導(dǎo)數(shù)幾何意義

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義教材分析本節(jié)內(nèi)容選自數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第1章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”第1.1.3“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”第一課時(shí).導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它為研究函數(shù)提供了有效的方法. 教材從形和數(shù)的角度即割線入手，用形象直觀的“逼近”方法定義了切線，獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義，學(xué)生通過(guò)觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、歸納、運(yùn)用，形成完整的概念，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握. 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的定義，并更好的體會(huì)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的極值和最值，探討函數(shù)值變化快慢等性質(zhì)最有效的工具.課時(shí)分配本節(jié)內(nèi)容用1課時(shí)完成，主要講解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，讓學(xué)生知道函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是在這一

2、點(diǎn)處切線的斜率，為求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程提供條件.教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：理解和掌握切線的新定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、以直代曲的思想方法.難點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，在某點(diǎn)處“附近”變化率與瞬時(shí)變化率的近似關(guān)系的理解知識(shí)點(diǎn)：深刻理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及對(duì)曲線切線方程的求解.能力點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解曲線切線方程的方法.教育點(diǎn)：讓學(xué)生在觀察，思考，發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生研究問(wèn)題時(shí)，抓住問(wèn)題本質(zhì)，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致思考，規(guī)范得出解答.自主探究點(diǎn)：“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法.考試點(diǎn)：求曲線的切線方程. 易錯(cuò)易混點(diǎn)：在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法.拓展點(diǎn)：

3、求曲線的切線方程.教具準(zhǔn)備：多媒體課件.課堂模式：基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的探究式教學(xué)模式.一.創(chuàng)設(shè)情境師：初中平面幾何中圓的切線是怎么定義的？生：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)師：曲線在點(diǎn)處的切線能用直線與切線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)定義嗎？你能否用你已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)曲線的切線舉出反例？生：正弦函數(shù)的曲線與直線可能相切時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)，有時(shí)還可能有多個(gè)公共點(diǎn)師：圓是一種特殊的曲線，這種定義并不適用于一般曲線的切線如圖曲線，直線雖然與曲線有惟一公共點(diǎn)，但它與曲線不相切；而另一條直線，雖然與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)和，但與曲線相切于點(diǎn)因此，直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能用來(lái)定義一般曲線的切線，我們必須

4、用新的方法來(lái)定義曲線的切線   【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)曲線在點(diǎn)處切線與曲線可以有不止1個(gè)公共點(diǎn).直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，也不一定是曲線的切線.概念的辨析有助于學(xué)生準(zhǔn)確理解概念，避免了學(xué)習(xí)的負(fù)向遷移.通過(guò)普通曲線的切線與圓的切線對(duì)比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到曲線的切線不能以直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定.由此提出：如何定義曲線上某點(diǎn)的切線呢？激發(fā)學(xué)生的求知欲望，進(jìn)入對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的探索.二探究新知師：如圖，當(dāng)點(diǎn)沒(méi)著曲線趨近點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢(shì)是什么？（2）圖（1）圖 （4）圖圖（3）圖生：點(diǎn)趨近于點(diǎn)時(shí)，割線趨近于確定的位置.師：為曲線的切線【設(shè)計(jì)意圖】尤其第五幅圖通過(guò)課件演示割

5、線的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)，為學(xué)生觀察、思考提供平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生共同分析，直觀獲得切線定義.通過(guò)逼近方法，將割線趨于確定位置的直線定義為切線， 使學(xué)生體會(huì)這種定義適用于各種曲線，反映了切線的直觀本質(zhì).三.理解新知師：割線的斜率與切線的斜率有什么關(guān)系呢？割線的斜率是：（板書）當(dāng)點(diǎn)無(wú)限趨近于點(diǎn)時(shí)，無(wú)限趨近于切線的斜率再次通過(guò)教師逐步的引導(dǎo)得出函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率.（教師重復(fù)定義，并板書）即.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察：在點(diǎn)的附近，比更接近曲線，比更接近曲線，過(guò)點(diǎn)的切線最貼近附近的曲線因此，在點(diǎn)的附近，曲線可以用過(guò)點(diǎn)的切線近似代替【設(shè)計(jì)意圖】要求學(xué)生能數(shù)形結(jié)合，將切線斜率和導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系，觀察、思考獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

6、 “以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法，是微積分學(xué)中的重要思想方法四運(yùn)用新知例1如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象.用圖形體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)，的幾何意義.生：運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為，這說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約的速率下落；運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為，這說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約的速率上升.師：根據(jù)圖像描述、比較曲線在附近增（減）以及增（減）快慢的情況. 請(qǐng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，描述在附近增（減）以及增（減）快慢的情況.在附近呢？生：作出曲線在這些點(diǎn)處的切線，在處切線平行于軸，即，說(shuō)明在時(shí)刻附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒(méi)有增減；在作出切線，切線呈下降趨勢(shì)，即，函數(shù)在點(diǎn)附近單調(diào)遞減.曲線在附近比在附近下降得更快，

7、則是因?yàn)?當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率 在附近曲線上升，即函數(shù)在附近單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率 在附近曲線下降，即函數(shù)在附近也單調(diào)遞減師：如何用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減？（先由學(xué)生交流討論，學(xué)生回答后，教師再歸納結(jié)論）結(jié)論：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)的附近曲線是上升的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞增；當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)的附近曲線是下降的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞減；當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒(méi)有增減.【設(shè)計(jì)意圖】引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性分析，在某點(diǎn)處由切線的“走向”分析曲線的“走向”，滲透“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想例2如圖，它表示人體

8、血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)圖像根據(jù)圖像，估計(jì)時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率（精確到0.1）先依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分析討論，教師再扼要寫出板書血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率【設(shè)計(jì)意圖】給出曲線上各點(diǎn)的切線的變化圖，體會(huì)導(dǎo)數(shù)就是反映函數(shù)變化率的，借助曲線可以得出切線斜率的情況即該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的情況,體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)增減和變化快慢的應(yīng)用.引導(dǎo)優(yōu)生進(jìn)一步體會(huì)導(dǎo)數(shù)用來(lái)刻畫變化情況的應(yīng)用和拓展研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增減的關(guān)系.結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義說(shuō)明單調(diào)性，學(xué)生進(jìn)一步感知導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)變化情況中的應(yīng)用.進(jìn)一步體會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決問(wèn)題，通

9、過(guò)老師的小結(jié)，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解.練習(xí)：函數(shù)上有一點(diǎn)，求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并解釋函數(shù)的增減情況.師：某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值、切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)性之間有何關(guān)系？生：從數(shù)的角度：導(dǎo)數(shù)正負(fù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的增減，從形的角度反映為切線斜率的正負(fù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的增減.【設(shè)計(jì)意圖】由具體的導(dǎo)數(shù)入手，熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幫助學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)反映變化率的本質(zhì).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，借由切線的變化趨勢(shì)，得出切線的斜率即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的情況，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性.要求學(xué)生動(dòng)腦(審題),動(dòng)手(畫切線)，動(dòng)口(討論)，體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)在某點(diǎn)附近的單調(diào)性，滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法

10、.例3.求在點(diǎn)處的切線方程.解： ，即切線的斜率，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.共同總結(jié)在曲線上某點(diǎn)切線方程的求解步驟（學(xué)生歸納總結(jié)，教師用大屏幕演示）（1）求出曲線在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率；（2）利用點(diǎn)斜式求切線方程.練習(xí)：已知曲線上一點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求曲線在這點(diǎn)的切線方程.學(xué)生板演，師生共同點(diǎn)評(píng).【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生獨(dú)立應(yīng)用導(dǎo)數(shù)意義求在某點(diǎn)的曲線的切線方程，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索，解決問(wèn)題的能力，并且加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，熟練掌握幾何意義的應(yīng)用.例4.求曲線：在點(diǎn)處的切線方程. 特點(diǎn)：，就是切點(diǎn)（答案：只一條）求曲線：過(guò)點(diǎn)處的切線方程. 特點(diǎn)：與相比一字之差“在”“過(guò)”，可能是切點(diǎn)也可能不是

11、切點(diǎn)（答案：兩條）求曲線：過(guò)點(diǎn)處的切線方程. 特點(diǎn)：與相比一數(shù)之差“6”“ ” ，不可能是切點(diǎn)（答案：有三條）求曲線：過(guò)點(diǎn)處的切線方程. 特點(diǎn)：與相比一數(shù)之差“”“0” ，不可能是切點(diǎn)（答案：有四條）【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生在四種情況下求曲線的切線方程的體驗(yàn)和感觸，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，體會(huì)細(xì)微差別，增強(qiáng)邏輯觀念和邏輯意識(shí).五.課堂小結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和方法？學(xué)生進(jìn)行開(kāi)放式小結(jié)：（回顧學(xué)習(xí)的兩個(gè)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法）(1)切線的定義：當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逼近點(diǎn)時(shí)，即，割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的直線稱為點(diǎn)處的切線.(2)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖象在處的切線

12、的斜率.導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，從圖形上來(lái)看，表現(xiàn)為切線的斜率，如果導(dǎo)數(shù)為正，則切線的斜率為正，切線呈上升趨勢(shì)，曲線在該點(diǎn)附近也是上升趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)增；如果導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則切線的斜率為負(fù)，切線呈現(xiàn)為下降趨勢(shì)，曲線在該點(diǎn)附近也是下降趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)減.數(shù)學(xué)思想方法：體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)師生共同反思?xì)w納總結(jié)，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).六. 布置作業(yè)必做題：課本10頁(yè)A組1,2,5選做題：B組1,2,3求曲線：在點(diǎn)處的切線方程. 求曲線：過(guò)點(diǎn)處的切線方程. 求曲線：過(guò)點(diǎn)處的切線方程. 七.教后反思： 本節(jié)課成功之處是通過(guò)多媒體課件的直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，思考，發(fā)現(xiàn)并歸納導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在教學(xué)的過(guò)程中加強(qiáng)了