考研高等數(shù)學(xué)常用公式以及函數(shù)圖像

1、高等數(shù)學(xué)常用公式及函數(shù)圖象導(dǎo)數(shù)公式:(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)1xlna(arcsinx)(arccosx)(arctgx)(arcctgx)12,1x1,1x211x211x2基本積分表：tgxdxIncosxCctgxdxInsinxCsecxdxInsecxtgxCcscxdxIncscxctgxCdx1x-2-arctgCaxaadx1,xa仆TlnCxa2axadx2-cosxdx一2sinx2secxdxtgxC2cscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxd

2、xcscxCxxaadxClnashxdxchxCdx22axdx22ax.xarcsina22Insinnxdxcosnxdx0022,x22xadxxa2三角函數(shù)的有理式積分:chxdxshxCdx2aln(x22a.一lnx22x2a2)C.xarcsinCa一些初等函數(shù):三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：兩個(gè)重要極限:、國(guó)數(shù)角A、sincostgctg-a-sinacos民-tga-ctga90°-acos民sinactgatga90。+acos民-sina-ctga-tga180°-asina-cos民-tga-ctga180+a-sina-cos民tgactga270-a

3、-cos民-sinactgatga270+a-cos民sina-ctga-tga360-a-sinacos民-tga-ctga360+asinacos民tgactga和差角公式：和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2sincos22cos()coscossinsintg(tgtgsinsin2cos-sin1tgtgcoscos2coscosctg()ctgctg122ctgctgcoscos2sinsin22倍角公式:半角公式:余弦定理:c2 a2 b2 2abcosC正弦定理：abc2RsinAsinBsinC,反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinxarccosxarctg

4、xarcctgx22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leibniz)公式：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：曲率：定積分的近似計(jì)算：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：空間解析幾何和向量代數(shù)：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用：x空間曲線yz在點(diǎn)M (x0, y0,z0)處的切線方程: xxoy yo zzo(to)(to)在點(diǎn)M處的法平面方程：(to)(xxo)(to)(yyo)(t0)(zz0)0若空間曲線方程為：F(x,y,z)0,則切向量TFyFz,FzFx,FxFyG(x,y,z)0,%yGz'GzGx'GxGy'曲面F(x,y,z)0上一點(diǎn)M(xo,yo,z0),則：1、過(guò)此點(diǎn)的法向量：nF

5、x(xo,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(xo,yo,zo)Zo)z ZoFz(Xo, yo,Zo)2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程:Fx(xo,yo,zo)(xxo)Fy(x0,yo,z°)(yy°)Fz(x°,y°,z°)(z3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程:xxoyyoFx(Xo,yo,zo)Fy(xo,yo,zo)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)zf(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿方向l的方向?qū)?shù)為：Lossinlxy其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù)zf(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)i-jxyj,為l方向上的它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：1g

6、radf(x,y)e,其中ecosisin單位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。多元函數(shù)的極值及其求法：重積分及其應(yīng)用：f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf（x,y）的面積A1xdxdy平面薄片的重心：xMxMx(x,y)dD(x,y)d平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:D對(duì)于x軸Ixy2D(x,y)d,y(x,y)dD(x,y)dD對(duì)于y軸1yx2(x,y)dD平面薄片（位于xo產(chǎn)面）殍由上質(zhì)點(diǎn)MFxfD/2(x(x,y)xd3，22、2ya)2FyfD/2(x(0,0,a),(a(x,y)yd0）的引力:FFx,Fy,F其中:柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):xrcos柱面坐標(biāo)：

7、yrsin,zz其中：F(r,z)f(rcosxrsincos球面坐標(biāo)：yrsinsinzrcosf(x,y,z)dxdydz重心：xxdv,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Ix(y23，a2)2FzfaD/2(x(x,y)xd3a2)5f(x,y,z)dxdydz,rsin,z)F(r,z2)dvrdrsin,)r2sindrdydv,(x2F(r,2d01Mdr,z)rdrd2rsindz,drddr(,)F(r,)r2sin0zdv,其中Mz2)dv,Iz(x2dry2)dvdv曲線積分:曲面積分:對(duì)面積的曲面積分:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分:f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y)1z2(x,y)z；(x,y)dx

8、dyDxyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào)；DxyP(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào)；DyzQ(x,y,z)dzdxQx,y(z,x),zdzdx取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)。Dzx兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式:,PQR.(一一一)dv二PdydzQdzdxRdxdy匚(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意義通量與散度：散度：div-R,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流

9、體質(zhì)量，若div0,則為消失xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds,因此，高斯公式又可寫(xiě)成：divAdvoAnds斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)審斂法：,E、4Un如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足lim unUn交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的審斂法萊布尼茲定理:10,那么級(jí)數(shù)收斂且其和sUi,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnUn10絕對(duì)收斂與條件收斂:募級(jí)數(shù)：|x1時(shí)，收斂于|x1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a。2&xa?xnanX數(shù)軸上都收斂,則必存在R,如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全R時(shí)收斂R時(shí)發(fā)散，其中R稱(chēng)為收斂半徑。R時(shí)不定求收斂半徑

10、的方法：設(shè)limnan1an其中an,an1是(3)的系數(shù),則0時(shí),R時(shí)，R0函數(shù)展開(kāi)成募級(jí)數(shù):函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù):f(x) f(x°)(x X。)f(x X。)2(n) /T(xx°)nn!f(n1)()充要條件是：lim Rn0n nf(n)(0) nxn!余項(xiàng)：Rnf(-)(xx0)n1,f(x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的(n1)!Xo0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)f(0)f(0)x-f-(0)x22!一些函數(shù)展開(kāi)成募級(jí)數(shù)：歐拉公式：三角級(jí)數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)：周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：yf(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy0可

11、分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dyf(x)dx的形式，解法:g(y)dyf(x)dx得：G(y)F(x)C稱(chēng)為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫(xiě)成型f(X,y)(x,y),即寫(xiě)成'的函數(shù)，解法：dxx設(shè)u貝uxdu,u"du(u),"dx-du-分離變量，積分后將-y代替u,xdxdxdxx(u)ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根（p24q0）兩個(gè)相等實(shí)根（p24q0）一對(duì)共知復(fù)根（p24q0）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程五類(lèi)基本初等函數(shù)及圖形（1）

12、?幕函數(shù)1.當(dāng)u為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間x（，）,他們的圖形都經(jīng)xy a ?（a是常數(shù)且a0,DP3.過(guò)原點(diǎn)，并當(dāng)u>1時(shí)在原點(diǎn)處與 X軸相切。且u為奇數(shù)時(shí)，圖形關(guān)于原（2）?指畋函數(shù) 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；u為偶數(shù)時(shí)圖形關(guān)于 Y軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)（u為負(fù)整敷時(shí)。函數(shù)的定義域?yàn)槌=0的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)u為正有理數(shù) m/n時(shí),奇數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄈ绻鹠>n圖形于x軸相切n為偶數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?, +） , n為+）。函數(shù)的圖形均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和 （1 ,1 ）.,如果m<n,圖形于y軸相切，且m為偶數(shù)時(shí)，還1.當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)為單調(diào)增，當(dāng)a<1時(shí)函數(shù)為單調(diào)減. 跟y軸對(duì)稱(chēng);m,n均為奇數(shù)時(shí)，跟原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).當(dāng)u為負(fù)有理數(shù)日孑，n不啰（溢晶F!%敦嗣班I%好蹴X-朋士點(diǎn). 奇數(shù)時(shí)，定義域如除當(dāng)X=0世錦=1一斯堂般的圖形通過(guò)9,1）點(diǎn).；n為（3）對(duì)數(shù)函數(shù)?y10gax（a是常數(shù)且a。，a1）,x（0，）；1 .他的圖形為于y軸的右方.并通過(guò)點(diǎn)（1,0）2 .當(dāng)a>1時(shí)在區(qū)間（0,1）,y的值為負(fù).圖形位于x的下方，在區(qū)