新定義函數(shù)-重慶中考新題型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)圖形變換方法總結(jié)：1掌握函數(shù)平移的規(guī)律，包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)；2確定函數(shù)的特征點(diǎn)為基準(zhǔn)移動(dòng)函數(shù)，并確定移動(dòng)后的解析式；3根據(jù)題目要求結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題。例1我們規(guī)定：形如的函數(shù)叫做“奇特函數(shù)”.當(dāng)時(shí)，“奇特函數(shù)”就是反比例函數(shù).（1） 若矩形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，當(dāng)這兩邊長(zhǎng)分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8 ，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷這個(gè)函數(shù)是否為“奇特函數(shù)”；（2） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（9，0）、（0，3）點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，連結(jié)OB，CD交于點(diǎn)E，“奇特函數(shù)”的圖象經(jīng)過(guò)B，E兩

2、點(diǎn).求這個(gè)“奇特函數(shù)”的解析式；把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個(gè)單位，再向上平移     個(gè)單位就可得到中所得“奇特函數(shù)”的圖象.過(guò)線段BE中點(diǎn)M的一條直線l與這個(gè)“奇特函數(shù)”的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，若以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)例2定義a，b，c為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”如：函數(shù)y=x2-2x+3的“特征數(shù)”是1，-2，3，函數(shù)y=2x+3的“特征數(shù)”是0，2，3，函數(shù)y=-x的“特征數(shù)”是0，-1，0（1）將“特征數(shù)”是的函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位，得到一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)新函數(shù)的解析式是；（2）在（1）

3、中，平移前后的兩個(gè)函數(shù)分別與y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線分別交于D、C兩點(diǎn)，判斷以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由并計(jì)算其周長(zhǎng)；（3）若（2）中的四邊形與“特征數(shù)”是的函數(shù)圖象的有交點(diǎn)，求滿足條件的實(shí)數(shù)b的取值范圍變式 如果二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為l，則此二次函數(shù)可表示為y=x2+px+q，我們稱(chēng)p，q為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù)y=x2+2x+3的特征數(shù)是2，3(1)若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為-2，1，求此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)探究下列問(wèn)題：若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為4，-1，將此函數(shù)的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，求得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為2，3，問(wèn)此函

4、數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)為3，4？例3如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點(diǎn)為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn)A，B，若AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB圍成的圖形稱(chēng)為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段AB稱(chēng)為碟寬，頂點(diǎn)M稱(chēng)為碟頂，點(diǎn)M到線段AB的距離稱(chēng)為碟高（1）拋物線對(duì)應(yīng)的碟寬為  ；拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的碟寬為 ；拋物線y=ax2（a0）對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=a(x-2)2+3（a0）對(duì)應(yīng)的碟寬為；（2）拋物線（a0）對(duì)應(yīng)的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；（3）將拋物線y=an

5、x2+bnx+cn（an0）的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)蝶形記為Fn（n=1，2，3），定義F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比若Fn與Fn1的相似比為，且Fn的碟頂是Fn1的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)將（2）中求得的拋物線記為y1，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為F1求拋物線y2的表達(dá)式；若F1的碟高為h1，F(xiàn)2的碟高為h2，F(xiàn)n的碟高為hn，則hn=，F(xiàn)n的碟寬有端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)在一條直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出該直線的表達(dá)式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。例4如圖，直線l：y=mx+n（m0，n0）與x，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到COD，過(guò)點(diǎn)A，B，D的拋物線P

6、叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線（1）若l：y=-2x+2，則P表示的函數(shù)解析式為  ；若P：y=-x2-3x+4，則l表示的函數(shù)解析式為 （2）求P的對(duì)稱(chēng)軸（用含m，n的代數(shù)式表示）；（3）如圖，若l：y=-2x+4，P的對(duì)稱(chēng)軸與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在l上，點(diǎn)Q在P的對(duì)稱(chēng)軸上當(dāng)以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）如圖，若l：y=mx-4m，G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM若OM=，直接寫(xiě)出l，P表示的函數(shù)解析式參考答案：例1【解析】（1），是 “奇特函數(shù)”；（2）；或或或.試題分析：（1）根據(jù)題意列式

7、并化為，根據(jù)定義作出判斷.（2）求出點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線OB解析式和直線CD解析式，二者聯(lián)立即可得點(diǎn)E 的坐標(biāo)，將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)即可求得這個(gè)“奇特函數(shù)”的解析式.根據(jù)題意可知，以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP，據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo).試題解析：（1）根據(jù)題意，得，.根據(jù)定義，是 “奇特函數(shù)”.（2）由題意得，.易得直線OB解析式為，直線CD解析式為，由解得.點(diǎn)E（3，1）.將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)，得，整理得，解得.這個(gè)“奇特函數(shù)”的解析式為.可化為，根據(jù)平移的性質(zhì)，把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)

8、單位就可得到.關(guān)于點(diǎn)（6，2）對(duì)稱(chēng).B（9，3），E（3，1），BE中點(diǎn)M（6，2），即點(diǎn)M是的對(duì)稱(chēng)中心.以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.設(shè)點(diǎn)P到EB的距離為m，以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，.點(diǎn)P在平行于EB的直線上.點(diǎn)P在上，或.解得.點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或.考點(diǎn)：1.新定義和閱讀理解型問(wèn)題；2.平移問(wèn)題；3.反比例函數(shù)的性質(zhì)；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.勾股定理；6.中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；7.平行四邊形的判定和性質(zhì)；8.分類(lèi)思想的應(yīng)用.例2【解析】（1）根據(jù)函數(shù)“特征數(shù)”寫(xiě)出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移后一次函數(shù)的變化情況寫(xiě)出函數(shù)圖

9、象向下平移2個(gè)單位的新函數(shù)的解析式（2）判斷以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形形狀，可根據(jù)一次函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位與原函數(shù)圖象的關(guān)系，得出AB=2，并確定為平行四邊形，由直線相交計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)后，求出線段BC=2，再根據(jù)菱形的判定（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）得出，其周長(zhǎng)=2×4=8；（3）根據(jù)函數(shù)“特征數(shù)”寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式，化為頂點(diǎn)式為y=（x-b）2+，確定二次函數(shù)的圖象不會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，再將菱形頂點(diǎn)A（0，1），D（）代入二次函數(shù)解析式得出實(shí)數(shù)b的取值范圍【解析】（1）y=（1分）“特征數(shù)”是的函數(shù)，即y=+1，該函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位，得y=（2）由題意可知y=向下

10、平移兩個(gè)單位得y=ADBC，AB=2，ABCD四邊形ABCD為平行四邊形，得C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），D（）由勾股定理可得BC=2四邊形ABCD為平行四邊形，AB=2，BC=2四邊形ABCD為菱形周長(zhǎng)為8（3）二次函數(shù)為：y=x2-2bx+b2+，化為頂點(diǎn)式為：y=（x-b）2+，二次函數(shù)的圖象不會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C設(shè)二次函數(shù)的圖象與四邊形有公共部分，當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，將A（0，1），代入二次函數(shù)，解得b=-，b=（不合題意，舍去），當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，將D（），代入二次函數(shù)，解得b=+，b=（不合題意，舍去），所以實(shí)數(shù)b的取值范圍：例3【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義可算出y=ax2

11、（a0）的碟寬為、碟高為，由于拋物線可通過(guò)平移y=ax2（a0）得到，得到碟寬為、碟高為，由此可得碟寬、碟高只與a有關(guān)，與別的無(wú)關(guān)，從而可得（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬易得a的值（3）根據(jù)y1，容易得到y(tǒng)2結(jié)合畫(huà)圖，易知h1，h2，h3，hn1，hn都在直線x=2上，可以考慮hnhn1，且都過(guò)Fn1的碟寬中點(diǎn)，進(jìn)而可得畫(huà)圖時(shí)易知碟寬有規(guī)律遞減，由此可得右端點(diǎn)的特點(diǎn)對(duì)于“F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？”，我們可以推測(cè)任意相鄰的三點(diǎn)是否在一條直線上，如果相鄰的三個(gè)點(diǎn)不共線則結(jié)論不成立，反之則成立，所以可以考慮基礎(chǔ)的幾個(gè)圖形關(guān)系，利用特殊點(diǎn)求直線方程即可試題解析：（1）4；1；a0

12、，y=ax2的圖象大致如下：其必過(guò)原點(diǎn)O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點(diǎn)為C，連接OA，OBDAB為等腰直角三角形，ABx軸，OCAB，OCA=OCB=AOB=×90°=45°，ACO與BCO亦為等腰直角三角形，AC=OC=BC，xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2，A（，），B（，），C（0，），AB=，OC=，即y=ax2的碟寬為拋物線y=x2對(duì)應(yīng)的a=，得碟寬為4；拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的a=4，得碟寬為為；拋物線y=ax2（a0），碟寬為；拋物線y=a(x2)2+3（a0）可看成y=ax2向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖形，平移不

13、改變形狀、大小、方向，拋物線y=a(x2)2+3（a0）的準(zhǔn)碟形與拋物線y=ax2的準(zhǔn)碟形全等，拋物線y=ax2（a0），碟寬為，拋物線y=a(x2)2+3（a0），碟寬為（2）y=ax24ax，由（1），其碟寬為，y=ax24ax的碟寬為6，=6，解得A=，y=x2x=(x2)23（3）F1的碟寬：F2的碟寬=2：1，=，a1=，a2=y=(x2)23的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），A（1，0），B（5，0），F(xiàn)2的碟頂坐標(biāo)為（2，0），y2=(x2)2Fn的準(zhǔn)碟形為等腰直角三角形，F(xiàn)n的碟寬為2hn，2hn：2hn1=1：2，hn=hn1=()2hn2=()3hn3=()n+1h1，h1

14、=3，hn=hnhn1，且都過(guò)Fn1的碟寬中點(diǎn)，h1，h2，h3，hn1，hn都在一條直線上，h1在直線x=2上，h1，h2，h3，hn1，hn都在直線x=2上，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+另，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)在一條直線上，直線為y=x+5分析如下：考慮Fn2，F(xiàn)n1，F(xiàn)n情形，關(guān)系如圖2，F(xiàn)n2，F(xiàn)n1，F(xiàn)n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F(xiàn)，I分別為其碟寬的中點(diǎn)，都在直線x=2上，連接右端點(diǎn)，BE，EHABx軸，DEx軸，GHx軸，ABDEGH，GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，HEGF，EBDC，GFI=GFH=DCE=D

15、CF，GFDC，HEEB，HE，EB都過(guò)E點(diǎn)，HE，EB在一條直線上，F(xiàn)n2，F(xiàn)n1，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線F1：y1=(x2)23準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），F(xiàn)2：y2=(x2)2準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，），待定系數(shù)可得過(guò)兩點(diǎn)的直線為y=x+5，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在直線y=x+5上考點(diǎn)：1、等腰直角三角形；2、二次函數(shù)的性質(zhì)；3多點(diǎn)共線例4解析：參考題目：1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組成一條封閉曲線，我

16、們把這條封閉曲線稱(chēng)為“蛋線”，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)M是拋物線C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的頂點(diǎn).（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）“蛋線”在第四象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得PBC的面積最大？若存在，求出PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)BDM為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值.(參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，則M、N兩點(diǎn)間的距離為MN=.（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.【解析】試題分析：（1）將y=mx2-2mx-3m化為交點(diǎn)式，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先用待定系數(shù)法得到拋物線C

17、1的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PQy軸，交BC于Q，用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到PBC面積的最大值；（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：DM2+BD2=MB2時(shí)；DM2+MB2=BD2時(shí)，討論即可求得m的值試題解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），m0，當(dāng)y=0時(shí)，x1=-1，x2=3，A（-1，0），B（3，0）；（2）設(shè)C1：y=ax2+bx+c，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得，故C1：y=x2-x-依題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n2-n-）(0<n<3)則SPBC=SPOC+SBOP-SBOC 

18、;=××n+×3×(-n2+n+)-×3×=-(n-)2+-0,當(dāng)n=時(shí)SPBC的最大值是（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，頂點(diǎn)M坐標(biāo)（1，-4m），當(dāng)x=0時(shí)，y=-3m，D（0，-3m），B（3，0），DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，當(dāng)BDM為Rt時(shí)有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2DM2+BD2=MB2時(shí)有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=-1（m0，m=1舍去）；DM2+MB2=BD2時(shí)有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=-（m=舍去）綜上，m=-1或-時(shí)，BDM為直角三角形2對(duì)于平面直角坐標(biāo)