2019考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)階高數(shù)之不定積分

1、2019 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)階高數(shù)之不定積分跨考教育成建軍“不定積分” 是考研數(shù)學(xué)微積分的基本運(yùn)算。 不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算， 同時(shí)也是后續(xù)定積分及多元積分的基礎(chǔ)。 不定積分是微積分的重要基石， 很多考生微積分學(xué)不好， 感覺(jué)積分很難算。 在考研數(shù)學(xué)中直接考察不定積分的運(yùn)算很少， 但其它的考點(diǎn)如果不定積分不會(huì)算往往導(dǎo)致結(jié)果得不到。 比如一個(gè)二重積分運(yùn)算題， 首先化成累次積分， 其次累次積分計(jì)算往往是定積分運(yùn)算， 而定積分要想算出需要不定積分計(jì)算能夠熟練運(yùn)用。 不定積分計(jì)算作為微積分的三大支柱之一，如果不會(huì)，基本上微積分是學(xué)不會(huì)的。因此， 2019 的考生在基礎(chǔ)階復(fù)習(xí)時(shí)一定要搞定不定積分計(jì)算。為幫助 2

2、019 同學(xué)掌握基本不定積分計(jì)算的方法，確保基礎(chǔ)階掌握不定積分計(jì)算，跨考教研室的成建軍老師給各位梳理出一個(gè)嚴(yán)密的不定積分計(jì)算流程。有理積分不定積分計(jì)算流程：分部積分可化有理積分第一換元A 、有理積分P xP x bmx mbm 1xm 1b0dx :Q x an xnan 1 xn 1a0Q x1、 m n 除法降次S xQ xP xP x dxS xR x dxS x dxR x dxQ xQ xQ xR xx21x41dx2x21 dxdxx41x示例 1、 x2x212114x212x3xdxx21x23x11x222、分母分解處理R x dxQ x(1)R x dxAxBdxQ xx2

3、pxqAx Bx2dxpx q1x2pxq dx p 24q 01x2pxq dx p 24q 0A2xpp2BA2x2pxqdx2BA2xpApdxAdx2x 2pxq2x2pxqA d x2px qAp2 Bx21dx2x2px q2Apx qA ln x2px qAp2 Bx21dx22Apxqp11x22dxarctanCp2pp2p2xqqq24441dx1dx1Cx2pxq2pxpx22 p 24q0x21dx1dxpxqp2pqpp2x4xq2241xpp 2q24lnCp2pp 22xqq244(2) Q x 次數(shù)2( Q x 含 n重根 (n2) ) Q x 含無(wú)實(shí)根的二次式

4、R xAxBQ xx2pxq左右同乘 x ，令 x確定 A Q x 含單根的一次式R xCQ xxx0左右同乘 xx0 ，令 xx0 確定 C Q x 含二重根的二次式R xD1D 2Q xxx0xx02左右同乘 x2，令 xx0 確定 D2x0順序剩下待定系數(shù)采用特殊值法。(3) Q x 含 n重根 (n3)示例 2、x2dxx1 3x1x2ABCDx 1 3 x 1x 1x 1 2x 1 3x 1左右同乘x1 3 ，令 x1確定 C1，左右同乘 x1 ，令 x1確定 D1，分解式28x2AB1111。最后，令x0,2有 A1, B33x 122x 138。x 1 x 1x 18 x 14x

5、21311dx8428dx3x 1 x 123x 1 x 1x 1x 1B、第一類換元法 (湊微分 )設(shè) f (u) 有一個(gè)原函數(shù)F (u) ， u( x) 可導(dǎo)，則有f( x)' ( x) dx 令 u(x) f u du F (u) C F( x)CC、可化有理積分三角函數(shù)可化有理積分指數(shù)函數(shù)根式處理第二類換元法設(shè) x(t) 是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，且' (t )0 ，設(shè) f (t )' (t) 具有原函數(shù) G(t ) ，則f ( x)dx 令 x(t )f (t)' (t)dtG(t)G1 (x)C .1、三角函數(shù)萬(wàn)能公式x1 2txttan22sin x c

6、os x2tsin xtsin x122t 221 t 2cosx2 xsin2 x1t 2cos21t 2cos x1221 t 22、指數(shù)函數(shù) t ax3、根式處理naxb直接令 tnnaxb有理積分cxd根式形式x求出不含根號(hào)a2x2: xa sin t或 acost三角換元x2a2: xa sect或 a csct三角函數(shù)a2x2: x a tant或 a cottD、分部積分公式uv dxudv uvvdu uvvu dx原則：1、好湊微分的做v ，求導(dǎo)簡(jiǎn)化的做u ；2、先 v 后 u ；3arc , ln,xxa三角或 ax ；f t dt、常做 u 的優(yōu)先級(jí)：a4、常用湊微分： adxd axb ， xdx1 d x2，xa dxa1d xa 1 ，1 dxd ln x ，21xex