哥尼斯堡七橋問題教學(xué)實錄

1、“哥尼斯堡七橋問題教學(xué)實錄一、 創(chuàng)設(shè)情境，激趣引思1. 故事引入師：這節(jié)課，我們先來聽一個數(shù)學(xué)小故事吧。課件播放，如圖1，教師相機板書課題師：這個問題困擾了當(dāng)?shù)鼐用窈荛L時司，大家紛紛來到小島上試圖找到答案，但都無功而返。因為根據(jù)計算，每次都走完七座橋的所有走法共有5040種，這么多怎么走得完呢?后來有人寫信向當(dāng)時公認(rèn)的“天才數(shù)學(xué)家歐拉請教。歐拉親自來到小島上實地考察，也未找到答案。但他是一個不向困難低頭的人，經(jīng)過年的研究，終于解決了這個問題。原來他將七橋問題題轉(zhuǎn)化為一筆畫問題，才順利找到答案的。 (教師板書：一筆畫) 2釋疑。 師：誰能根據(jù)你的理解，來說一說什么是一筆畫？(教師請一個學(xué)生上臺畫

2、圖說明)師：利用課件動態(tài)演示像長方形、正方形、三角形等都能夠一筆畫出。并結(jié)合長方形介紹：兩條線相交的點，叫做交點。如圖2師：哥尼斯堡七橋問題，大家可能覺得有點復(fù)雜。我們先從簡單的圖形人手，來探究一筆畫中的學(xué)問。二、自主探究，合作交流 ()探究活動一。1探究。師：下面請二人小組合作，共同完成探究記錄單，首先請看活動要求。(課件出示記錄單和活動要求) 活動要求：1)試一試，在空白處畫一畫，判斷圖形能否一筆畫出，并在相應(yīng)的口里打“。2對于能夠一筆畫出的圖形，請沿不同交點出發(fā)，探索它有幾種不同的畫法。(學(xué)生探究，教師巡視指導(dǎo))2交流。師：很多小組都已經(jīng)有答案了，誰來匯報一下你們探究的結(jié)果？生1：1號圖

3、是不能一筆畫出的，因為它們是分開的。 師：誰聽懂了他的意思？生2：他是說1號圖中的三個“口沒有連通起來。師：是啊，像1號圖這樣，各個局部沒有連通起來，就不可能一筆畫出。這說明要能夠一筆畫出，它各個局部之間必須是連通的。只有連通圖才有可能一筆畫出。(板書：必須是連通圖)接下來，誰繼續(xù)匯報?生3：2號圖是可以一筆畫出的。師：是嗎？你能到黑板上畫一下嗎?(學(xué)生上臺畫圖，教師提示他在起點處標(biāo)上字母“A，如圖3) 圖3師：很好！他剛剛是從A點出發(fā)，一筆畫出了這個平行四邊形。那么，只能從A點出發(fā)嗎？生4：從其他交點出發(fā)也可以。 (大家紛紛贊同) 師：你們都實驗過嗎？確實，這個平行四邊形無論從哪個交點出發(fā)，

4、都可以一筆畫出來。那么3號圖可以一筆畫出來嗎?生5：可以的。 (教師請生5上臺畫圖，教師給生5畫的圖各交點標(biāo)上字母，如圖4) 師：真厲害，他確實是一筆畫出的。我發(fā)現(xiàn)他是從E點出發(fā)畫的。那么這幅圖還能從其他交點出發(fā)畫出來嗎？生6：我還可以從F點出發(fā)，也可以一筆畫出。師：還有其他畫法嗎?生7：我還可以從A點出發(fā)。(教師請生7上臺畫，生7嘗試了多種路徑，均未成功)師：(摸著生7的頭)我很佩服他，雖然他最后沒有成功，但是他這種執(zhí)著探索的勇氣還是可嘉的。從A點出發(fā)不可以，還有哪些點也會出現(xiàn)這樣的狀況呢?生8：我認(rèn)為，從B、C、D點出發(fā)也是不能一筆畫成的，因為它們和A點所處的位置是相似的。師：很好，你真是

5、善于觀察！那你們有沒有想過，雖然2號圖和3號圖都能一筆畫成，但是2號圖可以從任意一點出發(fā)，而3號圖只能從E點和F點出發(fā)才可以一筆畫出，這里面有沒有什么奧秘呢?學(xué)生陷入沉思。片刻之后，漸漸地有幾只小手舉起來生9：因為那個日字形狀的圖形里面多了一橫。師：(裝糊涂)什么意思？你能具體解釋一下嗎?生9：就是說本來畫那個“日字周圍邊框的時候，是可以一筆成功的：但是中間多了那個一橫，就必須從這一橫出發(fā)才可以成功。師：你很有數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)！你的發(fā)現(xiàn)對我們接下來的研究意義重大。大數(shù)學(xué)家歐拉就是這樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的，連通圖能否一筆畫出。與圖中各個交點的連線條數(shù)有關(guān)。 (二)探究活動二：1介紹。師：出示課件，如圖5像下面

6、的A點和B點，連線條數(shù)是1、3、5、7等奇數(shù)的點，叫作奇點；像下面的C點和D點，連線條數(shù)是2、4、6、8等偶數(shù)的點，叫作偶點。2研究。師：大家回過頭來觀察2號、3號圖形，看看各點的情況。生：2號圖形全部是偶點：師：歐拉發(fā)現(xiàn)，像三號圖中全是偶點，不僅可以一筆畫，而且沿著任意一點都可以畫出。這里的“任意是什么意思?生：就是隨便從哪個點出發(fā)都可以。師：是的，例如我們很多人都會畫的五角星圖案(課件出示圖6)，它的各交點也都是偶點，所以也可以從任意一點出發(fā)一筆畫出：你們不妨試一試。學(xué)生嘗試 師：那3號圖形呢? 生：它有兩個交點的連線條數(shù)是3，其余各交點都是偶點。 師：3號圖形中只有兩個奇點，其他都是偶點

7、，歐拉發(fā)現(xiàn)這樣的圖形雖然能夠一筆畫出，但是 生：必須，從奇點出發(fā)。 師：你和歐拉真是心有靈犀！確實必須從奇點出發(fā)。那么大家看，這個圖形能不能一筆畫出呢？課件出示圖7生：它也可以一筆畫出，但是必須從那兩個奇點出發(fā)才行。師：你們都能學(xué)以致用了，真好!三思維訓(xùn)練，學(xué)以致用。師：下面我們來輕松一下，玩一次智慧大闖關(guān)好不好？1奪寶小奇兵：藏寶莊園里有10個百寶箱如圖8)，每次可以翻開寶盒取寶1個。但是不能走重復(fù)路線，否那么就會觸動機關(guān)取寶失敗?，F(xiàn)在螞蟻寶寶和貝貝站在不同的起點準(zhǔn)備出發(fā)了，你認(rèn)為誰能全部取寶成功?為什么?2、小設(shè)計師。如圖9)小朋友，妙妙游樂園即將開放了。要讓游客一次不重復(fù)地沿著路線走，游

8、完每一個游樂工程，游樂場的出口和入口應(yīng)該設(shè)在A、B、C哪兩個點上?3生活中的應(yīng)用。以游樂園出口和入口的設(shè)置以及快遞叔叔送快件的例子，說明一筆畫能夠解決生活中的實際問題。四探究活動三。師：那么，是不是所有的連通圖都能一筆畫呢？我們繼續(xù)探究。請大家看這幅圖(課件出示圖10)，數(shù)一數(shù)，標(biāo)出它的奇點和偶點，并判斷它能否一筆畫出。生：我試了好屢次，它不能一筆畫出。 師：其他同學(xué)有沒有不同的看法？生：我也試了很屢次，不能一筆畫出。我猜測可能和它的奇點多了有關(guān)系。師：你很善于推理，歐拉花了一年多時間發(fā)現(xiàn)的秘密，你們居然很快能領(lǐng)悟。歐拉發(fā)現(xiàn)，連通圖中，如果奇點超過了2個，它就不能一筆畫出了。三、文化滲透，深刻

9、理解 師：現(xiàn)在我們回到之前的“哥尼斯堡七橋問題，它跟一筆畫知識有什么關(guān)系呢?讓我們來了解一下。 (教師利用課件動態(tài)演示由“七橋圖變成“抽象圖的過程，如圖11) 師：歐拉認(rèn)為：能否一次不重復(fù)地走過這七座橋，與橋的長短、島的大小無關(guān)，所以島和岸都可以看作一個點，而橋可以看作連接這些點的線。所以他將七橋問題抽象成這樣的一筆畫圖形?，F(xiàn)在你能用今天學(xué)到的知識來解釋為什么不能不重復(fù)地一次走遍這七座橋嗎？生：因為把它變成這樣的圖形后，這個連通圖中有4個奇點，就不可能一筆畫出了。 師：是啊，就在“山重水復(fù)疑無路的時候，歐拉是怎樣實現(xiàn)“柳暗花明又一村的？生：他將復(fù)雜的問題簡單化了。師：確實，歐拉是將這個問題轉(zhuǎn)化成了一筆畫問題。板書：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個好方法。利用課件介紹歐拉生平，如圖12 師：想想看，歐拉能夠發(fā)現(xiàn)這一重要規(guī)律，是因為他很幸運嗎？還是有別的原因？生：我認(rèn)為他很執(zhí)著，堅持不懈，并用科學(xué)的方法找到結(jié)果。師：是啊，這里面有他對真理的執(zhí)著追求，更有化難為易的“轉(zhuǎn)化思想。師：今天我們只是初步了解了一筆畫知識，以后我們升人七年級還將繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。四、拓展延伸，回憶總結(jié)(略) 設(shè)計思考：“知識課堂謂之器，文化課