全國優(yōu)質課——基本不等式教學設計

1、全國優(yōu)質課一一根本不等式教學設計-CAL-FENGHAI-(2O2OYEAR-YICAI)1NGBIAN?34根本不等式?教學設計一、教學內容解析:1、本節(jié)內容選自?普通高中課程標準實驗教科書?人教A版教材高中數學必修5第三章第4節(jié)根本不等式,是在學習了不等式的性質、一元二次不等式的解法、線性規(guī)劃的根底上對不等式的進一步的研究,本節(jié)是教學的重點,學生學習的難點,內容具有條件約束性、變通靈活性、應用廣泛性等的特占；八、/2、本節(jié)主要學習根本不等式的代數、幾何背景及根本不等式的證實和應用,為選修4-5進一步學習根本不等式和證實不等式的根本方法打下根底,也是體會數形結合、分類討論等數學思想,提升數學

2、抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)的良好素材；3、在學習了導數之后,可用導數解決函數的最值問題,但是,借助根本不等式解決某些特殊類型的最值問題簡明易懂,仍有其獨到之處；4、在高中數學中,不等式的地位不僅特殊,而且重要,它與高中數學很多章節(jié)都有聯系,尤其與函數、方程聯系緊密,因此,不等式才自然而然地成為高考中經久不衰的熱點、重點,有時也是難點.二、學情分析：1、學生已經掌握的不等式的性質和作差比擬法證實不等式對本節(jié)課的學習有很大幫助；2、學生邏輯推理水平有待提升,沒有系統(tǒng)學習過證實不等式的根本方法,尤其對于分析法證實不等式的思路以前接觸較少；3、對于最值問題,學生習慣轉化為一元函數,根據函數

3、的圖像和性質求解,對于根據不等式求最值接觸較少,尤其會忽略取等號的條件.三、教學目標：1、知識與技能：會從不同角度探索根本不等式,會用根本不等式解決簡單的最值問題；2、過程與方法：經歷根本不等式的推導過程,體會數形結合、分類討論等數學思想,提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)；3、情感態(tài)度價值觀：培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現的科學精神,并在探究的過程中,體會數學的嚴謹性,發(fā)現數學的實用性.四、教學重點與難點：1、教學重點：根本不等式的推導及其簡單應用2、教學難點：分析法證實根本不等式思路的獲得和應用根本不等式求最值.五、教學策略分析：1、由情景1和情景2引入課題,可明確本堂的主要內容,

4、使學生學習目標明確,進而激發(fā)學生的學習興趣；2、精心設置問題串二由簡到難,由感性到理性,一步步引導學生自主探究,小組討論推導根本不等式,讓學生感受知識發(fā)生開展深化的過程,也表達學生為主體,老師為主導的教學理念；3、為突破分析法證實根本不等式思路的獲得這一教學難點,采用先學生小組討論,再師生共同完成的策略；4、為突破應用根本不等式求最值這一難點,先由例題歸納應用根本不等式求最值的要點,然后趁熱打鐵設置兩個練習,由簡到難,由淺入深,采用學生板演,搶答和小組討論等方式,及時發(fā)現問題,及時糾錯,讓“一正二定三相等深入人心；5、對于轉化為函數進而用函數的圖像和性質求最值的問題,教師只作適當提示,不作為重

5、點；6、課堂小結重視知識間的聯系和研究問題的方法,并強調了數學思想方法和數學核心素養(yǎng)在數學學習中的作用.六、教學過程設計：教學內容師生活動設計意圖學環(huán)節(jié)一、情境創(chuàng)設導入課題情境1:在農村,為預防家畜家禽對菜地的破壞,常用籬笆圍成一個菜園.1 .如果菜園的面積一定,為節(jié)省材料,就應該考慮所用籬笆最盤的問題；最短是m；2 .如果所用籬笆的長度一定,為了充分利用材料,就要考慮所圍菜園面積最大的問題.最大是nf；師：引導學生思考生：思考答復師：學習了本堂課的內容就很容易解決這兩個最值問題情境1提出的實際問題新奇有趣,簡單易懂.貼近生活,激發(fā)學生的學習興趣,也為第三環(huán)節(jié)實際應用埋下伏筆.情境2：觀看第2

6、4屆國際數學家大會視頻,注意觀察這個圖形在視頻中出現了多少次？師：播放視頻生：觀看視頻后答復師：強調會標情境2通過會標導入新1、1八H7、1J上的圖形的重要性及其對數學生的探究欲望,也讓學學習的意義學生感受到數學文化的同時,激起學生的愛國情懷.CM2CC2BeQiog人叫卬“仙鳴.M2問題：你能在這個圖形中找出一些相等關系或不等關系嗎？二、自主探究推導問題1：對于“情景導學中的圖形,把“風車抽象成平面圖形.在正方形A8C.中有4個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為正方形A8C.的面積為S,4個直角三角形的面積和為九那么:(1)正方形A8CO的邊長為(2)S=生：思考后回答ffi:借

7、助幾畫板動態(tài)演示面積變化過程,尤其注意歸納取等號的條件問題1將問題細化,以填空形式呈現問題,并利用圖形的面積大小關系,循序漸進地抽象出公(3)5,=重要不等式(4)由圖可知,55,式,幾何畫即板演示直觀形象,體會數形結合的思想.問題2：不等式/+之2H?對任意的實數都成立嗎？重要不等式：a2+b2>2ab(a>0,h>0),當且僅當a=b時取等號師：分析問題1中推導出的不等式中力的取值范圍,提出問題2生：思考后回答師:如何證實？生：思考后證明師：板書重要不等式,并解釋當且僅當的含義1可題2培仆學生學習的嚴謹性和邏輯推理水平.問題3：如果用8分別代替重要不等式中的,可得什么取等

8、號的條件是什么生：思考后答復師：板書根本不等式問題3體會代換在數學學習中的作用,感受數學知識間的根本不等式：<竺(>0力>0).2聯系.當且僅當=力時取等號.問題4：還有沒有其他證實根本不等式的方法？法(一)作差比擬法-=(-)2>022法(二)分析法要證實J而,只需證實：2a+bN2嵐,要證只需證實+62依之0,要證只需證實師:指導學生分組討論證實基本不等式生：分組討論證明根本不等式師：實物投影展示學生成果,并和學生一起分析證實思路師生共同完成分析法的證實先從幾何圖形中的面積關系獲得基本不等式,然后從代數的角度推導,實現由感性熟悉到理性熟悉的升華.引導學生從多個角度證

9、明根本不等(&一"尸NO.顯然,是成立的.當且僅當4=.時,中的等號成立.過程式,培養(yǎng)邏輯推理能Jj'JVj論可培養(yǎng)學生的合作交流水平,實物投影可及時發(fā)現學生的問題.探究:如圖,A8是圓0的直徑,點C是A3上一點,.AC=a,8C=.過點C作垂直于A3的弦iX1V.石,連接ao、-rJ=卜器BD、OD.那么：、/(1)半徑.£)=、1/(2)CD=(3)顯然CDOD,即根本不等式的幾何意義：半徑不小于弦長的一半.口又可稱為.與方的幾何平均數,2又可稱為與的算術平均數,根本不等式也叫做均值不等式.根本不等式的代數意義：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數

10、.師：指導學生分組討論根本不等式的幾何意義生：分組討論,探索根本不等式的幾何意義師：實物投影展示學生成果,難點是C.的求法,及時指出問題,并用幾何畫板演示借助初中階段學生熟知的幾何圖形,并將問題細化,以填空形式呈現問題,有利于學生循序漸進地探索出根本不等式的幾何意義,并進一步領悟基本不等式中等號成立的條件,升華理解.小組討論可培養(yǎng)學生的合作交流能力,投影展示成果可及時發(fā)現學生的問題.用數學符號語言、日常語言和圖形語言表述基本不等式,將幾何意義和代數意義一起講解.有助于學生從多個角度熟悉根本不等式,培養(yǎng)學生數學表達水平.問題：重要不等式和根本不等式有什么聯系與區(qū)別？生：思考后回答,根本不等式可由

11、重要不等式推導得至(但它們的適用條件不同.辨析兩個不等式的區(qū)別和聯系,加深理解三、實際應用加深理解例：(1)用籬笆圍一個面積為100病的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？(2)一段長為36?的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大.最大面積是多少？解：(1)設長為xm,寬為ym,貝ljxy=00,籬笆長為2(x+y)m,由之而=10可得：2(x+y)>40,當值僅當*=?,=10時,等號成立,所以這個矩形的長和寬都為10?時,籬笆最短,最短的籬笆是407.(2)設矩形菜園的長為寬為yin,那么2(x+y)=36,即:x+y

12、=18,矩形菜園的面積為個nr.由歷守=9可得：個?81,當且僅當X=y=9時,等號成立,所以這個矩形的長和寬都為9"?時,菜園的面積最大,最大面積是81"5.師：分析解題思路,將實際問題轉化為數學問題,注意分析為何可用根本不等式來解決該問題.PPT展示(1)的解答過程.請一學生板演(2),指導學生完成生：一學生板演(2),其他學生自己完成(2)師：適當引導學生其他解法,比方：(1)也可轉化為對勾函數,(2)可轉化為二次函數和情景1前后照應,學以致用,把兩個實際問題化歸為利用根本不等式求最值的數學模型,體會數學的應用價值,增強學生的學習的動力和信心.板演有利于及時發(fā)現學生解

13、答中的問題,及時糾錯.一題多解可更好的培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性.題后反思：結合根本不等式,你能將本題的結論推廣為更一般的情況嗎？結論：設1、假設ab=P(定值),那么當且僅當時,有最小值21；師：引導學生將實際問題抽象為數學問題.明確和所求,將問題一般化.在學生經歷例題中的兩個最值問題之后,及時提問,培養(yǎng)學生題后反2、假設+=S(定值),那么當且僅當S24=時,岫有最小值下.4要點：一正二定三相等生：思考后將例題的結論推廣為更一般的情況.師：板書結論,指導學生根據根本不等式的變形理解記憶該結論師生共同歸納該結論的三個要點思的好習慣,將特殊1可題一般化,舉一反三,總結規(guī)律,有利于構建系統(tǒng)完整的知識結

14、構.四、穩(wěn)固強化綜合練習1：(1)把36寫成兩個正數的積,當這兩個正數取什么值時,它們的和最小和的最小值是多少(2)把16寫成兩個正數的和,當這兩個正數取什么值時,它們的積最大積的最大值是多少解：(1)兩個正數都是6時,它們的師：指導學生用剛剛的結論解決該問題.注意分析三個條件是否都滿足生:搶答練習1練習1設置較為根底,主要是讓學生體會用基本不等式求最值的方便之處,也為練習2做好和最小,和的最小值是12.(2)兩個正數都是8時,它們的積最大,積的最大值是64.鋪墊.練習2：判斷以下3個命題是否正確,并說明理由.(1)函數y=x+L的最小值為2.X()4(2)函數y=x+-(工2)的最小值x-2

15、為6.()(3)函數y=6+9+師：讓學生小組討論,解決該問題生：小組討論,小組代表答復以下問題師：點評學生練習2可加深對用根本不等式求最值的條件的理解,小組討論可培養(yǎng)學生的合作交流水平,小組代表回G+9的最小值是2.()解：假.x可為負數,不能直接用根本不等式,答復,并指出：運用根本不等式求最值,三個條件答1可題口J培養(yǎng)學生數學表達水平、概括水平和y=無最小值.X(2)真.缺一不可,尤其三相等最忽略.邏輯推理能力.4/Vrr八*.7>4-96出x2且僅當x=4時取等號,所以4y=x+-(x>2)的最小值為6.x-2(3)假.一正二定滿足,但等號取不到五、課堂小結布置作業(yè)歸納回憶本堂課的內容：1、由會標數學抽象得到幾何圖形(趙爽弦圖)2、由趙爽弦圖直觀想象得重要不等式3、由重要不等式代換可得根本不等式并依據不等式的性質證實根本不等式4、探索根本不等式的幾何意義5、運用根本不等式求最值