5.3定積分的換元法和分部積分法-習題

1、1.計算下列定積分:sin(x)dx33【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式Ji-sln(x)dx-sln(x)d(x3333一)二-cos(x)33冗ji33T3TTt=cos(二3)一cos(33)jin=-cos-(-cos)=0o33【解法二】應用定積分換元法于是有令x十一=u，則d電3，當x從二單調變化到32-元時，U從2-34二單調變化到,3二sln(x)dx34二二23slnudu=-cosu4二23二-cos3cos33JI1dx二(115x)【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式1dx(115x)311-31(115x)d(115x)52511111512一2(2一1)=10(1151

2、)(11-52)1016512【解法二】應用定積分換元法1令11+5x=u,則dx=du,當x從一2單倜變化到1時，u從1單倜變化到516,于是有Jdx1164,11161,1,、513=-Iudu=一，-u1=一(-2-1)=T(11+5x)55-21016512冗J2sin中cos3中d中；0【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式Rncos3d1=一12cosdcos=一cos中(2.041r4-4-cos-cos042=-cos-(-cos)=0。33=10-1=L44【解法二】應用定積分換元法TT令cos邛=u,則一sin中d邛=du,當平從0單調變化到二時，u從1單調變化到0,于是有二00

3、Q4Q11j0sin，cosm=Tudu=Ludu=zu。=4。二3.L(1-sin3e)de;【解】被積式為(1-sin30)d0,不屬于三角函數(shù)的基本可積形式，須進行變換。由于1是獨立的，易于分離出去獨立積分，于是問題成為對sin38d日的積分，這是正、余弦的奇數(shù)次哥的積分，其一般方法是應用第一換元法，先分出一次式以便作湊微分：sin0d9=dcos8,余下的sin=n+(T1)一一(T-1)=n一。9=1一cos29，這樣得到的一(1一cos?日)dcos8便為變量代換做好了準備。具體的變換方式有如下兩種：【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式(1sin8)d日=11d81sin8sin8d=

4、日0r+(1cos8)dcos813.什=n+(cos8-cos8)0r31,33人、二二(cos二-cos0)-3(cos二-cos0)14=n+(-1-1)-(-1-1)=n-o【解法二】應用定積分換元法令cos*=u，則-sin中d=du,當中從0單調變化到n時，u從1單調變化到-1,于是有(1sin39)de=11d9-fsin29sin命8=80r+f(1-cos29)dcos9L0P*00L0O.1Qd=n+f(1-u2)du=冗+(uu3);13冗2j"osudu;6這是正、余弦的偶次哥，其一般積分方法為，利用三角函數(shù)的半角公式：2Ucos21cosu,將平方部份降次成

5、為一次的余弦三角函數(shù):221cos2ucosu=,使之2可以換元成為基本可積形式:【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式31冗2cos2udu=j,2661cos2u1cosudu二(2d22V62cos2ud2u)26=2(ujiji+sin2u2)=_(_)+_(sinn7一sin)31,二(23【解法二】應用定積分換元法1令2u=x,則du=dx,當u從一單倜變化到262時，x從工單調變化到幾，于是有(6)2cos2udu=21cos2u12du=(2du262cos2ud2u)26=2(u121二26j.江1一互冗一1一什.fccosxdx)=-(-)-sinxJJIJI1.二231-(si

6、n2,二、.1,二一叫"二2(3【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是2,應該應用第二類換元法中的三角變換法:為使根號內的變量在后的平方差轉換成完全平方，應令x=J2sinu,當x從0單調變化到夜時，u從0單調變化到三，且«2-x22=2-2sin2u=42cosu,dx=炎cosudu,使得dx二2-Xji°22cosu2cosuduc21cos2u,=2。22du二02du02cos2udu=u1120cos2ud2u1'1122Xdx;x(21sin2u2二1,(sin二-0)22【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)

7、都是2,應該應用第二類換元法中的三角變換法:為使根號內的變量在后的平方差轉換成完全平方，應令x=sinu,單調變化到1時，u從三單調變化到三，且或三=匹或%=£等，dx=cosudu,42xsinusinu使得11-x,122xdx_2cosu=i=_24sinu冗冗cosudu-2cot2udu=2(csc2u-1)du-JiJiJinn=(cotu-u)2=-(cot-cot)+(-)=1-o224244jx242-x2dx(aA0)；2,應該應用第二類換元法【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是中的三角變換法:為使根號內的變量在后的平方差轉換成完全平方，應令x

8、=asinu,當x從0單調變化到a時，u從0單調變化到土，且x2Va2-x2=a2吊ua'2-sn2u=sn2uacosu.2dx=acosudu,使得r4二a、,24、,222.2,a2.2xa-xdx=asinuacosuacosudu2sin2udu004047r44A=a_>21+cos4ud=(u+-sin4u)24J。2uu84a4二1/-八、，14=+(sin2n0)=aa。824161x2/rv【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是2,應該應用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內的變量在后的平方和轉換成完全平方，應令x=tanu,當x從1單調變

9、TTTT化到J3時，u從二單調變化到-,且4322dxsecudusecuducosu,1,.22du=2dsinux21x2tan2u1tan2utanusecusinusinu3dx使得dx122x1x31-2dsinu4sinu這時，再令sinu=t,當u從工單調變化到4又得3 1.4 dsinu_25 sinu：1=22dt2t上時，t從正單調變化到叵,322(io)IJ2x-x2dx;【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是2,應該應用第二類換元法中的三角變換法。由于根號內的二次多項式并非為三角變換中的平方和或差的標準形式，需要先將其轉化為標準形:v12x-x2=,1

10、_(1-2x+x2)=q'1-(x-1)2,現(xiàn)在，根號內的二次多項式成為了變量在后的平方差的形式了，因此可令jix-1=sinu,當x從0單調變化到1時，x-1從-1單調變化到0,從而u對應從-一單調2變化到0,而且2x-x2=1-sin2ucos2u=cosu,dx=cosudu,于0一22x-x2dx='：cosucosudu01cos2uduJ(u1sin2u)-2222Ji41二1=2°-(-2)2Sin0-Sin(-7：)【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內多項式的次數(shù)不相等，應該應用第二類換元法中的直接變換法:【解法一】令JX=U，當X從1單調變化到

11、4時，U從1單調變化到2,且由此得x=U2,1dx=2udu,產(chǎn)1x4dx22udu2)du=2(u-ln1+u|)=2(111-x11u132、=2(2-1)-(ln3ln2)=2(1一m2)=2。十八【解法二】為便于積分，可使變換后的分母成為簡單變量，即令1+jx=u，當x從1單調211變化到4時，u從2單倜變化到3,且由此得x=(u1)2,dx=2(u1)du,產(chǎn)=,1xu于是4dx32(u-1)du=2j3(1)du=2(u-Inu)311+Vx2u2u3=2(32)(ln3-ln2)=2(1ln-)。21dx13-J.，41-xT【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內多項式的次數(shù)

12、不相等，應該應用第二類換元法中的直接變換法:【解法一】令J=x=u，當x從3單調變化到1時，u從1單調變化到0,且由此得422.11x=1u2,dx=-2udu,-=，于是1-x-1u-1dxo-2u-1du=2Jo(1+1)du=2(u+lnuFo=2(lnln1)22=12ln2。,.一一一一".3【解法二】為便于積分，可使變換后的分母成為簡單變量，即令。1x-1=u,當x從3單41倜變化到1時，u從一一單調變化到1,且由此得x=1_(u+1)2,dx=_2(u+1)du,211工曰=一,于1x1u1dx弓,1x1-2(u1).1duUu-O1-2=212(1+-)du=2(u+

13、lnu)u11=2(-)(1)+lnln-1)22=1-2ln2oxdx【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內多項式的次數(shù)不相等，應該應用第二類換元法中的直接變換法:令。54x=u,當x從-1單調變化到1時，u從3單調變化到1,且由此得x=-l(u2-5),4dx=-ludu,11-,25-4xu1xdx5-4x121121131(u-5)udu=一1(u-5)du=一(一u5u)3428'3831131F"3-1,、2ex.(14) fdx;1 x21ex【解】由于e7dxx一1.1=ex下dx,為含復合函數(shù)ex的積分，且微分部份二dx僅與復合函數(shù)exxx1 1之中間變

14、重一的微分一下dx相差一個常數(shù)倍，可以應用第一換元積分法：xx【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式12ex211dx=-exd-e1x21x【解法二】應用定積分的換元法1=-(e2-e1)=e-Veo2時,1dx=du,x人1令一=u，當x從1單倜變化到x1u從1單調變化到一，且由此得-212ex12dx1x121ex2dx1-12du=-eu1112=-(e21-et2(15)te2dt;0【解】為含復合函數(shù)t2e的積分，且微分部份tdt與復合函數(shù)t2e氣之中間變量t2八的被分2-tdt僅相差個常數(shù)倍，可以應用第一換元積分法:【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式1220te2dt一t21-t20e2

15、d(-2)=-et2一20-e）二T?！窘夥ǘ繎枚ǚe分的換元法人t令-二u，當x從0單倜變化到21時，u從0單調變化到1,廣，且由此得2-tdt=du,t21te2dt01=-2eudu=1eudu0Foo1=e一21-e)1=1-e。e2(16)【解】為含復合函數(shù)的積分，且微分部份1ln二之中間變量1+lnx的微xdx/;x.1lnx1、一，一分1dx相等，可以應用第一換元積分法:x【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式e2dx1x1lnxe211lnxd(1lnx)=211nxe二2(1lne2-1ln1)=2(12-10)=2(3-1)?！窘夥ǘ繎枚ǚe分的換元法令1+lnx=u,當x從

16、1單調變化到e2時，u從1單調變化到3,且由此得-Xnx+ldTTX二du=2而J；=2(731)。1u；(x+2)dxNx22x2'【解】為含復合函數(shù)的積分，被積函數(shù)為真有理分式，分母為二次無零點的多項式，且分子比分母低一次，可以分解為兩個可積基本分式的積分:0(x2)dx10(2x2)2-_22x2x22_1一2-,22_x2x22x22x22x2dx,1dx2<x22x22d(x22x2)_2dx12d(x1)(x1)12(18)(0dxx1、(x1)3Jn(x22+2x+2)+arctan(x+1)0,21，C、/，/、(ln2-In2)arctan1-arctan(-1

17、)2【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內多項式的次數(shù)不相等,應該應用第二類換元法中的直接變換法:令dx+1=u，當x從0單調變化到2時，u從1單調變化到v3，且由此得x=u2-1,dx=2udu,x1(x1)3于是2dx0x1(x1)3ox43=2arctanu1j-3131二2(arctan3-arctan1)=2()Tl(19) fvcosx-cosFxdx;【解】由于cosx-cos3xcosx(1-cos2x)=cosxsin2x=Ycosx|sinx,H所以2cosx-cosxdx=03'23cosx-cosxdx02cosx-cosxdx0一cosx(-sinx)dx

18、一202cosxsinxdx0二工一2JIcosxdcosx于是有【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式30312132二3二3二12二cosx-cosxdx-(cosx)2dcosx-。2(cosx)2dcosx-2二2(cosx)30二一2(cosx)223-2224=-(1-0)-(0-1)=-o333【解法二】應用定積分的換元法a、r,兀令cosx=u，當x從-2單倜變化到0時，u從0單倜變化到1,當x從0單調變化到二時，u從1單調變化到20,且由此得sinxdx=du,于2二cosx-cosxdx二:cosxjsinx)dx，2cosxsinxdx1=Ivudu-0u2du0u2du2u2

19、3du2u237r.(20) fJ1+cos2xdx。0【解】由于1,cos2x=2cos2xV2|cosx,所以八后0啟dx=五cosxdxnTL=v2(21cosxdx+cosxdx2-2V2-x2-sinx5icosxdx，I.(-cosx)dx=、/2sin2=T2(sin"0)-(sinnsin")=夜1(1)=2%反。222.利用函數(shù)的奇偶性計算下列定積分：x4sinxdx;【解】由于函數(shù)y=x4sinx是奇函數(shù)，即知x4sinxdx=0。11=_(arcsin_)_0=1(-)=。1r4cos4比日；JJL-2【解】由于函數(shù)f(8)=4cos4日是偶函數(shù)，且有

20、4cos40=4(1+cos2e)2=i+2cos2日十cos22=1+2cos2日+1+c0s4.223一一.1=2cos2?cos4i224.14.13.1即得24cosid?-224cos?d?-22(2cos2?cos4?)d?工.0022-.1sin2sin4)82，.、=3(arcsinx)(4)12_12xarcsinx1-x2dx。3二1=2(-0)(sin二-0)(sin2-0)2283二=。21z、2'h/dx；【解】由于函數(shù)y=(arcs1nx)杲偶函數(shù),所以1-x21212121dx=22dx=22(arcsinx)2darcsinx41-x201-x20【解】

21、由于函數(shù)y=窄鷲是偶函數(shù)，所以1-x23.證明:12xarcsinx1-x21xarcsinxdx=2201-xdx=-202arcsinxdq'1-x-21-x2arcsinx=-21-dt1t2【證明】作倒數(shù)變換1且有1t2于是有證畢。4.證明：（-x2darcsinx1.1c一arcsin-0一1Q2dx=-2302-x62=1(XA0)。當t從X單調變化到1時,u從,單調變化到1x1(1)2udt1x1t2u21，dt=duu12x1uduu12x1u2du11t2sinnxdx=22sinnxdx?！咀C明】由于/sinnxdx.c一n一一n2sinxdx-,sinxdx,其中

22、，對于sinxdx,作如下的處理:作變換x=n-u,當x從三單調變化到n時,2,兀、，一u從單調變化到0,且有sinnx=sinn(1一u)=sinnudx=-du,0i0二sinnxdx-sinnudu=102sinnudu=J02sinnxdx,從而得sinnxdx=002sinnxdx-si/xd"2。2sinnxdx。證畢。5.設f(t)為連續(xù)函數(shù)，證明：x當f(t)是偶函數(shù)時，9(x)=Lf(t)dt為奇函數(shù)；【證明】當f(t)是偶函數(shù)時，有f(1)=f(t),-Xxx使得邛(_x)=£f(t)dtt=70f(-u)d(-u)=-j0f(u)du=平(x),x可知

23、此時cp(x)=(f(t)dt為奇函數(shù)，證畢。x當f(t)是奇函數(shù)時，中(x)=(f(t)dt為偶函數(shù)?！咀C明】當f(t)是奇函數(shù)時，有f(1)=f(t),-xxx使得中(x)=|0f(t)dtt=u0f(u)d(u)=(f(u)du=9(x),x可知此時中(x)=(f(t)dt為偶函數(shù)，證畢。6.設f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：對任意的常數(shù)a,有aTTCf(x)dx=J0f(x)dx?！咀C明】題設f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，可知成立f(x土T)=f(x),aT0TaT由于f(x)dx=f(x)dx，f(x)dx，f(x)dxaa0TaTaT-0f(x)dx°f(x)dx

24、Tf(x)dxaT其中，對于(f(x)dx,作如下的處理：令x=u+T,當x從T單調變化到a+T時，u從0單調變化到a,aTa使得Tf(x)dxx=utof(uT)d(uT)aa=f(u)du=(f(x)dx,00aTaTaT于是有f(x)dx-f(x)dx，If(x)dx，If(x)dx=°f(x)dx,證畢。7.計算下列定積分：1fxdx;0【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應選e7為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式,0xe'dx=°xd(-e')-xe1，_1-.0(-e)dx二e100e*dx1-e-e=-e-(e，-e°)=1-2e。

25、【解法二】應用列表法符號求導積分-xe_x一e-xe可得1_xxa、xedx=(xe-e)00=(-1e-eJ)-(-0e0e0)=1-2e?！窘狻勘环e函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選x為先積分部份,ee1xlnxdx=lnxd2212.x=xlnx2e12xdlnx1212、二(elne-0)22112dx=ee1一xdx12x為先積分部份,1x2darctanx02121212=2eN(e-1)=4(e+1)0（含不可直接積分部份的分部積分不應使用列表法）1xarctanxdx；0【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選1 ,11，、,1212.xarctanxdx=

26、arctanxdx=xarctanx00221,=arctan1一2nx021x2jidx=8-1(12,0'1x2)dx二1一二、二1xcos2x2c12(-cos2x)dx02【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應選sin2x為先積分部份,【解法一】套用分部積分公式,21一、2xsin2xdx=一(x-arctanx)xd(-cos2x)=-0027T1,二一(COST-0)2222cos2xdx=-(-1)-sin2x044二1,.(sin蹙-0)=。444【解法二】應用列表法符號求導積分可得21£xsin2xdx=(-1xcos2x4$in2x)sin2x1c-cos2x

27、21.八一sin2x41二1。(2cost。0)4(sin1-sin0)1二1二一廠2）+4（0一0）7【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式,應選1亍為先積分部份,41nx1xdxI41nxd2x=2x1nx=2x1n一：2*I"=241nx”21dx1x=2"'x1nx2dx=3xC(-cotx)=-xcotxsinx4-4s/x|4=2<x(1nx-2)=24(1n4-2)-1(1n12)=41n41=4(21n21)。nxKdx;_24sinx,一一一,、，1,一一，【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應選為先積分部份,sinx31c43(-co

28、tx)dx4【解法一】套用分部積分公式,一。1dsinx4sinx=-xcotxlnsinx=(一xcotx+lnsinx)3Tj二(-cotln33sin-)-(cot+lnsin)3444,二1,3、，二(-ln)-(-一332''4ln21=(43121)二ln2-(33242133)3ln一。2【解法二】應用列表法符號求導積分1sin2x-cotx-ln|sinx二x可得3：4sin2xdx=(-xcotx+lnsinx)n3n4=(cot+lnsin-)-(-cot+lnsin33344in二1（一33ln34冗)一(一.ln41二（4321)二ln2-=(2421l

29、n3。22冗L2e2xcosxdx;【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類,2x.e與cosx均可選為先積分部份,=-xcotx3cosx一3 dx-xcotx【解法一】套用分部積分公式，選32'為先積分部份,4 sinxJI22x、ecosxdx=rcosxd1e2、=-e2xcosx02222x,2edcosx021-二0、112x(ecos-ecos0)2esinxdx2202=-(01)+2-sinxd-e2x=-+1e2xsinx:2-e2xdsinx2102224°0411：-.0122x,二一(esin-esin0)-2ecosxdx24240一二”1e11”即倚eco

30、sxdx.-e降處,移項，整理得一1-02ecosxdx=-(e71-2)°【解法二】套用分部積分公式，選cosx為先積分部份,HJI2_2x2/X2x_0ecosxdx=J0edsinx=esinxUTt0-02sinxde2x=(e飛冶2一0)一o9e's1nxdx=e冗2_2x一一-fo22ed(-cosx)T2x/xqc/、2x_=e-2e(-cosx)0一12(-cosx)d2enjt=e“+2e2xcosx0-R4e2xcosxdxit71=e2(ecose0cos0)-4o2e2xcosxdxje即得22x22xecosxdx=e-2-4ecosxdx,00C2

31、x1一移項，整理得2ecosxdx=-(e，-2)。05log2xdx;【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選x為先積分部份,2.xdlog2x1212=-(422-0)-(-x21,c12,dx=2xdxxln22ln212212xlog2xdx=1log2xd-x=2lx22=2(41)=22ln224ln24ln22二2.xcosxdx;【解】將三角函數(shù)降次后求解,產(chǎn)xcos2xdx=12nx001+cos2xdx_12一22二o(xxcos2x)dx1/12二(x222-2二J+(xcos2xdx)212：;.=二xcos2xdx2o,_2二其中，積分xcos2xdx中的

32、被積函數(shù)屬分部積分第一類，套用分部積分公式，選cos2x為先積分部份，得2n2n112nxcos2xdx=xdsin2x=-xsin2x0'2二1一sin2xdx02從而得e(io)(sin(lnx)dx;c1-=二sin4星一0-cos2x421,0=0-0(cos4霆一cos0)41北。-1)-0,2：:2,212,212J°XCOSXdxE+小。XCOSZxdxE十/0=元?！窘狻勘环e函數(shù)屬分部積分第二類，且已經(jīng)具有judv的結構，直接套用分部積分公式得eeesin(lnx)dx=xsin(lnx)1-：xdsin(lnx).,、八e八、1，=esin(lne)0.xcos(lnx)dx1xe=esin1一cos(lnx)dx.ee=esin1-xcos(lnx)1-(xdcos(lnx)e1=esin1-ecos(lne)-cos(ln1)/ix-sin(lnx)dx1xe=esin1-ecos11-sin(lnx)dx即得eesin(lnx)dx=e(sin1cosl)+1ssin(lnx)dx，移項、整理得e1.ssin(lnx)dx=-e(sin1-cos1)+1°e(11)/Inxdx;ee1e1e1e=-1lnxdx-IInxdxe【解】j1Inxdx=1|lnxdx+Inxdx=f