(自填)韓師2011《高代》專插本考試樣卷(答案)

1、韓山師范學(xué)院2011年專升本插班生考試樣卷數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)A卷題號(hào)一二三四五六七八九十總分評(píng)卷人得分、選擇題(每小題3分，共15分)題號(hào)12345答案1 .m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程組中，若其系數(shù)矩陣的秩等于m,則()成立。(A)方程組一定有解；(B)方程組一定有無窮多解；(C)方程組一定無解；(D)方程組一定有唯一解.2 .設(shè)E1E2EsAEs+1-Et=I,其中Ei為初等矩陣，i=1,2,，t,則A-1等于().(A)E1E2Et;(B)EtE2E1;(C)Es+1EtE1Es;(D)EtEs+1E1Es.A1,3 .設(shè)A1,A”,As都是n階方陣，則對(duì)角線分塊矩陣A2.的秩等

2、<As)于().(A)秩(AiA2As);(B)秩A1X秩A2Xx秩As；(C)秩(A1+A2+As);(D)秩A1+秩A2+秩As.4.設(shè)加,黨,，健與偽,白，區(qū)均為線性相關(guān)的向量組，則下列結(jié)論正確的是().(A)od+01,c2+區(qū)，光+,線性相關(guān)；(B)a1+01,o2+國，研診線性無關(guān)；(C)為，02，os,8,也，國線性相關(guān)；(D)on,C2,，cs,跳也，3線性無關(guān).5.%=/2,2,-1%12,-1,2是R3的規(guī)范正交組，添加()1333)1333J可以擴(kuò)充為R3的規(guī)范正交基.（A）（3，（C）-2223，一3（D）,321,33；237.矩陣A=的矩陣.01"T

3、10與B=001)I。（）00”10可以看成某一線性變換關(guān)于兩個(gè)基的02（）二、填空題（把答案填在題中橫線上。每小題3分，共15分）1 .在n元排列中，反序數(shù)最大的排列的反序數(shù)為.2 .實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式的次數(shù)只能是.3 .f（x）=2xmxn矩陣A的行向量組所生成的Fn的子空間叫做A的.三、判斷題（每小題2分，共14分.你認(rèn)為正確的，在題后圓括號(hào)內(nèi)打，錯(cuò)誤的打“X”。）1.81357246是偶排列.（）2.多項(xiàng)式x4-2x3+2x-3在有理數(shù)域上是不可約的.（）3.設(shè)A是n階方陣，那么det（-A）=-detA.（）4.在歐氏空間V中，當(dāng)向量U于0尸#0時(shí)，有化尸尸&/2.（）5

4、.設(shè)f:2B,g:B-C是映射，又令h=g0f.如果h是單射，那么g也是單射.6.復(fù)數(shù)域上兩個(gè)n元二次型等價(jià)的充分必要條件是它們的矩陣有相同的秩10x4.復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的向量空間，維數(shù)是.+16x316x2+14x6在Qx內(nèi)的典型分解式為1-63四、（8分）求矩陣A=054的逆矩陣.1064,五、（8分）求齊次線性方程組X|-x2+5x3-x4=0,jx1+x2-2x3+3x4=0,3xi-x28x3x4=0,xi3x2-9x37x4=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.六、（8分）計(jì)算行列式daba+b+ca2a3abb2b3c2c3cdd2d3七、（8分）證明：多項(xiàng)式f（x）=1十x2土2!川十土在

5、復(fù)數(shù)域C內(nèi)沒有重根.n!八、（8分）設(shè)向量組%線性無關(guān)，證明口+P,P+Z¥+u也線性無關(guān).九、（8分）設(shè)仃是數(shù)域F上向量空間V上的一個(gè)線性變換，口和P是仃的屬于不同本征信九,N的本征向量.證明：Vk=F（k#0）,口+kB不是b的本征向量.十、（8分）設(shè)A與B都是n階方陣.證明：如果AB=O,那么秩A+秩B&n.【自己得出來的答案】1 .A2 .C(由已知A=(E1E2-Es)A-1(Es+1Et)A-1所以AA-1=Es+1-EtE1E2-Es)3 .D(r(A)=r(A1)+r(A2)+r(As)4 .C(部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān))5.B(利用正交來做，再

6、單位化)(屬于不同特征值的特征向量彼此正交，故(a1)at*a3=0,(a2T*a3=0即解齊次線性方程組，其系數(shù)矩陣為(2/32/3-1/3)2/3-1/32/3一a3=(1-2-2/(1A2+(-2)A2+(-2)A2)=(1/3-2/3-2/3(最后一步是標(biāo)準(zhǔn)化)1. n(n-1)/22. 1或2(實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式類型有2種:一次多項(xiàng)式,只含非實(shí)共腕復(fù)數(shù)根的二次多項(xiàng)式.所以是1或2)3. f(x)=2(x-1)(x-3)(xA3-xA2+x-1)4. 25. 行空間三.1. 錯(cuò)(反序數(shù)為13,是奇排列)2. 對(duì)3. 錯(cuò)(det(-A)=(-1)AndetA）4. 對(duì)5. 錯(cuò)（f為單

7、射）6. 對(duì)7. 錯(cuò)(一個(gè)線性變換b在兩個(gè)基下的矩陣A、B的關(guān)系是相似(即B=Ta-1AT),而相似矩陣必有相同的特征值，故有相等的行列式與跡)四.00五.-3/2己1=1-3-3/2-2-3/235/2-17/2己2=-21001六.將第2行加到第1行第1行提出公因子a+b+c+d行列式化為范德蒙行列式故D=(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)七.令g(x)=f(x)=1+x+xA2/2!+xA3/3!+.+xA(n-1)/(n-1)!f(x)=g(x)+xAn/n!顯然g(x)不能整除xAn/n!(后者只有0為根。0顯然不是g(x)的根)所以g(x

8、)也不能整除f(x),所以f(x)無重根(多項(xiàng)式有重根的充要條件是能被導(dǎo)數(shù)整除)八.證明：假設(shè)a+0B+丫丫+a線性相關(guān),則存在一組不全為零的數(shù)kl,k2,k3,使得k1(a+0)+k2(0+丫)+k3(丫+a)=0(k1+k3)a+(k1+k2)0+(k2+k3)丫=0又因?yàn)閍By線性無關(guān)所以k1+k3=k1+k2=k2+k3=0解得k1=k2=k3=0與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立所以a+BB+y丫+a線性無關(guān)九.解：反證，設(shè)a+kB是線性變換(T的屬于本征值(的本征向量WJ(r(a+kB)=t(a+kB),所以(r(a)+k(r(B)=(a+ktB,由已知，(a,B是分別屬于(T的兩個(gè)不同本征信入、卜的本征向量)(r(a)=2ia,(t(B)=nB,所以入a+kpB=ta+k(B,所以(-入)a+k(-以)B=0.由于屬于不同本征值的本征向量線性無關(guān)，所以(-入)=k(1-n)=0.由于kw0,所以(=人=g這與已知矛盾(題中入、11是不同的本征值).注：1 .屬于不同本征