2019考研數(shù)學基礎階高數(shù)之不定積分

1、2019 考研數(shù)學基礎階高數(shù)之不定積分跨考教育成建軍“不定積分” 是考研數(shù)學微積分的基本運算。 不定積分是導數(shù)的逆運算， 同時也是后續(xù)定積分及多元積分的基礎。 不定積分是微積分的重要基石， 很多考生微積分學不好， 感覺積分很難算。 在考研數(shù)學中直接考察不定積分的運算很少， 但其它的考點如果不定積分不會算往往導致結果得不到。 比如一個二重積分運算題， 首先化成累次積分， 其次累次積分計算往往是定積分運算， 而定積分要想算出需要不定積分計算能夠熟練運用。 不定積分計算作為微積分的三大支柱之一，如果不會，基本上微積分是學不會的。因此， 2019 的考生在基礎階復習時一定要搞定不定積分計算。為幫助 2

2、019 同學掌握基本不定積分計算的方法，確保基礎階掌握不定積分計算，跨考教研室的成建軍老師給各位梳理出一個嚴密的不定積分計算流程。有理積分不定積分計算流程：分部積分可化有理積分第一換元A 、有理積分P xP x bmx mbm 1xm 1b0dx :Q x an xnan 1 xn 1a0Q x1、 m n 除法降次S xQ xP xP x dxS xR x dxS x dxR x dxQ xQ xQ xR xx21x41dx2x21 dxdxx41x示例 1、 x2x212114x212x3xdxx21x23x11x222、分母分解處理R x dxQ x(1)R x dxAxBdxQ xx2

3、pxqAx Bx2dxpx q1x2pxq dx p 24q 01x2pxq dx p 24q 0A2xpp2BA2x2pxqdx2BA2xpApdxAdx2x 2pxq2x2pxqA d x2px qAp2 Bx21dx2x2px q2Apx qA ln x2px qAp2 Bx21dx22Apxqp11x22dxarctanCp2pp2p2xqqq24441dx1dx1Cx2pxq2pxpx22 p 24q0x21dx1dxpxqp2pqpp2x4xq2241xpp 2q24lnCp2pp 22xqq244(2) Q x 次數(shù)2( Q x 含 n重根 (n2) ) Q x 含無實根的二次式

4、R xAxBQ xx2pxq左右同乘 x ，令 x確定 A Q x 含單根的一次式R xCQ xxx0左右同乘 xx0 ，令 xx0 確定 C Q x 含二重根的二次式R xD1D 2Q xxx0xx02左右同乘 x2，令 xx0 確定 D2x0順序剩下待定系數(shù)采用特殊值法。(3) Q x 含 n重根 (n3)示例 2、x2dxx1 3x1x2ABCDx 1 3 x 1x 1x 1 2x 1 3x 1左右同乘x1 3 ，令 x1確定 C1，左右同乘 x1 ，令 x1確定 D1，分解式28x2AB1111。最后，令x0,2有 A1, B33x 122x 138。x 1 x 1x 18 x 14x

5、21311dx8428dx3x 1 x 123x 1 x 1x 1x 1B、第一類換元法 (湊微分 )設 f (u) 有一個原函數(shù)F (u) ， u( x) 可導，則有f( x)' ( x) dx 令 u(x) f u du F (u) C F( x)CC、可化有理積分三角函數(shù)可化有理積分指數(shù)函數(shù)根式處理第二類換元法設 x(t) 是單調(diào)，可導的函數(shù)，且' (t )0 ，設 f (t )' (t) 具有原函數(shù) G(t ) ，則f ( x)dx 令 x(t )f (t)' (t)dtG(t)G1 (x)C .1、三角函數(shù)萬能公式x1 2txttan22sin x c

6、os x2tsin xtsin x122t 221 t 2cosx2 xsin2 x1t 2cos21t 2cos x1221 t 22、指數(shù)函數(shù) t ax3、根式處理naxb直接令 tnnaxb有理積分cxd根式形式x求出不含根號a2x2: xa sin t或 acost三角換元x2a2: xa sect或 a csct三角函數(shù)a2x2: x a tant或 a cottD、分部積分公式uv dxudv uvvdu uvvu dx原則：1、好湊微分的做v ，求導簡化的做u ；2、先 v 后 u ；3arc , ln,xxa三角或 ax ；f t dt、常做 u 的優(yōu)先級：a4、常用湊微分： adxd axb ， xdx1 d x2，xa dxa1d xa 1 ，1 dxd ln x ，21xex