從平面到空間的類比推理

1、專題一：從平面到空間的類比推理類比是數(shù)學(xué)命題推廣的基本方法之一，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”類比推理就是在兩類不同事物之間進(jìn)行對比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式從邏輯上說，類比推理就是將命題的外延擴(kuò)大類比推理一般具有如下三個(gè)特點(diǎn)：(1)類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；(2)類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性；(3)類比的結(jié)果是猜測性的，因此，類比推理得出的結(jié)論不一定正確，有待證明，但它卻有探索、發(fā)現(xiàn)的功能，有助于

2、我們揭示自然界的奧秘類比推理的一般步驟是：(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而抽象、概括出一個(gè)猜想；(3)檢驗(yàn)猜想近幾年來，在全國各地的模擬試題和高考試題中，陸續(xù)出現(xiàn)了從平面到空間的類比推理題，這些題目立意新穎，內(nèi)涵深刻，大多以填空題的形式出現(xiàn)，不需要嚴(yán)格的證明，只需要猜想出正確的結(jié)論即可，旨在考查學(xué)生觀察-分析-比較-聯(lián)想-類比- ,mm 猜0想的探索能力和創(chuàng)新意識，歸納起來，主要有以下幾種類型：一、平面幾何定理類比到立體幾何定理平面是空間的一部分，因此，平面中的不少結(jié)論都可以類比拓展到空間中去數(shù)學(xué)家波利亞曾指出：“類比是一個(gè)偉

3、大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題”類比方法：“直線”類比為“_”，“角”類比為“_”，“角的兩邊”類比為“_”等例1：對于平面幾何中的命題：“如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“_ ”其真假性是_我們所熟悉的從平面幾何定理到立體幾何定理還有不少類比的實(shí)例，例如：(1)平幾：平行于同一直線的兩直線平行；立幾：平行于同一平面的兩平面平行(2)平幾：垂直于同一直線的兩直線平行；立幾：垂直于同一平面的兩直線平行；垂直于同一直線的兩平面平行(3)平幾：如果一條直線垂直于兩平行直線中的一條直線，那么它也和另一條直線垂直

4、；立幾：如果一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，那么它也和另一個(gè)平面垂直；如果一個(gè)平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，那么它也和另一個(gè)平面垂直(4)平幾：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；立幾：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)二、平面幾何圖形類比到空間幾何體點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本元素，構(gòu)成幾何體離不開平面圖形，有不少幾何體的底面或側(cè)面是一些相類似的平面幾何圖形，因此，平面中某些特殊幾何圖形的性質(zhì)也可以類比推廣到相對應(yīng)的特殊空間幾何體中去(一)平面中的三角形類比到空間中的_1直角三角形類比到_類比方法1：“

5、直角三角形的直角邊長、斜邊長”類比為“_”例2(2003廣東卷) 在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2 +AC2= BC2 ”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則_.變式：在ABC中，ABAC，ADBC，D為垂足，則AB 2=BD·BC(射影定理)類似地，三棱錐A-BCD中，AD平面ABC，AO平面BCD，O為垂足，且O在BCD內(nèi)，則SABC，SBCO，SBCD三者之間滿足關(guān)系式_類比方法2：“直角三角形的直角邊長、斜邊上

6、的高”類比為“_”例3(2008深圳調(diào)研理) 在RtABC中，兩直角邊分別為a、b，設(shè)h為斜邊上的高，則，由此類比：三棱錐SABC中的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為a、b、c，設(shè)棱錐底面ABC上的高為h，則有結(jié)論_變式：RtABC的兩直角邊分別為a、b，則其內(nèi)切圓半徑r ；由此類比：三棱錐S-ABC中的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為a、b、c，則其內(nèi)切球半徑R=_。2正三角形類比到_類比方法1：“正三角形的高”類比為“_”例4 平面幾何中，有結(jié)論：“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，且定值等于該正三角形邊長的_倍”類比這一結(jié)論，將其拓展到空間，可得到結(jié)論

7、：_例5(2008韶關(guān)調(diào)研理) 已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的13，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_類比方法2：“正三角形的中心”類比為“_”例6 在平面內(nèi)，自一點(diǎn)O至多能引3條射線OA、OB、OC，使它們兩兩成等角，且兩兩所成的角為1200類比到空間，自一點(diǎn)0至多能引_條射線，使它們兩兩成等角，且兩兩所成的角為_3一般三角形類比到_類比方法1：“三角形的面積”類比為“_”例7(2008梅州一模文) 已知ABC的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r(用SABC表示ABC的面積)，則SABC=r(a+b+c)2；類比這一結(jié)論有：若三棱錐ABCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐體積加VA-BC

8、D=_例8(2004廣東卷)教材P78練習(xí)3例9 若點(diǎn)D在ABC內(nèi)，則有結(jié)論，把命題類比推廣到空間，若點(diǎn)O在四面體ABCD 內(nèi)，則有結(jié)論：_。類比方法2：“三角形的高”類比為“_”例10(2008汕頭一模理) 設(shè)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，ABC三邊上的高分別為hA，hB，hC，P到三邊的距離依次為,則有=_；類比到空間，設(shè)P是三棱錐A-BCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對面的距離分別為hA，hB，hC，hD，P到這四個(gè)面的距離依次為 ，則有_.(二)平面中的特殊四邊形類比到空間中的特殊_1平行四邊形類比到_類比方法：“平行四邊形的邊、對角線”分別類比為“_”例11 平面幾何中，有結(jié)論：“平行四邊形兩條對角線的平方

9、和等于四條邊的平方和”類比這一結(jié)論，將其拓展到空問，可得到結(jié)論：_。2矩形類比到_類比方法1：“矩形的邊、對角線”類比為“_”例12 若P是矩形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，則有結(jié)論P(yáng)A2+PC2 =PB2 +PD2成立，類比到空間，若P是長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任意一點(diǎn)，則有結(jié)論_ 成立例13 矩形ABCD的對角線AC與邊AB和AD所成的角分別為，則，把它類比推廣到長方體中，試寫出一個(gè)相應(yīng)的真命題：_.類比方法2：“矩形的外接圓”類比為“_”例14 設(shè)矩形ABCD的外接圓半徑為r，P是矩形ABCD的外接圓上任意一點(diǎn)，則PA2 +PB2 +PC2 +PD2 為定值_ ；類比到空間，設(shè)長方體AB

10、CD-A1B1C1D1的外接球半徑為R，P是長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球上任意一點(diǎn)，則PA2 +PB2 +PC2 + PA12 +PB12 +PC12 +PD12 為定值_ (三)平面中的特殊平面圖形類比到空間中的特殊旋轉(zhuǎn)體1圓類比到球圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，球是空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；用任意一個(gè)平面去截球，截面都是圓，這些都決定了圓與球有很深厚的淵源類比方法1：“圓的面積”類比為“球的體積”例15(2006湖北卷) 半徑為r的圓的面積S(r)=，周長C(r)=2r，若將r看作(0，+)上的變量，則() =2r ， 式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的

11、導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)對于半徑為R的球，若將R看作(0，+)上的變量，請你寫出類似于 的式子：_ ， 式可以用語言敘述為：_ 類比方法2：“圓的內(nèi)接矩形”類比為“_”例16 通過圓與球的類比，由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大，最大值為2 ”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為：_2梯形類比到_類比方法1：“平行于梯形上、下底的線段”類比為“_”，“梯形的上、下底邊長”類比為“_”例17 已知梯形ABCD中，AB=a，CD=b(a>b)，E、F是腰AD、BC上兩點(diǎn)，且EF/AB/CD，若線段EF將梯形的面積二等分，則 類比上述結(jié)論，若圓臺的兩底半徑為R，r(R >r)，作平行于底的截面

12、，若截面將圓臺的側(cè)面積二等分，則截面半徑為_；若截面將圓臺的體積二等分，則截面半徑為_.類比方法2：“梯形的上、下底邊長”類比為“_”，“平行于梯形上、下底的線段長”類比為“_”例18 已知梯形ABCD中，AB=a，CD =b(a>b)，E、F是腰AD、BC上兩點(diǎn)，且EFABCD，且EF到CD與AB的距離之比為m：n，則可推算出EF=類比上述結(jié)論，若圓臺的上、下底面積為S1 、S2：(S1 <S2)，一個(gè)平行于底面的截面到圓臺上、下底面的距離之比為m：n，若此截面的面積為S0，則S0與S1、S2的關(guān)系式為_.三、平面向量類比到空間向量由于空間向量是平面向量在空間的推廣，空間向量基本

13、定理也是平面向量基本定理的推廣，因此，兩者之間必然存在著廣泛而深刻的聯(lián)系，它們在加、減、數(shù)乘、數(shù)量積方面具有相同的運(yùn)算律，而它們的坐標(biāo)運(yùn)算則非常相似類比方法1：“平面向量的二維坐標(biāo)運(yùn)算”類比為“空間向量的三維坐標(biāo)運(yùn)算”例19 設(shè)向量a=(x1，y1 )，b=(x2，y2：)，則由平面向量數(shù)量積公式可得|a·b |a |·| b |，即有不等式：(x1 x2+yly2)2 ( x1+y1)2 ( x2+y2)2將平面向量類比推廣到空間向量，可以得到一個(gè)類似的不等式：_類比方法2：“共線向量”類比為“_”，“不共線向量”類比為“_”例20 若點(diǎn)O在直線AB外，則點(diǎn)P在直線AB上

14、的充要條件是且 x+y=1類比到空間，若點(diǎn)O在平面ABC外，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是_例21 類比正確命題“若A、B、C三點(diǎn)不共線，D是線段AB的中點(diǎn)，則”，給出空間中的一個(gè)恰當(dāng)正確命題：_.四、平面解析幾何類比到空間解析幾何空間解析幾何是平面解析幾何在空間的推廣，其坐標(biāo)表示由二維(x，y)延拓到三維(x，y，z)，因此，兩者之間也必然存在著非同尋常的關(guān)系例如：平面解析幾何中直線方程的一般式Ax +By+C=0與空間解析幾何中平面方程的一般式Ax +By+Cz +D=0是一脈相承的；圓心為(a，b)、半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程( x-a)2 +(y-b)2=r2 與球心為(a，b，c)、半徑為 R的球的標(biāo)準(zhǔn)方程( x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R2也“本是同根生”類比方法：“平面解析幾何中的直線”類比為“_”例22 類比平面內(nèi)一點(diǎn)P(x0，yo)到直線A x+By+C=0(A2 +B20)的距離公式，猜想空間中一點(diǎn)P( x0，yo，z0)到平面Ax +By+Cz +D=0(A 2+B2+C20)的距離公式為d=_課后訓(xùn)練：一、從低次類比到高次1、(2006年上海文高考題)已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0，那以該函