含參二次不等式因式分解

1、一、公式法必會的乘法公式【公式1】【公式2】(立方和公式)【公式3】(立方差公式)【公式4】【公式5】【例1】用立方和或立方差公式分解以下各多項式：(1) (2) 【例2】分解因式：(1) (2) 二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組1分組后能提取公因式【例3】把分解因式【例4】把分解因式2分組后能直接運用公式【例5】把分解因式【例6】把分解因式十字相乘法分解因式1二次三項式1多項式，稱為字

2、母 的二次三項式，其中 稱為二次項， 為一次項， 為常數(shù)項例如：和都是關(guān)于x的二次三項式2在多項式中，如果把 看作常數(shù)，就是關(guān)于 的二次三項式；如果把 看作常數(shù)，就是關(guān)于 的二次三項式3在多項式中，把 看作一個整體，即 ，就是關(guān)于 的二次三項式同樣，多項式，把 看作一個整體，就是關(guān)于 的二次三項式2十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容(1)對于二次項系數(shù)為1的二次三項式方法的特征是“拆常數(shù)項，湊一次項當(dāng)常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同；當(dāng)常數(shù)項為負(fù)數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同(2)對于二次項系數(shù)不是1的二次

3、三項式大家知道，反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行十字相乘法的要領(lǐng)是：“頭尾分解，交叉相乘，求和湊中，觀察試驗。這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過屢次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解它的特征是“拆兩頭，湊中間當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，先提出負(fù)號，使二次項系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項；常數(shù)項為正數(shù)時，應(yīng)分解為兩同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號

4、相同；常數(shù)項為負(fù)數(shù)時，應(yīng)將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項系數(shù)的符號相同注意：用十字相乘法分解因式，還要注意防止以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認(rèn)真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母【例1】把以下各式因式分解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 豎分二次項與常數(shù)項交叉相乘，和相加檢驗確定，橫寫因式順口溜： 豎分常數(shù)交叉驗， 橫寫因式不能亂例2、因式分解與系數(shù)的關(guān)系 假設(shè)多項式a2+ka+16能分解成兩個系數(shù)是整數(shù)的一次因式的積，那么整數(shù)k可取的值有( ) A.5個 B.6個 C.8個 D.4個分析：因為二次項系數(shù)

5、為1，所以原式可分解為(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整數(shù)k可取值的個數(shù)取決于式子mn=16的情況.(其中m、n為整數(shù)) 因為16=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4) 16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B2一般二次三項式型的因式分解【例2把以下各式因式分解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要當(dāng)二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，假

6、設(shè)原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法湊，看是否符合一次項系數(shù)，否那么用加法湊，先湊絕對值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號 練習(xí)1：分解因式(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 練習(xí)2分解因式 (1)； (2)； (3)4、5 6 7 ca(ca)bc(bc)ab(ab)三、十字相乘與其它知識綜合例1.分組分解后再用十字相乘 把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =(x-2y)-32(x-2y)-5 =(x-2y-3)(2x-4y-5) 說明：分組后

7、運用十字相乘進行因式分解，分組的原那么一般是二次項一組，一次項一組，常數(shù)項一組.此題通過這樣分組就化為關(guān)于(x-2y)的二次三項式，利用十字相乘法完成因式分解.例2.換元法與十字相乘法 把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：觀察式子特點，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別相同，把(x2+x)看成一個“字母，把這個式子展開，就可以得到關(guān)于(x2+x)的一個二次三項式(或設(shè)x2+x=u，將原式化為(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，那么更為直觀)再利用十字相乘法進行因式分解. 解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6 =(x2+x)+1(x2+x)+2-6 =(x2+x)2+3(x2+

8、x)-4 =(x2+x+4)(x2+x-1) 說明：此題結(jié)果中的兩個二次三項式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解了，假設(shè)能分解一定要繼續(xù)分解， 例3、 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 分析：在此題中，要把這個多項式整理成二次三項式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-27y+1x -28y²-25y+3 4y -3 7y -1 =10x²-27y+1x -4y-37y -1 2 -7y 1 5 4y - 3=2x -7y -15x +4y -3 =2x -7y +15x +4

9、y -3 說明：在此題中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解為4y-37y -1，再用十字相乘法把10x²-27y+1x -4y-37y -1分解為：2x -7y -15x +4y -3 解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 2 -7y5 4y=2x -7y5x +4y-x -25y- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3=2x -7y+1 5x +4y-3 =2x -7y+15x +4y -3 說明:在此題中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解為2x -7y5x +4y,再把2x -7y5x

10、+4y-x -25y- 3用十字相乘法分解為2x -7y+1 5x +4y-3. (試比一下“分組分解與“十字相乘適用的題目的類型特點，從各項的次冪的次數(shù)及各項系數(shù)去分析) 例4.因式分解與十字相乘法 (x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值 解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12 (x2+y2)(x2+y2)-1-12=0 (x2+y2)2-(x2+y2)-12=0 (x2+y2)-4(x2+y2)+3=0 x2+y20例5 把以下各式分解因式：(1)；(2)；(3)點悟：(1)把看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項式；(2)提取公因式(xy)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于(xy

11、)的二次三項式；(3)以為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項式解：(1) (x1)(x1)(x3)(x3)(2) (xy)(xy)17(xy)2(xy)(xy1)(7x7y2)(3) 點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項式中究竟把哪一個看成整體，才能構(gòu)成二次三項式，以順利地進行分解同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止例6 分解因式：點悟：把看作一個變量，利用換元法解之解：設(shè)，那么原式(y3)(y24)90(y18)(y9)點撥：此題中將視為一個整體大大簡化了解題過程，表達(dá)了換元法化簡求解的良好效果此外，一步，我們用了“十字相乘法進行分解例

12、7 分解因式點悟：可考慮換元法及變形降次來解之解：原式，令，那么原式點撥：此題連續(xù)應(yīng)用了“十字相乘法分解因式的同時，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂但是，品味之余應(yīng)想到對換元后得出的結(jié)論一定要“復(fù)原，這是一個重要環(huán)節(jié)例8：解關(guān)于x方程：x²- 3ax + 2a²ab -b²=0 分析：2a²ab-b²可以用十字相乘法進行因式分解 解：x²- 3ax + 2a²ab -b²=0 x²- 3ax +2a²ab - b²=0 1 -b 2 +b x²- 3ax +2a+ba-

13、b=0 1 -2a+b 1 -a-b x-2a+b x-a-b=0所以 x1=2a+b x2=a-b例9 有一個因式是，求a值和這個多項式的其他因式點悟：因為是四次多項式，有一個因式是，根據(jù)多項式的乘法原那么可知道另一個因式是a、b是待定常數(shù)，故有根據(jù)此恒等關(guān)系式，可求出a，b的值解：設(shè)另一個多項式為，那么， 與是同一個多項式，所以其對應(yīng)項系數(shù)分別相等即有由、解得，a1，b1，代入，等式成立 a1，另一個因式為點撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運用希望讀者不可輕視練習(xí)3、1、有一個因式是，求a值和這個多項

14、式的其他因式2、假設(shè)xy6，那么代數(shù)式的值為_提高版練習(xí)1、把以下各式分解因式：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)練習(xí)2、(1)； (2)； (3)； (4)；(5)；(6)練習(xí)3xy2，xya4，求a的值四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公式分解當(dāng)然，此題還有其它方法，請大家試驗2拆、添項法【例12】分解因式分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運用公式，分組也不易進行細(xì)查式中無一次項，如果它能分解成幾個因式的積，那么進行乘法運算時，必是把一次項系數(shù)合并為0了

15、，可考慮通過添項或拆項解決解： 說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數(shù)對應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件此題還可以將拆成，將多項式分成兩組和一般地，把一個多項式因式分解，可以按照以下步驟進行：(1) 如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；(4) 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止A 組1把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2把以下各式分解因式：(1) (2) (3)

16、 (4) 3把以下各式分解因式：(1) (2) (3)(4) (5) (6) 4把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B 組1把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2，求代數(shù)式的值3證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時，能被120整除4，求證：第二講 因式分解答案A組1234 5B組1 234三、強化練習(xí)1.把以下各式分解因式(1)x-x2+42 (2) (3)a2n+a4n-2a6n (4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2 (5)x2-xy-2y2-x-y2.：x2+xy-2