2022年(經(jīng)典)高中數(shù)學(xué)最全數(shù)列總結(jié)及題型精選講解學(xué)習(xí)

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除高中數(shù)學(xué)：數(shù)列及最全總結(jié)和題型精選一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按肯定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項；記作an ，在數(shù)列第一個位置的項叫第1 項（或首項） ，在其次個位置的叫第 2 項，序號為n的項叫第 n 項（也叫通項）記作an ；數(shù)列的一般形式：a1 ， a2 ， a3 ，an ，簡記作an；（2）通項公式的定義：假如數(shù)列這個數(shù)列的通項公式； a n 的第 n 項與 n 之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫例如： 1 ， 2 ，3 ， 4

2、， 5， ，： 1 1111說明：2345an表示數(shù)列，an 表示數(shù)列中的第n 項，an =fn 表示數(shù)列的通項公式；n 同一個數(shù)列的通項公式的形式不肯定唯獨(dú)；例如，a = 1n =1,n1,n2k1kZ ；2k不是每個數(shù)列都有通項公式；例如，1， 1.4 ，1.41 ， 1.414 ，（ 3）數(shù)列的函數(shù)特點(diǎn)與圖象表示：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集N（或它的有限子集）的函數(shù)f n 當(dāng)自變量 n 從 1 開頭依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值立點(diǎn) ；f 1, f 2,f 3,，f n ，通常用an 來代替fn ，其圖象是 一群孤（ 4）數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限仍是無限分：有窮數(shù)列和無窮

3、數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和搖擺數(shù)列；例：以下的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、搖擺數(shù)列？（ 1）1， 2， 3，4， 5， 6，210, 9, 8, 7, 6, 5,3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,（ 5）數(shù)列 a 的前 n 項和S 與通項S1a 的關(guān)系： a n1nnnnSnSn1 n 2二、等差數(shù)列 一 、等差數(shù)列定義：一般地，假如一個數(shù)列從第2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d 表示；用遞推公式表示為anan 1d n2或 a

4、n 1and n1例：等差數(shù)列an2 n1 ， ana n 1 二 、等差數(shù)列的通項公式：ana1n1d ；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為A P 數(shù)列）的單調(diào)性：d0為遞增數(shù)列，d0 為常數(shù)列，d0為遞減數(shù)列；例： 1. 已知等差數(shù)列an中， a 7a916， a41，就 a12 等于（）A15B30C31D642. an 是首項a11 ，公差 d3的等差數(shù)列，假如an2005，就序號 n 等于（A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 6703. 等差數(shù)列 an減數(shù)列”）2n1, bn2n1 ，就 a n 為bn 為（填“遞增數(shù)列”或“遞 三 、等差中項的概念： 只供學(xué)習(xí)與溝通精選名師

5、 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除定義：假如a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么A 叫做 a 與 b 的等差中項；其中Aab2a ， A ， b 成等差數(shù)列Aab 2即： 2an 1a nan 2（ 2ana n man m ）例：1（ 06 全國 I ）設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，如 a1a2a315 ，a1 a2 a380 ，就 a11a12a13（）A 120B 105C 90D 75 四

6、、等差數(shù)列的性質(zhì)：（ 1）在等差數(shù)列（ 2）在等差數(shù)列an中，從第2 項起，每哪一項它相鄰二項的等差中項；an中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列；（ 3）在等差數(shù)列a中，對任意m ， nN， aanm d ， danammn ；（ 4）在等差數(shù)列nnman中，如 m ， n ， p ， qN且 mnpq ，就 amnmana paq ； 五 、等差數(shù)列的前n 和的求和公式：Snna1an na1nn1) d1 n 2（ a1d） n ； SAn 2Bn A, B為常數(shù) 2222a是等差數(shù)列nn遞推公式：Sna1a n n 2a ma n m21 n例： 1. 假如等差數(shù)列an中， a3a4

7、a512 ，那么 a1a2.a7（ A） 14（ B） 21（ C）28（ D） 352. （ 2021 湖南卷文）設(shè)Sn 是等差數(shù)列an的前 n 項和，已知a23 ， a611 ，就S7 等于 A 13B 35C 49D 633. （ 2021 全國卷理）設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項和為Sn ，如S972 , 就 a2a4a9 =4. 如一個等差數(shù)列前3 項的和為34，最終 3 項的和為146，且全部項的和為390，就這個數(shù)列有（）A.13 項B.12 項C.11 項D.10 項5. 已知等差數(shù)列a n的前 n 項和為Sn ，如S1221，就 a2a 5a8a116. （ 2021 全國卷理）

8、設(shè)等差數(shù)列a的前 n 項和為 S ，如 a5a就9Snn53S57. 已知an數(shù)列是等差數(shù)列，a1010 ，其前 10 項的和S1070 ，就其公差d 等于 A 23B 1C.31D.2338. （ 2021 陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項和為sn , 如 a6s312 , 就 an9（ 00 全國）設(shè) an為等差數(shù)列，Sn 為數(shù)列 an的前n 項和，已知S 7，SSn75， Tn 為數(shù)列的715n只供學(xué)習(xí)與溝通精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - -

9、- - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除前 n 項和，求Tn； 六 . 對于一個等差數(shù)列：（ 1）如項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n 項，就 S 偶S 奇nd ； S奇S偶an；an 1S奇n（ 2）如項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n1項，就 S 奇S 偶ana中 ；S偶n11. 一個等差數(shù)列共2021 項，求它的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比 2. 一個等差數(shù)列前20 項和為 75，其中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比1：2，求公差d3. 一個等差數(shù)列共有10 項，其偶數(shù)項之和是15，奇數(shù)項之和是25 ，就它的首項與公差分別是 2 七 . 對與一個等差數(shù)列，Sn , S2 nSn , S3 nS2 n 仍成

10、等差數(shù)列；例： 1. 等差數(shù)列 an 的前 m項和為 30，前 2m項和為 100，就它的前3m項和為（）A.130B.170C.210D.2602. 一個等差數(shù)列前n 項的和為48，前 2 n 項的和為60，就前 3 n 項的和為；3已知等差數(shù)列a n的前 10 項和為 100，前 100 項和為 10，就前 110 項和為4. 設(shè) Sn 為等差數(shù)列a n的前 n 項和， S414， S10S730，就S9 =5（ 06 全國 II ）設(shè) Sn 是等差數(shù)列an的前 n 項和，如S3 1 ，就S63S6 S12A 310B 13C 18D 19 八 判定或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：

11、a n 1and 常數(shù)）（ nN ）an是等差數(shù)列中項法：2a n 1a nan 2（ nNa n是等差數(shù)列通項公式法：a nknbk, b為常數(shù) a n是等差數(shù)列前 n項和公式法：nSAn 2Bn A, B為常數(shù) a n是等差數(shù)列例： 1. 已知數(shù)列 a n 滿意anan 12 ，就數(shù)列 an 為 （）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判定2. 已知數(shù)列 a n 的通項為 an2n5 ，就數(shù)列 a n 為 （）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判定3. 已知一個數(shù)列 an 的前 n 項和 sn2n 24 ，就數(shù)列 a n為（）A

12、. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判定4. 已知一個數(shù)列 an 的前 n 項和 sn2 n2 ，就數(shù)列 a n 為（）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判定5. 已知一個數(shù)列 an 滿意 a n 22 a n 1an0 ，就數(shù)列 a n 為（）只供學(xué)習(xí)與溝通精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差

13、數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判定6. 數(shù)列an滿意a1 =8， a 42，且 a n 22 a n 1an0（ nN）求數(shù)列an的通項公式；27（ 01 天津理， 2）設(shè) Sn 是數(shù)列 an 的前 n 項和，且Sn=n ，就 an 是（）A. 等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C. 等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 九 . 數(shù)列最值（ 1） a10 ， d0 時，Sn 有最大值；a10 ， d0 時，Sn 有最小值；2（ 2） S 最值的求法：如已知S ， S 的最值可求二次函數(shù)Sanbn 的最值；nnnn可用二次函數(shù)最值的求法（nN）；或者求出an中的正

14、、負(fù)分界項，即：如已知an ，就Sn 最值時 n 的值（ nN）可如下確定an0或an 10an0；an 10例： 1等差數(shù)列a n中，a10， S9S12 ，就前項的和最大；2設(shè)等差數(shù)列a n的前 n 項和為Sn ，已知a312， S120， S130求出公差d 的范疇，指出S1， S2， S12 中哪一個值最大，并說明理由；*3（ 02 上海）設(shè) an（ n N）是等差數(shù)列，Sn 是其前 n 項的和，且S5 S6， S6 S7 S8，就以下結(jié)論錯誤的是（）A. d 0B.a7 0C.S9 S5D. S6 與 S7 均為 Sn 的最大值4已知數(shù)列nan的通項n98 （ n99N），就數(shù)列an

15、的前 30 項中最大項和最小項分別是5. 已知 an 是等差數(shù)列，其中a131 ，公差 d8；（ 1）數(shù)列 an 從哪一項開頭小于0？（ 2）求數(shù)列 an 前 n 項和的最大值，并求出對應(yīng)n 的值 十. 利用 anS1nSnSn 1n1求通項21. 數(shù)列 an 的前 n 項和Sn 21 （ 1）試寫出數(shù)列的前5 項；（2）數(shù)列 a 是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫出數(shù)列nn只供學(xué)習(xí)與溝通精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)

16、，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除2 an的通項公式嗎？2. 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn=2n ，求數(shù)列 a n的通項公式；3. （ 2021 安徽文）設(shè)數(shù)列 an的前 n 項和Sn 2 ，就a8 的值為（）n（ A） 15B 16C49（ D） 6414、2005 北京卷）數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 a1=1， an 1 an 的通項公式Sn ，n=1， 2，3，求a2，a3 ，a4 的值及數(shù)列3三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地， 假如一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù) ，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q 表示 q0 ，

17、即：an 1： anq q0 一 、遞推關(guān)系與通項公式遞推關(guān)系：a n 1an q通項公式： a naq n 11推廣： a naq n mm1 在等比數(shù)列an中 , a14, q2 ，就 a n2 在等比數(shù)列an中 , a712,q3 2 , 就 a19 .3. （ 07 重慶文）在等比數(shù)列 an 中， a2 8， a1 64，就公比q 為（）（ A） 2（ B） 3（ C） 4（ D） 84. 在等比數(shù)列an中， a22 ， a554 ，就a8 =5. 在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，首項 a1A 33B 72C 84D 1893 ，前三項和為21，就 a3a4a5（） 二 、等比中項

18、：如三個數(shù)a,b, c 成等比數(shù)列，就稱比數(shù)列的必要而不充分條件.b 為 a與c 的等比中項，且為bac，注：例： 1. 23 和 23 的等比中項為 A1B1C 1 D 2b 2ac 是成等2. （ 2021 重慶卷文）設(shè)an是公差不為0 的等差數(shù)列，a12 且a1,a3 ,a6 成等比數(shù)列，就an的前 n 項和只供學(xué)習(xí)與溝通精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除Sn =（）n 27nA44n

19、 25nB33n 23nC24D n2n 三 、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1. （ 1） 如mnpq，就 ama na paq其中 m, n,p, qN（ 2） qn man ， a 2naman man mnN（ 3） a n為等比數(shù)列，就下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列.（ 4） a n既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列a n是各項不為零的常數(shù)列.例： 1在等比數(shù)列an中,a1 和 a10 是方程2 x25x10 的兩個根 , 就 a4a7 A52 B22(C) 1 2(D) 122. 在等比數(shù)列a n，已知 a15 ， a 9a10100 ，就a18 =3. 等比數(shù)列 an 的各項為正數(shù)，且a5 a6a

20、4a718,就 log3 a1log 3 a2Llog 3a10（）A 12B10C 8D 2+ log 3 54. （2021 廣東卷理）已知等比數(shù)列 an 滿意 an0, n1,2,L，且 a5a2n 52 2n n3 ，就當(dāng) n1時，log 2 a1log 2 a3A.Ln2 nlog 2 a2 n 11) B.（）2n1C.n2D.2n1 四 、等比數(shù)列的前n 項和，na1q1 Sa 1q n aa q q1n11n1q1q例： 1. 已知等比數(shù)列 an 的首相 a15 ，公比 q2 ，就其前n 項和 Sn2（ 2006 年北京卷）設(shè)f n 22427210L2 3n10 nN ，就f

21、 n 等于（）A 2 8n17B 2 8n 117C 2 8n 317D 2 8n 4173（ 1996 全國文， 21）設(shè)等比數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，如 S3S6 2S9，求數(shù)列的公比q； 五.等比數(shù)列的前n 項和的性質(zhì)如數(shù)列a n 是等比數(shù)列，Sn 是其前 n 項的和， kN * ，那么Sk ， S2kSk ， S3kS2 k成等比數(shù)列 .只供學(xué)習(xí)與溝通精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系

22、網(wǎng)站刪除SS6S9例： 1. （ 2021 遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列an 的前 n 項和為Sn ，如S3 =3 ，就6=A. 2B.73C.83D.32. 一個等比數(shù)列前n 項的和為48，前 2 n 項的和為60，就前 3 n 項的和為（）A 83B 108C 75D 633. 已知數(shù)列a n是等比數(shù)列，且Sm10， S2 m30，就 S3 m 六 、等比數(shù)列的判定法（ 1）定義法：an 1anq（常數(shù)）a n為等比數(shù)列；（ 2）中項法：2an 1anan 2 an0a n為等比數(shù)列；（ 3）通項公式法：a nkq nk, q為常數(shù)）a n為等比數(shù)列；（ 4）前 n項和法： Snk 1q n （

23、k ,q為常數(shù)）a n為等比數(shù)列；Snkkq n（ k, q為常數(shù)）an為等比數(shù)列；例： 1. 已知數(shù)列 a n 的通項為 an2n ，就數(shù)列 an 為 （）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判定2. 已知數(shù)列 a n 滿意2an 1anan 2an0) ，就數(shù)列 a n 為 （）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判定3. 已知一個數(shù)列 an 的前 n 項和 sn22n1 ，就數(shù)列 a n 為（）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判定四、求數(shù)列通項公式方法（ 1） 公式法（定義法）依據(jù)等差數(shù)列、等比

24、數(shù)列的定義求通項例： 1 已知等差數(shù)列 an 滿意： a37 ,a 5a726， 求 a n ；2. 等比數(shù)列 a n 的各項均為正數(shù)，且2 a13a 221， a39a2 a6 ，求數(shù)列 an 的通項公式3. 已知數(shù)列 an 滿意 a12， a24且an 2an2an 1（ nN），求數(shù)列a n的通項公式；n 1n4. 已知數(shù)列 a n 滿意 a12，且 an152an5 （ nN），求數(shù)列a n的通項公式；只供學(xué)習(xí)與溝通精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - -

25、 - - - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除5. 數(shù)列已知數(shù)列a滿意 a1 , a4 a1n1. 就數(shù)列a的通項公式 =n1nn 1n2（ 2）累加法1、累加法適用于：an 1anf n如 an 1anf n n2 ，就a2a1f 1a3a2f 2LLan 1anf n 兩邊分別相加得an 1a1nf n k 11例： 1. 已知數(shù)列 an 滿意 a1,2an 1a1n4 n 2，求數(shù)列 an 1的通項公式；2. 已知數(shù)列 an 滿意an 1an2n1， a11 ，求數(shù)列 an 的通項公式；3. 已知數(shù)列 a 滿意 aa23n1， a3 ，求數(shù)列 a 的通項公式；nn

26、1n1n（ 3）累乘法適用于：an 1f n an如 an 1f n ，就 a2a3f 1f 2，L Lan 1f n，ana1a2an兩邊分別相乘得，an 1na1fk a1k 1例： 1.已知數(shù)列 a 滿意 a2 n15na ， a3 ，求數(shù)列 a 的通項公式；nn 1n1n2. 已知數(shù)列a n滿意 a12 ， an13na，求nn1a n ；3. 已知 a13 ， a n 13n1ann3n21) ，求an ；只供學(xué)習(xí)與溝通精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - -

27、- - - - - - - -此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除（ 4）待定系數(shù)法適用于an 1qanf n例： 1.已知數(shù)列 an 中， a11,an2an 11n2) ，求數(shù)列an的通項公式；2. （ 2006，重慶 , 文,14 ）在數(shù)列an中，如 a11,an 12an3 n1) ，就該數(shù)列的通項an 3. 已知數(shù)列an滿意 a11,an 12 an1nN * . 求數(shù)列an的通項公式；（ 5）遞推公式中既有Sn分析：把已知關(guān)系通過anS1, n1轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或Sn 的遞推關(guān)系，然后采納相應(yīng)的方法求解；SnSn 1 , n21. （ 2005 北京卷）數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ，且 a1=1， an 1列 an 的通項公式1Sn ，n=1，2， 3，求a2，a3， a4 的值及數(shù)32. （ 2005 山東卷）已知數(shù)列a的首項 a5, 前 n 項和為 S ，且 SSn5n，證明數(shù)列a1*n1nn 1nN n是等比數(shù)列6 取倒數(shù)法；五、數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和；S1nn aa nn1na1 q1nna12dSn2a1 11qn qq公比