高中數(shù)學算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

1、 今有一臺天平，兩臂長不等，其余均精確. 有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次稱量的結(jié)果的和的一半就是物體的真實重量，這種說法對嗎？并說明你的結(jié)論 .! ! !ab應(yīng)是不對算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)學習目標 均值不等式及其重要變形20a 2()0ab222abab222|abab2(0)ababba222abab2()2abab222()22abab) 0,(2baabba! , 和和互化是含和積互化是注意：含!1122222baabbaba注意：題題例例222 2.R432 abcabcabbc設(shè) 、 、，求證：；222.1. , ,a b cabcabbcca為實數(shù)

2、，證明：題題例例114.abcabbcac4.設(shè)，求證： 3.R ()(1) 22() .ababababba+設(shè) 、，求證：2213 1. log (22 ) 24xyyx設(shè)，求證：；222.01 (1) 12122 2 1125 (2)()() .2ababababab設(shè) 、，求證：；練習練習:設(shè)-1a1,-1b0,b0,且a+b=1,求證：4141 2 3ab 證明一證明一(分析法分析法)只要證：(41)(41)2 (41)(41)12abab(41)(41)3ab(4a+1)(4b+1) 916ab+4a+4b+19 14ab 4141 2 3ab 要證：只要證：只要證：只要證：只要證

3、：12,abab又1.4ab所以，原不等式成立.證明二證明二(綜合法綜合法)3(41)3(41)22,2bbb3(41)3(41)22,2aaa16(22)(22)2 333ab+4141ab 題題例例12.01, .ababab1設(shè) 、，求的最小值2.0,1,149 .abcabcabc設(shè) 、 、求的最小值443.01, .ababab設(shè) 、，求的最小值均值定理. ,小值等時，兩數(shù)的和取得最數(shù)相那么當且僅當這兩個正定值如果兩個正數(shù)的乘積是定理.2),(, 0 PyxyxPxyyx有最小值時，和則當定值、若. ,大值時，兩數(shù)的乘積取得最相等么當且僅當這兩個正數(shù)那值如果兩個正數(shù)的和是定.41),

4、(, 0 2SxyyxSyxyx有最大值時，積當則定值、若知識結(jié)構(gòu) 均值不等式 均值不等式及其變形 均值不等式等知識的綜合應(yīng)用應(yīng)用極值定理及其應(yīng)用均值不等式的互化功能1.“和與積”互化放縮功能2.“和與積”一定一最功能注意：在運用均值不等式“和與積”互化、尋求極值的過程中常需“配湊因式”和“拆項、添項” ，務(wù)必細心； 注意：在運用均值不等式尋求最值過程中常需檢查“一正、二定、三等、四同時”，尤其是“配定和放縮過程中所有等號都必須同時取得”的檢查.考考思思2160.()abab ab設(shè)，求的最小值22221616()()()1616 ()1616 ()abbaab abab abaaba aba

5、ababa abab方法一：2222221616()()264 16(16)(22216)aababb abababaaab方法二：且=8時原式為當且僅當,時，原式取最小值注意配式的目的是：創(chuàng)設(shè)一個應(yīng)用基本不等式的情境!創(chuàng)設(shè)其等號成立的條件!運用均值定理求最值，主要是揭示已知條件與目標不等式的運算結(jié)構(gòu)特征，找出差異，并將其與基本不等式的運算結(jié)構(gòu)進行類比，選擇相應(yīng)的基本不等式求解 .基礎(chǔ)是檢查條件“一正二定三等四同時”，關(guān)鍵是“配定”!配式的常用方法是：拆項、組合、添加系數(shù)及常值替換等!題題例例 ()0,pq某商品計劃兩次提價，有三種方案 見表 ，其中問提價后哪種方案的提價幅度最大？1()%2p

6、q1()%2pq題題例例 一船航行時所耗時燃料費與其航速的平方成正比，已知航速為每小時a海里時，每小時所耗燃料費為b元，此外，該船航行時每小時的其它費用為c元(與航速無關(guān))，若該船勻速航行d海里，求其航速為多少時,可使航行的總費用最省？(若船的航行速度不超過v0)兩數(shù)都是正數(shù)；(1)均值定理應(yīng)用條件注意事項. . .質(zhì)求解可選用函數(shù)單調(diào)性等性尋求最值否則不能應(yīng)用均值定理缺一不可查，四點要齊備，定理的應(yīng)用條件進行檢，應(yīng)重視先對均值應(yīng)用均值定理尋求最值的條件是：應(yīng)用均值定理尋求最值兩句話一正二定三等四同時! 和定積大，積定和小；和為定值或積為定值必須出現(xiàn)“定值”)(2)務(wù)必取到等號；(3). ,(

7、4)取得則每一個等號必須同時若多次應(yīng)用先檢查四點要齊備否則選用函數(shù)單調(diào)性和大小積! 一正是基礎(chǔ)!配定是關(guān)鍵4a練習：1.用長為的鐵絲圍成一個矩形， 怎樣才能使所圍成的矩形的面積最大？3222.4800,3 .11501120mmmm某工廠建造一個無蓋的長方形蓄水池， 其容積為深度為如果池底 每的造價為元，池壁 每的造價為元， 怎樣設(shè)計水池能使所總造價最低？ 最低總造價為多少元？ 如圖，為處理含有某雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，處理后從B孔流出，設(shè)箱長 a 米，箱高b米，流出水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問a、b各為多少，可使流出水

8、的質(zhì)量分數(shù)最??？(A、B孔面積不計)題題例例ABab2(0),ykykab解：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為 ， 得2 22260(0,0),babaab又2302kkyaaaba2306434(2)18.22aaaaa又6426,3.2aaba由得則(0),ykykab解：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為 ， 得.aby當最大時， 最小2 22260(0,0),230(0,0),babaababbaab由得22 2,abab2 230,018.ababab得26,230,3.abaababb，由得().Aab練習：一份印刷品的排版面積 矩形 為 ，它的兩邊都留有寬 的空白，頂部和底部都留有寬為 的

9、空白如何選用紙的尺寸，才能使紙的用量最?。空n堂小結(jié)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系及變形重點：基本形式與均值定理涉及三種轉(zhuǎn)化(和和、和積、實際問題與數(shù)學問題)關(guān)鍵：類比結(jié)構(gòu)，配式轉(zhuǎn)化應(yīng)用數(shù)學思想思想：方程與函數(shù)思想 數(shù)形結(jié)合思想 等價轉(zhuǎn)換思想 分類討論思想等作業(yè)見資料1.1.互不相等的四個正數(shù)互不相等的四個正數(shù) 成等比數(shù)列，成等比數(shù)列， 則則 的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是 , , ,a b c d2adbc與2.2.已知實數(shù)已知實數(shù) 成等差數(shù)列，成等差數(shù)列， 成等比數(shù)成等比數(shù) 列，則列，則 的取值范圍是的取值范圍是 12,x a ay12,x b by2121 2()aabb22113.,()()22

10、x yxyyx若是正數(shù)，則的最小值為21 cos28sin4.0,( )2sin2xxxf xx當時 函數(shù)的最小值為121212212121 1221212,(0,),1,(0,).()().4a aaaaaaa 6.設(shè)求證：(121212125.( )0,()2() (),(),(),(),f xf xxf xf xxRf xa f xbf xxabab已知且滿足且則的取值范圍是().Aab一份印刷品的排版面積 矩形 為 ，它的兩邊都留有寬 的空白，頂部和底部都留有寬為 的空白如何選用紙的尺寸，才能使紙的用量最小？ 452( 1) ,1.(1)(2)(3)4,1117.8nnnnnmanSSanmaaa 已知數(shù)列的前 的和滿足寫出數(shù)列的前三項；求該數(shù)列的通項公式；證明：對任意的整數(shù) 有232112312( ), ,1()( )( ).(I)( )23(II)(),( )( 1),;( )(III),(),2nnnnnnnnnnf xxxxn nnNf xg ng nnnanNg nSaaaaSg nbTbbbTl lZl 設(shè)二次函數(shù)當時，的所有整數(shù)值的個數(shù)為求的表達式；設(shè)