是p、q,則一+等于（）p qA. 2a B.1 C. 4a D . 42aa【答案】C【解析】11 試題分析：y =ax2化為標(biāo)準(zhǔn)形式即x2 = y ,其焦點(diǎn)為（0,）。解答此題可利用極限（端） a4a111.思想，假定 PQ垂直于拋物線的軸，將 y =代入方程得x = ±，即p=q=，故 4a2a2a11、，一 一，+_ = 4a。若直接解答，方法多種，均較為復(fù)雜。故選 Cop q考點(diǎn)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，考查直線與拋物

2、線的位置關(guān)系。點(diǎn)評(píng)：解答此題利用極限（端）思想，從而達(dá)到了化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的。22x y20.已知橢圓+U=1（a>5）的兩焦點(diǎn)分別是F1 F2,且 FF2 =8，弦ab過(guò)E,則a 25abf2的周長(zhǎng)是（）A.10B.20 C.2.41 D. 4.41【答案】D【解析】試題分析：設(shè)半焦距是c,則有2c=| F1F21=8, c=4, a2 =b2 +c2=41, a=V41求三角形AB F2的周長(zhǎng)，只需把AB分成AR, F1BAF1+A F2 = 2a, B F1+B F2 = 2a所以AABF2的周長(zhǎng)是4歷。故選Do 考點(diǎn)：主要考查橢圓的定義。點(diǎn)評(píng)：注意分析圖形特征，正確運(yùn)用橢圓

3、定義。此類(lèi)題為常考題目。 2248. P是雙曲線x2七=1（a>0, b>0）左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2為其左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c, a b則PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為 .【答案】-a【解析】試題分析：由已知，雙曲線兩焦點(diǎn)為F1（-c,0）, F2（c,0）。設(shè)PF1F2的內(nèi)切圓圓心為O （x,y）,過(guò)O分別作PFi, PF2,FiF2的垂線，垂足分別為 E,F,G,由雙曲線定義平面幾何知識(shí)得 2a =|PF2| PFi HF2GI -|FG |=(c x) (c+x) = 2x ,所以x = a,即PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為考點(diǎn)：主要考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及三

4、角形內(nèi)切圓的性質(zhì)。點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，是一道幾何“味”十足的解析幾何題，意在引導(dǎo)考生，注重借助于“形”解決解析幾何問(wèn)題。222249.若橢圓七十上有刈。）和雙曲線x_ E=1（aAbA。）有相同的焦點(diǎn)Fi, F2,點(diǎn)P是 m na b兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則| PFi -| PF2的值為.【答案】m -a【解析】2222試題分析：因?yàn)闄E圓L+LnKmAn >0）和雙曲線 土XnMaAbA。）有相同的焦點(diǎn)m na bFi, F2 ,點(diǎn)P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)， 所以由橢圓、雙曲線定義得到| PFi | + | PF2 |=2Jm , |PFi|-|

5、PF2|= 2志，兩式兩邊分別平方并相減得 |PFi“PF2|=m a?？键c(diǎn)：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查了橢圓與雙曲線的定義。點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義,l|PFi|+|PF2lh2Vm, |PF11T PF2|= 2后,兩式兩邊分別平方并相減得整理得到結(jié)論 |PE I I PF21尸m-a2259. （12分）設(shè)Fi, F2是橢圓 工十匕=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn).已知P, Fi, F2是 94一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)且PFi > PF2，求EFJ的值.IPF2I【答案】7或22【解析】試題分析：由已知PFiPF2PFi +|PF2

6、 =6, FiF2 =2痣,H,，一 i, ,_ 2_ 22_144-若NPF2F1為直角，則由PFi = PF2 +| F1F2 |可彳導(dǎo)PFi =, PF2 =-，此時(shí)，33PFi 7=-；PF2| 2222PFi若/F2PF1 為直角，則由 PFi +PF2 =|FiF2 | 可得 PFi =4, PF2=2,此時(shí)，一 =2；PF2I綜上知_PFi的值為7或2 。PF2|2考點(diǎn)：主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)。2287.已知橢圓C:x2+%=i(aAbA0)的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi,F2和上下兩個(gè)頂點(diǎn)Bi,B2是一個(gè)邊 a b長(zhǎng)為2且/ FBF2為60'的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).(i)求橢

7、圓C的方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)F2,斜率為k (k#0)的直線l與橢圓C相交于E,F兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線 AE、AF分別交直線x=3于點(diǎn)M、N ,線段MN的中點(diǎn)為P ,記直線PF2的斜率為k1求證：k k'為定值.223【答案】 L+E=i；kk為定值3.434【解析】試題分析：(i)由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn) 已下2和上下兩個(gè)頂點(diǎn) B,B2是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且/ FiBiF2為60t的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)可得 a=2,b = J3 ,從而得到橢圓方程.(2)通過(guò)題目條件，將直線l方程設(shè)出來(lái)，再將它與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，即點(diǎn)E(xi, yi)，點(diǎn)F(x2, y2),再分別表示出直線AE、AF的方程，令x

8、 = 3,得到點(diǎn)M , N ,的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段 MN 的中點(diǎn)為P的坐標(biāo)，利用斜率公式即得到 k，通過(guò)聯(lián)立直線l與橢圓方程，用韋達(dá)定理替換X, yi, X2, y2,化簡(jiǎn)之后即可證明 k -k '為定值.本題利用“設(shè)而不求”達(dá)到證明的目的，充分利用韋達(dá)定理消去繁雜的未知數(shù).這是解決帶有直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題的常用的手段.試題解析：(i)由條件知a=2,b=J3 ,2 分22故所求橢圓方程為人+上=i. 4 分43 設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l方程為：y = k(x1),設(shè)點(diǎn)E(xi,y),點(diǎn)F(x2,y2),將直線l方程y=k(x1)代入橢圓C :=1整理得：(4k2 +

9、3)x2 -8k2x +4k2 12 = 0 , 6 分因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)，所以直線l和橢圓都相交， > 0恒成立，且8k2x1 x2 = 4P"F'x22_4k -124k2 3直線AE的方程為：y = y1 (x-2),直線AF的方程為：y= y2 (x-2),令x = 3, x1 - 2x? - 2得點(diǎn)M(3,yM，N(3,yM，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(3,1(+yM) . 9 分 x, -2x2 -22 x1 -2 x2 -21(工人直線 PF2的斜率為 k'= 2 ' _2 x2 -2=1 (y +.3-14 x1 -2 x2 -2二 1 丫2/十*2乂

10、 一2(y1十 y2)二 1 2kx小2 3k(x1+xz) +4k11 分4x1x2 -2(x1 x2) 44x1x2 -2(x1 x2) 4將x18k22一 ,x1x2 二4k2 324k2 -124k2 3代入上式得:34k2k 4kJ282k24k4k2 34k2 34k2 -12 - 8k2,2_ 2 244k2 3 4k2 3所以kk'為定值-W. 14 分422100.已知點(diǎn)M是橢圓C： : + 4=1 (a >bA0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為C的左右焦點(diǎn) a b|F1F2| = 4, /F1MF2=60°, AF1MF2 的面積為迪.3(I)求橢圓C的方

11、程；(n)設(shè)N(0,2),過(guò)點(diǎn)P(1,2)作直線l ,交橢圓C異于N的A,B兩點(diǎn)，直線NA, NB的斜率分別為k1,k2,證明：k1 + k2為定值.22x y【答案】(i) 一+匚=1 ； (n)詳見(jiàn)解析.84【解析】試題分析：本題考查橢圓的定義、余弦定理及韋達(dá)定理的應(yīng)用.第一問(wèn)是利用三角形面積公式、余弦定理、橢圓的定義，三個(gè)方程聯(lián)立，解出 a,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系求b ,本問(wèn)分析已知條件是解題的關(guān)鍵；第二問(wèn)是直線與橢圓相交于A, B兩點(diǎn)，先設(shè)出 A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達(dá)式， 但是在本問(wèn)中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊(yùn)含了分

12、類(lèi)討論的思想的應(yīng)用試題解析：(I)在AF1MF2中，,1由一|MF111MF2 |sin600 2晅,得 |MFi|MF2|=¥ 33由余弦定理，得 |F1F2|2=| MF1121MF2 |2 -2| MF111MF21cos60 0 2 _ 0= (|MF1 |+|MF2|)2 -2| MF1 |MF2 |(1+cos600),從而 2a =|MFi |+|MF24J2,即 a=2j2,從而 b = 2,22故橢圓C的方程為<十以=1 .84(n)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為 y+2=k(x + 1),22二 L -1由84 ，得(1+2k2)x2+4k(k2)x +

13、2k28k = 0.y 2 = k(x 1)24k(k-2)2k -8k僅 A( x1, y1 ),B( x2, y2),x1x2-2 'x1 x221 2k1 2k從而k1 . k2二y1 -2y2 -22kxix2 (k - 4)(為x2)+=xix2x1x2= 2k-(k-4)k4.2k2-8k11當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),2、14. 14 一得 A(-1,-), B(1,J),得 I +k2=4.22綜上，恒有k1 +k2 =4 .12 分考點(diǎn)：1.橢圓的定義；2.韋達(dá)定理；3.直線的斜率.64.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知F1 (-4,0) , F2(4,0) , A

14、(0,8)，直線y = t(0 <t<8)與線段AFi、AF2分別交于點(diǎn)P、Q .(1)當(dāng)t=3時(shí)，求以Fi,F2為焦點(diǎn)，且過(guò)PQ中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)Q作直線QR” AE交F1F2于點(diǎn)R,記&PRE的外接圓為圓C.求證：圓心C在定直線7x+4y+8 = 0上;圓C是否恒過(guò)異于點(diǎn) 目的一個(gè)定點(diǎn)？若過(guò)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由22【答案】A E259,4 32、=1 (2)略(,).13 13【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意，b=3, c=4,求出a,可得到方程；(2)解法一：根據(jù)題意寫(xiě)出P,Q,R的坐標(biāo)，線段F1R、PF1的中垂線的交點(diǎn)就是圓心，將圓心坐

15、標(biāo)代入7x+4y+8=0中，可得證；解法二：設(shè)出一般方程，將 P,Q, R三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，聯(lián)立求解；根據(jù)，寫(xiě)出圓系方程(x2+y2+2y 16)十t(x 1 y + 4) =0 ,4聯(lián)立方程2y 4y -16 = 07解得該定點(diǎn).x - y 4 = 0422試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為 與+yy = 1（aAb0）, a2b2當(dāng)t=3時(shí)，PQ的中點(diǎn)為（0,3）,則b=3而 a2 -b2 =16，所以 a2 =25 ,22故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1259(n )解法一：易得直線 AF1 : y = 2x+8,直線AF2 : y = 2x+8一，r t -88 -t 一，可得 P(t-28,t),

16、Q(821,t),再由 QRt'AF1,得 R(41,0)則線段F1R的中垂線方程為線段PF1的中垂線方程為y15t-16-x 281 5t -16 y 二-x 由 2 8tx 二.2解得APRF的外接圓的圓心坐標(biāo)為 （，江2）2 8經(jīng)驗(yàn)證，該圓心在定直線7x +4y +8 =0上101311由可得圓C的方程為x2+y2+tx+(4 7t)y+4t16 = 04該方程可整理為(x2 y2 2y-16) t(x -7 y 4) =0,4則由x2 y2 4y -16 = 07,解得x - y 4=0|44x 二1332y 二x = W或y =0134 3214設(shè)APRFi的外接圓C的方程為

17、22x y Dx Ey F = 0,2_(4 -t) (4-t)DF =0所以圓C恒過(guò)異于點(diǎn)F1的一個(gè)定點(diǎn),該點(diǎn)坐標(biāo)為（;，絲）13 13解法二：易得直線 AF1 :y =2x+8,直線AF2 :y = -2x + 8_ 廣 t -88 -t所以可得 P( ,t),Q(一,t),22再由 QR” AF1,得 R(4 -t,0)2_(-4) -4D F =0t -8 22 t-8()t D tE F =022解得圓心坐標(biāo)為（一工，4一2）, 2 8經(jīng)驗(yàn)證，該圓心在定直線 7x+4y+8=0上1011由可得圓C的方程為x2 + y2+tx+(47t)y + 4t-16 = 04該方程可整理為(x2

18、 y2 - 2y -16) t(x - y 4) = 0,4 2一 x 則由y2 4y -16 : 07x - y 4=044x 二一- -13，解得1332 y =13_L,x - -4 或v = 0134 32所以圓C恒過(guò)異于點(diǎn)F1的一個(gè)定點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)為（二，三）13 13分考點(diǎn)：橢圓的定義及基本性質(zhì)，三角形外接圓 68.在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A （2, 0）、B （2, 0）,異于A、1八一一一其中k、k2分別表不直線AR BP的斜率.414B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足(I )求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(n)若N是直線x=2上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線 AN與(I)中軌跡E交予點(diǎn)Q設(shè)直線 QB與

19、以NB為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為 M(異于點(diǎn)B),點(diǎn)C (1, 0),求證：|CM| |CN|為定 值.2【答案】(I) x- + y2 =1 (y #0) ; (II)詳見(jiàn)解析.4【解析】1試題分析：(I)根據(jù)斜率公式，有斜率乘積等于整理即得 注意y¥0； (n)設(shè)直線4AN的方程，與橢圓方程組成方程組， 消去y,由韋達(dá)定理求點(diǎn) Q的坐標(biāo)，根據(jù)直線QB與以NB為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M ,得MN _LQB ,從而得到直線 MN的方程，確定恒 過(guò)的定點(diǎn).證明C, M , N三點(diǎn)共線，又CB是以NB為直徑的圓的切線 ，由切割線定理可“八一2知，|cm cn =cb =1,即為定值.試題解析

20、：(I )設(shè) P(x, y)，由 Kk2 =-得y y = -1 ,其中 x0 工2 ,4 x 2 x-242整理得P點(diǎn)的軌跡方程為x- + y2 =1 (y = 0) .(4 分)4(n)設(shè)點(diǎn)N(2,m)(m#0),則直線AN的方程為y=m(x + 2),4解方程組 4 y 4 (x 2),消去 y 得(4 + m2)x2 + 4m2x+4m2-16 = 0 ,2 .2x + 4 y =4設(shè) Q(Xi , y1),則 Xi +(-2). x2 m2 4-4m28-2m28-2m2從而Q( 2m 44m 、m2+4)'又 B(2,0),kQB”4 m8 -2m2m2 4;直線QB與以N

21、B為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.MN 方程為 ym =m(x2)，即 y =m(x1),過(guò)定點(diǎn) C(1,0),(9 分)定值證法一：即C,M ,N三點(diǎn)共線，又CB是以NB為直徑的圓的切線 ，由切割線定理可乙一2知，CM CN =|CB =1,為定值.(12分)1te值證法一：直線 QB : y = (x 2),直線 CN : y = m(x -1),mm2 2聯(lián)立得，Xm = mJm 1CM CN | =1 + k，M Xm Xc11 + kN Xn Xc=1 m22_m2,2 -1m 1J + m2 2 -1 = (1 + m2) 1 = 1,為定值. m2 +1(12分)考點(diǎn)：橢圓方程，直線與

22、橢圓的關(guān)系，定點(diǎn)、定值問(wèn)題2273.已知橢圓： 與+與=1 ( a >b >0)上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2J3 ,離心率a2 b2線PF2的垂線為圣左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2 ,點(diǎn)P是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò) F2作直 3F2Q交橢圓于Q點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線 PQ與直線OQ的斜率之積是定值；(3)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3,過(guò)P作動(dòng)直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn) M , N ,在線段MN上取 點(diǎn)H ,滿(mǎn)足 里±=MzL 試證明點(diǎn)h恒在一定直線上.PN HN22【答案】(1)二+匕=1 ； (2)證明詳見(jiàn)解析；(3)證明詳見(jiàn)解析.32【解析】試題分析：(1)利

23、用橢圓的定義、離心率的定義、a,b,c的關(guān)系列出方程組，解得 a,b,c的值；(2)由右準(zhǔn)線方程設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直的充要條件得-y1y0 = 2(x1-1),表達(dá)出2222kPQkOQ = y12 yly0，將Q點(diǎn)代入橢圓壇+工=1中，即y； = 2(12)代入X2 -3x13232kPQkOQ二yiJy1y0中,化簡(jiǎn)得常數(shù)；(3)設(shè)出點(diǎn)M ,N ,代入橢圓方程中，設(shè) H (x,y), x1 -3x1工MP MH2-222 一一由PN = HN 信向重關(guān)系，付到xi,yi, x2,y2與x，y的關(guān)系，據(jù)xi與yi及x2與y2系數(shù)比為2:3 ,得H在直線2x+3y 2 =0.2a = 273試

24、題解析：(i)由題意可得|e = £ =Y3 ,解得a = J3, c = i, b = J2, a 32.2,2a =b +c22所以橢圓E ：人+上=i .2分322(2)由(i)可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為 x =a- =3 , c設(shè) P(3,y0),Q(xi,yi),因?yàn)?PF2XF2CJ,所以 kQFkPF =皂上=i, 222 xi -i所以-yiyo =2(xi -i),22Q又因?yàn)閗PQkoQ =匕無(wú)言=/羋且y；=2(i五)代入化簡(jiǎn)得kPQkoQ =-.xixi -3xi-3xi33即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值 -2 .7分.3(3)設(shè)過(guò)P(3,3)的直線l與橢

25、圓交于兩個(gè)不同點(diǎn) M (x1, y1), N(x2,y2)，點(diǎn)2222H (x, y),則 2x2 +3y； =6, 2x2 +3y2 =6.“ MP MH -設(shè) = =九，則MP=人PN,MH=入NH,PN HN (3 一 4,3 -yi)= 一九(% 3,y2 3),(x-xi,y -yj=九(x2 x,y2- y),整理得3 = " 一 x2 i22xi -i - 2222，從而3xN3y;i 一汽由于2x；+3y2=6 ,2x2 +3y2 =6 ,，我們知道x2與y2的系數(shù)之比為2：3,x2與y2的系數(shù)之比為2： 3.八2 八22 八2 -22 八2 八2 2小2 -2、l-

26、 6x 9y =2x1 一2, x2 3yl -3, y2 _2x1 3y1(2x2 3y2)所以點(diǎn)H恒在直線2x+3y2=0上.13分考點(diǎn)：1.橢圓的定義；2.離心率的定義；3.垂直的充要條件.78.如圖，已知橢圓 C:。+%=1由Ab>0)的離心率為 叵,以橢圓C的左頂點(diǎn)T為 a b2圓心作圓T : (x+2)2 +y2 =r2(r >0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N .(1)求橢圓C的方程；(2)求TM TN的最小值，并求此時(shí)圓 T的方程；(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M , N的任意一點(diǎn)，且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：OR OS為定值.'

27、11【答案】(1) + y2 =1 ； (2) , (x*2)2*y2= ； (3)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析. 4525【解析】試題分析：(1)先通過(guò)離心率求出 c,再通過(guò)a2=b2+c2,然后寫(xiě)出橢圓方程；(2)先設(shè)2T出M ,N點(diǎn)的坐標(biāo)，由于點(diǎn) M在橢圓C上，所以y12 =1 - x1 ,找到TM TN向量坐標(biāo)，4根據(jù)點(diǎn)乘列出表達(dá)式，配方法找到表達(dá)式的最小值，得到M點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)M在圓上，代入得到圓的半徑，就可以得到圓的方程；(3)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出直線 MP的方程，因?yàn)橹本€與x軸有交點(diǎn)，所以令y =0,得到xr,xs，所以xr,又因?yàn)辄c(diǎn)M , P在橢圓上，得到 方程，代入 Xr ,Xs 中，得到

28、Xr Xs =4,所以 OR，OS= Xr Xs = Xr Xs = 4.試題解析：（1）依題意，得 a=2, e = c = 8 . c = V3, b =，a2 c2 =1； a 22故橢圓C的方程為士十y2=1 .3 分4（2）方法一：點(diǎn) M與點(diǎn)N關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，設(shè) M（X1,y1） , N（X1-y1）,不妨設(shè)y1Ao.2由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以y： =1 力.（*）4 分4由已知 T(-2,0),則 TM =(用 +2, y)，TN =3 +2,必)，22所以 TM TN =(X1 2, y1)(X1 2, - y1)= (x 2) - y122X15 25 /82 1八=函+2) (

29、1 1 )= X1 +4X1 +3 = (X + ) -.6 分44455由于2<x1 <2,故當(dāng) = 8時(shí)，TM TN取得最小值為1. 55、一438 3, ,一 , 2 13由(*)式，y1=，故M ( ,-),又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到 r .55 52513故圓T的萬(wàn)程為：(x+2) +y =.8 分25方法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故設(shè) M (2cos H,sin H), N (2cos 8, -sin),不妨設(shè)sin 9 >0,由已知T(2,0),則TM TN =(2cos 2,sirP) (2cos 2, -sirP)=(2cos1 2)2 - sin2

30、 ? - 5cos2 ? 8cos? 3.42 1= 5(cos6 + 一) . 6 分 554-111_.8 3.故當(dāng)cos日=時(shí)，TM TN取得最小值為一，此時(shí)M (,一),555 5213又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r2:13 .25故圓T的方程為：(x+2)2+y2 = ；3.8 分(3)方法一：設(shè) P(xo, yO),則直線 MP 的方程為：y-yo = y0 - y1 (x-x0),令y =0,得xRxyo - xoyiy0 一 y1同理：Xs =Xi y°xo yiV。yi10 分故 xR xS =2222Xi y。-Xo yi22y0一 yiii 分2222又點(diǎn)M

31、與點(diǎn)P在橢圓上，故x0 = 4(i 一 y0 ) , xi =4(i-yi ),i2 分代入(*)式，得:Xr Xs22224(i - yi )y0 -4(i-y0 )yi22y0 一 yi224(y0 -yi )22y0 一 yi所以 OR OS =|xR ,Xs| = xR xS =4 為定值.i4 分方法二：設(shè) M (2cos H,sin 日)，N (2cos dsinH),不妨設(shè) sin6 > 0 ,P(2cos。, since),一._. . Qin a Qin A其中sin a豐土sin 9 ,則直線MP的方程為：y sin a =(x _ 2cosa),2cos： -2co

32、si2(sin 二 cos 1 - cos： sin )sin : - sin 二j巾 2(sin 二 cos cos： sin ?)同理：xS二sin 二；sin 二i2 分故 xR xS.,.22 -2. 2 、4(sin 二 cos 二-cos 二 sin 二)2 ._ 2 一sin -sin f2 2 - 4(sin -sin 二)_ 42 .2 一 二sin-sin f所以 OR OS = xR xS = Xr xS =4 為定值.i4 分考點(diǎn)：i.橢圓方程；2.配方法求最值.28i .如圖，已知橢圓C : 士十y2 = i的上、下頂點(diǎn)分別為A, B ,點(diǎn)P在橢圓上，且異于點(diǎn)A, B

33、 ,4直線AP, BP與直線l : y = -2分別交于點(diǎn) M ,N ,(I)設(shè)直線 AP,BP的斜率分別為k,k2,求證：ki 為定值;(n)求線段MN的長(zhǎng)的最小值;(m)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.1【答案】(I)匕卜2 =； (n) 4囪；(出)(0, 2十2甘)或(0, 226).4【解析】試題分析：(I) k1,k2隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)而變化，故設(shè)點(diǎn) P(%, y0)表示k, -k2,進(jìn)而化簡(jiǎn)整體消去變量；(n)點(diǎn)M,N的位置由直線 AP , BP生成，所以可用兩直線方程解出交點(diǎn)坐標(biāo)，求出MN ,它必是k1,k2的函數(shù)，利用基本不等式求出最小值；(出)利用 M

34、,N的坐標(biāo)求出圓的方程，方程必含有參數(shù)ki*2,消去一個(gè)后，利用等式恒成立方法求出圓所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo).試題解析：(I) :,A(0,1), B(0,1),令 P(X0,y°),則由題設(shè)可知 ¥0,直線AP的斜率 左=_y0二1, BP的斜率k2 =*口，又點(diǎn)P在橢圓上,X0X0所以 &1 + 丫。2=1, (%¥0),從而有 k1 &=止1 ,止=£1 = 1 4X0X0X04(n)由題設(shè)可以得到直線 AP的方程為y1=k1(X 0),直線BP的方程為y (_l) = k2(X0),3X 二 k2y 二一2,y -1 = k,Xx =由=k1

35、 ,y = 2y -2二直線AP與直線l的交點(diǎn)M (31,-2),直線BP與直線l的交點(diǎn)N(-,-2).k1k21 又 k1 k2 =,431MN| =k1 k2+4k1 k13k14k1 _ 2等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)3k,V=4k1即k1 =±時(shí)取到，故線段2MN長(zhǎng)的最小值是473.(出)設(shè)點(diǎn)Q(x, y)是以MN為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則 QM QN = 0 ,故有31. .1(x+)(x+)+(y+2)(y+2) =0 ,又k, k?=,所以以MN為直徑的圓的方程為k1k2423人+ (y+2) 12 十(一_4k1)x =0 ,令ki22X2 +(y+2)2 12=0 xu0解得

36、71;,y = -2 ,2,3以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn) (0, _2 +2J3)和(0, -2 2 J3).考點(diǎn)：直線的交點(diǎn)，圓的方程，圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用84.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為Fi(J3,0)和F2«'3,0),且橢圓過(guò)點(diǎn)(1,蟲(chóng)).2(I )求橢圓C的方程；6(n )過(guò)點(diǎn)(6 ,0)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于 M ,N兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn),5試判斷ZMAN的大小是否為定值，并說(shuō)明理由.2X 90【答案】 一 + y =1；(II)是定值904【解析】22試題分析：(I )設(shè)橢圓的方程為x y2. 2 一+ =1(a Ab0),有 c=j3,得

37、a - b =3,把 a b1 13 99(1,23)代入橢圓方程得 +一2=1,從而求出a2 =4,b2 =1,即可求出橢圓方程；(II)2a4b利用直線與圓錐曲線相交的一般方法，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，求AM AN,繼而判定是否為定值。22_試題解析：(I )設(shè)橢圓的方程為 三十*=1(a >b >0),由于焦點(diǎn)為F1(J3,0), F2(J3,0), a b22.313可知c = J3 ,即a2 b2 = 3 ,把(1 - 代入橢圓方程得 + 一2 = 1 ,解得2a 4b22.2.、一 x 2a =4,b =1,故橢圓的方程為 一+y =1;4(II )設(shè)直線MN的方程為x = ky 6,5x247 y聯(lián)立方程組可得 4x = ky二1,化簡(jiǎn)得:65(k2 4)y2j