傳染病數(shù)學(xué)建模

1、第30題 傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型 由于人體的疾病難以控制和變化莫測(cè)，醫(yī)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型也是較為復(fù)雜的。在研究傳染病傳播問(wèn)題時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)傳染病傳播所涉及的因素很多，例如，傳染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在將某一地區(qū)，某種傳染病的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析后，人們發(fā)現(xiàn)了以下的規(guī)律性：設(shè)Sk表示在開(kāi)始觀察傳染病之后第k天易受感染者的人數(shù)，Hk表示在開(kāi)始觀察后第k天傳染病人的人數(shù)，Ik表示在開(kāi)始觀察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人數(shù)，那么Sk+1=Sk-0.01Sk(1)Hk+1=Hk-0.2Hk0.01Sk(2)Ik+1=Ik+0.2Hk(3)其中(1)式表示從第k天

2、到第k1天有1的易受感染者得病而離開(kāi)了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的傳染病人的人數(shù)是第k天的傳染病人的人數(shù)減去痊愈的人數(shù)0.2Hk(假設(shè)該病的患病期為5(3)式表示在第k1天免疫者的人數(shù)是第k天免疫者的人數(shù)加上第k天后病人痊愈的人數(shù)。將(1)，(2)和(3)式化簡(jiǎn)得如果已知S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，將這組值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，這樣做下去，我們可以逐個(gè)地，遞推地求出各組Sk，Hk，Ik的值。因此，我們把Sk+1，Hk1，Ik+1和Sk，Hk，Ik之間的關(guān)系式叫做遞推關(guān)系式?，F(xiàn)在假設(shè)開(kāi)始觀察時(shí)易受感染者，傳染病人和免疫者的人數(shù)分

3、別為將上述數(shù)據(jù)(5)代入(4)式右邊得利用遞推關(guān)系式(4)反復(fù)計(jì)算得表30-1。在建立上述數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，如果還要考慮該地區(qū)人員的遷入和遷出，人口的出生和死亡所引起的總?cè)藬?shù)的變化等因素，那么傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型變得非常復(fù)雜。所以必須舍去次要因素，抓住主要因素，把問(wèn)題簡(jiǎn)化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。如果將由該數(shù)學(xué)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際比較后，與傳染病傳播的情況大致吻合，那么我們就可以利用該模型對(duì)得病人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)和估計(jì)。例如，可以預(yù)測(cè)若干天后傳染病人的人數(shù)等等，便于有關(guān)的醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)作出相應(yīng)的決策。在上述模型中，易受感染者每天的發(fā)病率是1，它只與易受感染者的人數(shù)Sk有關(guān)。對(duì)于有些傳染病，情形更為復(fù)雜，它

4、不僅與易受感染者的人數(shù)有關(guān)，也與傳染病人的人數(shù)Hk有關(guān)，因?yàn)閭魅静∪说娜藬?shù)越多，傳染病的發(fā)病率也就越高。這樣，就必須將由(1)，(2)和(3)式所給出的模型加以修改。這里，我們假設(shè)該地區(qū)人口總數(shù)為N，是一個(gè)常數(shù)。于是，Sk=N-(HkIk)(7)其中Ik為在開(kāi)始觀察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人數(shù)。設(shè)傳染病人每天的痊愈率為，則Ik+1=Ik+Hk(8)最后，假設(shè)每天發(fā)病人數(shù)與易受感染者的人數(shù)Sk和傳染病人的人數(shù)Hk均成正比，且其比例因子為，那么Hk+1=Hk+SkHk-Hk(9)將(7)，(8)和(9)組合起來(lái)，就得到關(guān)于Sk，Hk，Ik的遞推關(guān)系式：如果已知N，和，并給定S0，H0和I

5、0，那么利用上式就可以計(jì)算H1和I1，利用H1和I1，由(7)式，可以計(jì)算S1，然后計(jì)算H2和I2，再計(jì)算S2，這樣，(10)式就給出了關(guān)于傳染病傳播的第2個(gè)數(shù)學(xué)模式。利用數(shù)學(xué)模型(4)或(10)式可以對(duì)該傳染病傳播的情形作一些定性的分析。設(shè)Sk=Sk1-Sk表示從第k天到第k+1天易受感染者人數(shù)的變化，Ik=Ik+1-Ik表示從第k天到第k1天免疫者(或感染后痊愈者)人數(shù)的變化。從數(shù)學(xué)模型(4)式可以看到Sk=-0.01Sk0Ik=0.2Hk0所以易受感染者人數(shù)只可能減少不會(huì)增加，而免疫者人數(shù)只可能增加不會(huì)減少。現(xiàn)問(wèn)對(duì)數(shù)學(xué)模型(10)式來(lái)說(shuō)，易受感染者的人數(shù)，免疫者的人數(shù)以及傳染病人的人數(shù)各

6、有什么變化規(guī)律？分析：類(lèi)似于數(shù)學(xué)模式(4)式的情形，分別計(jì)算Sk，Ik與Hk(=Hk+1-Hk)，然后加以分析。解 由(10)式得：Sk=N-(Hk+1Ik+1)-N-(Hk+Ik) =(Ik-Ik+1)+(Hk-Hk+1)=-Hk-SkHk+Hk=-SkHk所以Sk0，k=1， 2，即易受感染者人數(shù)只可能減少不會(huì)增加。因?yàn)镮k=Ik+Hk-Ik=Hk 所以Ik0，k=1，2，即免疫者人數(shù)只可能增加不會(huì)減少?，F(xiàn)在設(shè)Hk=Hk+1-Hk表示從第k天到第k1天傳染病人的人數(shù)的變化，則由(10)式得Hk=SkHk-Hk=(Sk-)Hk，所以當(dāng)(Sk-)0時(shí)，傳染病人的人數(shù)第k1天比第k天增加；當(dāng)(S

7、k-)0時(shí)，傳染病人的人數(shù)相應(yīng)地減少，也就是說(shuō)，當(dāng)易受感染者人數(shù)Sk“大”時(shí)，可使(Sk-)0，從而傳染病人的人數(shù)增加；當(dāng)易受感染者的人數(shù)Sk“小”時(shí)，可使(Sk-)0，從而傳染病人的人數(shù)減少。解一元一次不等式Sk-0(或Sk-0)得如，打預(yù)防針等)，那么可以降低發(fā)病率從而降低值。如果發(fā)明了一種好的藥品可以縮短患病期，那么就可以提高傳染病人每天的痊愈率?，F(xiàn)在有這樣的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，有一個(gè)藥物研究小組提出需要100萬(wàn)元的科研經(jīng)費(fèi)在一年內(nèi)試制某種預(yù)防針劑，可使發(fā)病率降低從而使值降低25，而另一個(gè)藥物研究小組提出需要100萬(wàn)元的科研經(jīng)費(fèi)在一年內(nèi)試制某種藥品，可使痊愈率提高30%。如果僅有一筆100萬(wàn)元

8、的科研基金可供申請(qǐng)，那么這筆基金應(yīng)提供給哪一個(gè)小組？對(duì)于用藥物的方法，2=(1+30%)，2=，所以由于C1C2，所以這筆基金應(yīng)提供給試制預(yù)防針劑的小組。注：從傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型的研究過(guò)程中，可以看到建立數(shù)學(xué)模型的一般過(guò)程。一般說(shuō)來(lái)，建立數(shù)學(xué)模型有如下6個(gè)步驟：第一步：模型準(zhǔn)備根據(jù)提出的問(wèn)題，要深入了解該問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建立模型的目的，掌握所研究對(duì)象的各種信息，如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對(duì)象的特征?？傊龊媒⒛Ｐ偷囊磺袦?zhǔn)備工作。在本題中，研究者通過(guò)對(duì)某地區(qū)某種傳染病傳播情況的觀察，積累一定的數(shù)據(jù)，例如，記錄一段時(shí)期內(nèi)每天傳染病人，易受感染者以及免疫者(或感染后痊愈者)的人數(shù)等等，也就是

9、說(shuō)，按要求統(tǒng)計(jì)必要的數(shù)據(jù)，目的是建立傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型，以了解傳染病人的人數(shù)變化的趨勢(shì)，使有關(guān)醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)能及時(shí)采取措施，將傳播病加以有效的防治。第二步：模型假設(shè)實(shí)際問(wèn)題中往往因素很多，十分復(fù)雜。因此，必須根據(jù)實(shí)際研究對(duì)象的特征和建立模型的目的，較確切地去辨別問(wèn)題的主要方面和次要方面，抓住主要因素，暫不考慮次要因素，將問(wèn)題理想化、簡(jiǎn)單化。不同的簡(jiǎn)化和假設(shè)，會(huì)得到不同的模型。假設(shè)做得不合理或過(guò)分簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該加以修正；假設(shè)做得過(guò)于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個(gè)因素都考慮進(jìn)去，將難于發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建立模型。在本題中，我們只考慮上述三種人數(shù)：Sk，Hk和Ik的變化情況，對(duì)

10、人口的遷入和遷出，出生和死亡等因素暫不考慮。第三步：模型建立建立數(shù)學(xué)模型，通常要根據(jù)所做的假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫(huà)出圖象等表達(dá)式，用以描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時(shí)，首先要考慮合理性，并盡量使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，簡(jiǎn)單工具不能解決問(wèn)題時(shí)，要選用較復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具。在本題中是設(shè)法建立一個(gè)與實(shí)際數(shù)據(jù)比較吻合的關(guān)于Sk，Hk和Ik的遞推關(guān)系式。例如，在建立數(shù)學(xué)模型(4)式時(shí)，研究者通過(guò)對(duì)觀察數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)每天有1%的易受感染者得病，而病人的患病期為5天，和(3)以描述易受感染者，傳染病人和免疫者(或感染后痊愈者)的人數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。第四步

11、：模型求解建立數(shù)學(xué)模型后，實(shí)際問(wèn)題已歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。接著，需要求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，解出結(jié)果。在本題中，利用數(shù)學(xué)模式(4)式，通過(guò)直接計(jì)算，就能得到表30-1所列的結(jié)果。如果借助于計(jì)算機(jī)，我們還能得到更多的數(shù)據(jù)。本題的模型求解過(guò)程特別簡(jiǎn)單。對(duì)于有些問(wèn)題，有時(shí)需要用到許多數(shù)學(xué)方法，甚至現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些方法；有時(shí)需要借助于計(jì)算機(jī)，利用算法語(yǔ)言，編出計(jì)算機(jī)程序，做出計(jì)算機(jī)軟件等幫助求解。第五步：模型檢驗(yàn)把模型求解的結(jié)果，經(jīng)“翻譯”再回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象，數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果檢驗(yàn)結(jié)果不符合或部分不符合實(shí)際情況，并且肯定在模型建立和求解過(guò)程中沒(méi)有失誤的話，那么應(yīng)該修改假設(shè)，重新建模。在

12、本題中，我們可以檢驗(yàn)由(4)式計(jì)算出來(lái)的理論數(shù)值與實(shí)際統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)是否吻合。如果比較吻合，則模型是成功的；如果差別太大，則模型是失敗的；如果部分吻合，則可找原因，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，修改模型。例如，當(dāng)某種傳染病每天的發(fā)病人數(shù)既與易受感染者人數(shù)有關(guān)又與傳染病人的人數(shù)有關(guān)時(shí)，那么必須把原數(shù)學(xué)模型中的(2)式加以修改，假設(shè)傳染病人的人數(shù)符合(10)式，建立新的數(shù)學(xué)模型(10)式，然后對(duì)新的數(shù)學(xué)模型加以檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)結(jié)果令人滿(mǎn)意為止。第六步：模型應(yīng)用應(yīng)用的方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而不同。例如，利用計(jì)算結(jié)果做出某些決策進(jìn)行管理與控制或預(yù)測(cè)未來(lái)的情況等，實(shí)際上，所建模型的意義大小就是由它的應(yīng)用前景來(lái)決定的。在本題

13、中，利用數(shù)學(xué)模型，可以預(yù)測(cè)傳染病人傳播的趨勢(shì)，及時(shí)采取預(yù)防和治療措施，將病情加以控制。利用數(shù)學(xué)模型(10)式，還可以值或者降低值的重要性，便于有關(guān)醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)進(jìn)行決策和管理。應(yīng)該指出，并非所有建模過(guò)程都要經(jīng)過(guò)這些步驟，有時(shí)各個(gè)步驟之間的界限也并不那么分明。但是，通過(guò)建模一般過(guò)程的介紹，可以對(duì)建模的意義和方法有進(jìn)一步的理解。一般說(shuō)來(lái)，所謂數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它或者能解釋特定現(xiàn)象和現(xiàn)實(shí)性態(tài)；或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況；或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制。對(duì)于利用數(shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)演繹、推理、計(jì)算，給出數(shù)學(xué)

14、上的分析、預(yù)報(bào)、決策或控制，必須經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)。對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果正確，或基本正確的，就可以肯定下來(lái)，用來(lái)指導(dǎo)實(shí)際；對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果懸殊較大；或基本錯(cuò)誤的，必須修改模型。目前數(shù)學(xué)模型已經(jīng)形成一門(mén)創(chuàng)造性很強(qiáng)的新興學(xué)科，它的應(yīng)用已擴(kuò)展到各個(gè)領(lǐng)域，有人口模型、交通模型、生態(tài)模型、生理模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等等，氣象工作者根據(jù)關(guān)于氣壓、雨量、風(fēng)速、的數(shù)學(xué)模型，來(lái)預(yù)報(bào)天氣；發(fā)電廠運(yùn)用發(fā)電過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，來(lái)實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)自動(dòng)控制；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，純交換經(jīng)濟(jì)的平衡價(jià)格和投入產(chǎn)出模型，均獲得了諾貝爾獎(jiǎng)金?？茖W(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，已獲得了很多成果，對(duì)生產(chǎn)力的發(fā)展起了巨大的作用。 練習(xí)30 1科學(xué)家將某種異體單細(xì)胞注入一個(gè)白鼠體內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)一天之后，白鼠體內(nèi)該種細(xì)胞有4個(gè)，二天之后，有16個(gè)，如表30-2所示：假設(shè)白鼠體內(nèi)的該種細(xì)胞超過(guò)1000000個(gè)將死亡，而注射某種藥物可殺死白鼠體內(nèi)96的該種細(xì)胞。按你的分析，試問(wèn)(1)為了維持白鼠的生命，最遲什么時(shí)候必須注射該種藥物？(2)如果白鼠體內(nèi)的該種細(xì)胞達(dá)到1000000個(gè)時(shí)，第