立體幾何專題評(píng)估測(cè)試題及詳細(xì)答案

1、時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1. (2013-濟(jì)宇一模)已知"，是空間兩條不同的直線，a,8,y是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A.若a/3fmi1a,nc6【m/nB若aCy=m,6ry=n,勿/n,貝IJ(八8C若me6,a3,則mI.aD若m_L3,7/a,則aL8解析根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可知，D正確.答案D2. (2013-課標(biāo)全國(guó)1)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三

2、視圖中的正視圖時(shí)，以平面為投影面，則得到的正視圖可以為4。1)與三可28(1,1,0)(1)可以看出正視圖是正方形，如圖所示.故選A.答案A(2)G(o/，i)解析結(jié)合已知條件畫出圖形，然后按照要求作出正視圖.根據(jù)已知條件作出圖形：四面體。.勿盟標(biāo)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如圖所示,3. 在空間中，不同的直線nJ，不同的平面弘6,則下列命題正確的是A.7/冷門a,貝【Jm/nB.m/a,7/6.則a8C. m_L/,n L/,則 m/n答案D4.（2013-大興一模）已知平面a, 8,A若 m _L a, m _L 8,則 a/6C.若加a/ ac8=n,則 m/n C 中，當(dāng)m/a時(shí)，m只和過(guò)答案CD.

3、 m I. a, m_L 8,則 a/6直線m, n,下列命題中不正確的是B 若加m_L aJIJH-L aD若 m_La,8,則m平面與8的交線平行，所以C不正確.5. （2013-濱州模擬）一個(gè)兒何體的三視圖如圖所示，則該兒何體的體積為A.1側(cè)視圖解析山三視圖可知，該兒何體是四棱錐，以俯視圖為底，高為1，俯視圖的面積為1x1=1,11所以四棱錐的體積7八1x1=-,選B.答案B6 .卜列命題正確的是A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D.若兩

4、個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直解析A不正確，滿足條件的直線可能相交也可能異面；B不正確，當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)也滿足條件；山線面平行的性質(zhì)定理可知C正確；D不正確，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能平行，也可能相交.答案C7 .某兒何體的三視圖如圖所示，則該兒何體的表面積為D-（2邁+2）TI解析山三視圖可知該兒何體是兩個(gè)高相等、底面完全重合的圓錐，圓錐的底面半徑為1,高為1,則該兒何體的表面積為2xnr/=2XHXlx72=2A2n.答案B8 .設(shè)m,門是不同的直線，a8,y是不同的平面，有以下四個(gè)命題:a±8=8*、hm/am/nIna.8：®=>n?a.m/

5、6ncaI其中真命題的是A.B.C.D.解析正確，平行于同一平面的兩平面平行；中m可能在平面8內(nèi)，也可能力6,m±8,正確中可能mea.答案A9 .（2013-臨汾模擬）若某兒何體的三視圖是如圖所示的三個(gè)直角三角形，則該兒何體的外接球的表面積為俯視圖B. 5OnC. 25nD IOOTI解析山三視圖可知該兒何體為三棱錐，并且在同一頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直，且棱長(zhǎng)分別為3、4、5,故該兒何體的外接球也就是棱長(zhǎng)分別為3、4、5長(zhǎng)方體的外接球，則該外接球的半徑/?=/32+42+52二八八，所以S=4n/?2=50m答案B10 .（2013-太原模擬）兒何體極弼的三視圖如圖，其中正視圖為直角

6、梯形，側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為正方形，則下列結(jié)論中不成立的是A. BD / 平面 PCFC.平面BCF 平面ADPB. AE，平面 PBCD.CE/DP解析由三視圖可知，該兒何體的底面是正方形，且棱EB和都與底面ABCD垂直.若DP,則CE在平面PDA上的射影和DP平行，這和兒何體的側(cè)視圖矛盾，故選項(xiàng)D不成立.答案D1L若底面邊長(zhǎng)為a的正四棱錐的全面積與棱長(zhǎng)為a為正方體的全面積相等，那么這個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為解析山題意知正四棱錐的每個(gè)側(cè)面面積為專a?.設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為x,則正四棱錐的斜高所以有f解得x=¥八.2°/7T所以正四棱錐的側(cè)棱與底面所有角

7、的余弦值為逅二看答案c12如圖所示，正方體ABCD-AiBiCiDi中，E、F分別是正方形4切掰/和ABCD的中心，G是CCi的中點(diǎn)，設(shè)GF、GE與4B所成的角分別是a、&則q+8等于A.120°B.60°C,75°D.90°解析選BC的中點(diǎn)連接FM、MG,則ZGFM為GF與4B所成的角；連接ED-則ZECiDi為CiE與AB所成的角.計(jì)算出MF,MG,E6的長(zhǎng)度可知辰二祈，故RtAG/WF八RtACiED,AZGFM+Z£CiDi=90。.選D答案D二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）13 .將邊

8、長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線AC折起，以A,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大值等于解析如圖所示，設(shè)O是正方形片拉刀的對(duì)角線AC和切的交點(diǎn)，m是點(diǎn)A到平面即?的距離，因?yàn)镾.、88=2,所以當(dāng)AH最大時(shí)，所求三棱錐的體積就最大，由圖可知當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)。重合時(shí)，AH最大，此時(shí)刖二人。=邁，則三棱錐的體積最大值為二孳.C答案誓14 .（2013-揚(yáng)州模擬）正四面體ABCD中，AO_L平面比9,垂足為O,設(shè)A4是線段AO上一點(diǎn),AM且加笈是直角，則而的值為解析如圖所示，設(shè)正四面體/LO的棱長(zhǎng)為2,山條件知O是正三角形及刀的重心，所以BO=CO=半，止I.4設(shè)MO=x,K!lj(7/-BM=c+y乂因?yàn)轫毶鲜侵?/p>

9、角，所以Bd=Of+B后即4=2（；£+，解得x=¥'乂0=誓，即MO=MO,AMMO答案115 .如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面A3CD_L平面CEFB,CE=1,ZAED=30°,則異面直線BC與熊所成的角的大小為解析山題意，正方形和菱形的邊長(zhǎng)均為1乂面ABCD工平而CEFB,而以CE_L平面ABCD,于是CE_LCD,從而DE=©UADE中、AD=1.但Z4切=30°夕山正弦定理得-贊匚c=l線匚八冷sinZ4£Z?sinZEADDE-sinZAEDK2所以5nZEAD=心2故ZEAD=45&#

10、176;.XBC/AD,所以異面直線BC與AE所成角為ZEAD,即45。.答案45。16. 設(shè)/,m,n表示不同的直線，弘8、y表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若加/,且ml.a,則/_La；若/，且m/a,貝>>I/a：若ac8=1,6ny=m,yCa二n,貝1JI/m/n；若aC6=m,6cy=I,yda=，且/6,則1/m.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.解析正確.中當(dāng)直線/ua時(shí)，不成立.中，還有可能相交于一點(diǎn)，不成立.正確，故有2個(gè)正確的命題.答案2三、解答題（本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17. （10分）（2013濟(jì)南模擬）如圖，斜三

11、棱柱4/瓦。位中，側(cè)面力71/OC底面ABC底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面是菱形，ZA1AC=6O0,E、F分別是右G.AB的中點(diǎn).求證：FC,平面ABC；求三棱錐力/必。的體積.A解析（1）證明在平面陽(yáng)”。內(nèi)，作AiO,AC,O為垂足.11因?yàn)閆4/4勺60°,所以AO=AAAi=AAC.即O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)C狼人址.因而ECAi0.因?yàn)閭?cè)面陽(yáng)底面ABC,交線為AC,金0±AC,所以aio_L底面收;所以FC_L底面破（5分）（2）F到平面/比的距離等于3點(diǎn)到平面力/反7距離比的一半，而比二百，1111J3111所以VAi-EFC=VF-AiEC=-S/AiE

12、C-BO=-AiE-EC=-3=-（10分）18. （12分）如圖，直三棱柱極"/歷。中，A4比是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn).求證：直線4iD土BiCi；判斷如3與平面ADCi的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解析證明在直三棱柱膽藥。中，AAi，面ABC,所以41/坊C在等邊4ABC中，D是BC中點(diǎn)，所以ADLBC.因?yàn)樵谄矫媪?皿中，/h/W刃，所以BC,面4/49.又因?yàn)锳iDu面4/47,所以，AiDBC.（3分）在直三棱柱極中，四邊形及Z7為是平行四邊形，所以洌。,用所以如D_LfiiCi.（6（2）在直三棱柱ABC-AiBiCi中，四邊形ACCiAi是平行四邊形，在平行四邊形AC

13、CiAi中連接AiC,交于AC1點(diǎn)0,連接DO.則。為如C中點(diǎn).在三角形如CB中，D為BC中點(diǎn),0為如C中點(diǎn)，極DO/A1B.（10分）因?yàn)镈Ou平面DACi,AiBQ平面為Q.，所以如B面ADCi,故如B與面ADCi平行.（12分）19. （12分）（2013門頭溝區(qū)一模）如圖，已知平面灑6.且9尻P(guān)C，a,PD_L8,C,是垂足.求證：AB_L平面若PC=PD=1,CD=d試判斷平面a與平面8是否垂直，并證明你的結(jié)論.解析證明因?yàn)镻C±a,/ABCa,所以PC±AB同理PD±AB.乂PCCPD=只故AB_L平面PCD.（5分）平面a與平面8垂直.（6分）證明設(shè)

14、AB與平面PCD的交點(diǎn)為H,連接CH、DH.因?yàn)閃£濟(jì)所以PC±CH.在APCD中，PC=PD=1,CD=yi,所以B=X+PJJ=2f即ZCPD=900.在平面四邊形PCHD中，尾工如，PC，CH,再以PD/CH。貨）又PD_L8,所以CH±8,所以平面a，平面8.（12分）20. （12分）如圖，直三棱柱W/應(yīng)。.中，AABC是等邊三角形，D是3c的中點(diǎn).求證：力拓/年面北日若"二奶/二2,求與平面覺(jué)力所成角的正弦值.P證明因?yàn)槿庵籘/為。是直三棱柱，所以四邊形A/CCi是矩形.連接A1C交ACi于O,則O是AiC的中點(diǎn).乂D是BC的中點(diǎn)，所以在

15、AADCi中，OD如B.（3分）因?yàn)槿珞a平面ADCi,ODu平面4X7，所以金3平面ADCi.（5分）因?yàn)锳ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，所以AD±BC.以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系-X".由已知AB=BBi=已得口（000）,4（八3,0,0）,如（羽,0,2）,0（0,-1,2）（6分）則島二（點(diǎn)0,0）,DN=（0,1,2）,設(shè)平面ADC1的法向量為n=（x,y,z），得到1y+2z=0令z=l則x=0,y=2,所以n=（0,2,1）.（8分）乂力=（扇0,2）,得n-DAi=Ox八3+2x0+1x2=2,所以 cos （DAi, n）22 八 35設(shè)Ai

16、D與平面ADCi所成角為6則sin/=lcos咸i,n>1=八%（口分）所以&1D與平面ADC】所成角的正弦值為零.C2分）121. （12分）（2013-南京模擬）如圖，在直角梯形ABCP中，AP/BC,AP.LA&AB=BC=-AP=2.D是AP的中點(diǎn)，E、F、G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將ZPCD沿CD折起，使得PD，平面ABCD.求證：平面PCD_L平面刖D：求面面與面切9所成銳二面角的大小.解析證明TPD_L平面然少，”_LCD.9：cdLad,.cd_L平面d.TCDu平面月6,平面PCD_L平面月4。15分）如圖以D為原點(diǎn)，以島，滋炭為方向向量建立空間直

17、角坐標(biāo)系不憶則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為6（1,2,0）,E（0,l,矢膽0,0,1）,京=（0,1,0）,左=（1,1,1）.（7分）設(shè)平面EFG的法向量為n=（x,y,z）,nA=0n-EA=0取。=（1/0/1）5F面EFG的一個(gè)法向量.（10分） 滋二（100）為平面石叨的法向量，cos（戒,h）lAMnl2 面面與面石叨所成銳二面角的大小為45。.（12分）22.（12分）（2013朝陽(yáng)一模）如圖，在四棱錐0中，平面網(wǎng)C，平面極且R億PA=AD=2.四邊形ABCD滿足BC/AD.AB±AD,AB=紀(jì)小點(diǎn)&F分別為側(cè)棱PB,PC上的點(diǎn)，PF_PF_.PB=%人、求證：EF平

18、面PAD；(2)當(dāng)入二打寸，求異面直線BF與CD所成角的余弦值；(3)是否存在實(shí)數(shù)入，使得平面AFD_L平面PCD若存在，試求出入的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理PEPF解析證明由已知，亦二龍二人，所以EF/BC.因?yàn)楸?27,所以EF/AD.而EFQ平面PAD、ADu平面PAD,所以FF平面PAD.(4分)因?yàn)槠矫嫫矫鏋槠矫姹坏禿平面PAC=AC,且網(wǎng)_LAC,所以網(wǎng)_L平面ABCD,所以網(wǎng)_L4?,_Lad.乂因?yàn)锳B_LAD,所以網(wǎng)，AB,AD兩兩垂直.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B=BC=bPA=AD=2,所以A(OQO),B(l9090)9C(1,1,0),0(0,2,0),P(0Q2)當(dāng)人二撲寸，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，所以彳才T，I),所以藤=(一去pij,cb=(-i,i設(shè)異面直線即與所成的角為為所以COS療二Icos:就金）所以異面直線BF與CD所成角的余弦值為警.（8分）設(shè)F（xo,加zo）貝得若=（xo,火田zo-2）,龍二（1j，-2）由已知原二入丸所以（xo,ifflZ