北航研究生數(shù)值分析期末模擬歷年考試

1、個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)數(shù)值分析模擬試卷 1 一、填空(共 30分，每空 3 分)111 設(shè) A ，則 A 地譜半徑 (a) ，A 地條件數(shù) cond1 ( A) =.5 1 122 設(shè) f(x) 3x2 5,xk kh,k 0,1,2, ， 則fxn,xn 1,xn 2 , fxn,xn 1,xn 2，xn 3 .32 x3 x2,0 x 13 設(shè) S(x) 3 2 ，是以 0， 1，2 為節(jié)點(diǎn)地三次樣條函數(shù)，則 2x3 bx 2 cx 1,1 x 215 / 104 設(shè)qk(x)k 0 是區(qū)間 0，1上權(quán)函數(shù)為 (x) x 地最高項(xiàng)系數(shù)為 1 地正交多項(xiàng)式族，其1中 q0(x) 1，則

2、xqk(x)dx ， q2(x) .b5E2RGbCAP10a5 設(shè) A 0 1 a ，當(dāng) a 時(shí)，必有分解式 ，其中 L 為下三角陣，當(dāng)其aa1對(duì)角線元素 Lii (i 1,2,3) 滿足條件 時(shí)，這種分解是唯一地 .p1EanqFDPw、(14 分) 設(shè) f (x)2x2,x01,x141,x2191 ) 試 求 f(x) 在 , 上 地 三 次 Hermite 插 值 多 項(xiàng) 式 H(x) 使 滿 足44H(xi) f(xi),i 0,1,2 ， H (x1) f (x1).2)寫出余項(xiàng) R(x) f (x) H(x) 地表達(dá)式 .2、(14 分)設(shè)有解方程 12 3x 2cosx 0

3、地迭代公式為 xn 1 4 cosxn ， n 1 3 n1) 證明 x0 R 均有 lim xn x ( x 為方程地根) ；，列出各次迭代值；. 試問所得地?cái)?shù)值積分公式2) 取 x0 4 ，用此迭代法求方程根地近似值，誤差不超過( 3)此迭代地收斂階是多少？證明你地結(jié)論.DXDiTa9E3d四、(16分) 試確定常數(shù) A，B，C 和 ，使得數(shù)值積分公式有盡可能高地代數(shù)精度 代數(shù)精度是多少？它是否為 Gauss 型地？ RTCrpUDGiT五、( 15 分) 設(shè)有常微分方程地初值問題y f(x,y) ，試用 Taylor 展開原理構(gòu)造形如 y(x0 ) y0yn 1(yn yn 1) h(

4、0fn1fn 1)地方法，使其具有二階精度， 并推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng) .5PCzVD7HxA六、(15 分) 已知方程組 Axb ，其中 A120.3 1,b1) 試討論用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程組地收斂性2) 若有迭代公式 x(k 1) x(k) a(Ax(k) b) ，試確定一個(gè) 地取值范圍，在這個(gè)范圍內(nèi) 任取一個(gè) 值均能使該迭代公式收斂 .jLBHrnAILg 七、(8分) 方程組 ，其中 ，A是對(duì)稱地且非奇異 .設(shè) A有誤差 ，則原方程組變化為 ，其中 為解地誤差向量，試證明 xHAQX74J0X .其中 1和 2 分別為 A 地按模最大和

5、最小地特征值數(shù)值分析模擬試卷 2填空題(每空 2分，共 30 分)1. 近似數(shù) x 0.231關(guān)于真值 x 0.229 有位有效數(shù)字；2. 設(shè) f (x) 可 微 ， 求 方 程 x f (x) 根 地 牛 頓 迭 代 格 式 是 ； LDAYtRyKfE33. 對(duì) f(x) x3 x 1，差商 f 0,1,2,3 ； f0,1,2,3,4 ；324. 已 知 x (2, 3),A ， 則 | Ax | ，21Cond1 (A) 35. 用二分法求方程 f(x) x3 x 1 0 在區(qū)間 0,1 內(nèi)地根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為，進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為 ；Zzz6ZB2Ltk6.求解線性方程組3

6、x1 5x2 11x1 4x2 0地高斯賽德爾迭代格式為(G) ； 該 迭 代 格 式 迭 代 矩 陣 地 譜 半 徑； dvzfvkwMI117. 為使兩點(diǎn)數(shù)值求積公式： f(x)dx0f(x0) 1f (x1)具有最高地代數(shù)精確度，其求積節(jié)點(diǎn)應(yīng)為 x0 , x1rqyn14ZNXI ，其代數(shù)精度為338. 求積公式f (x)dx f(1) f (2) 是否是插值型地、(12 分) (1)設(shè) A LU ，其中 L為下三角陣， U 為單位上三角陣 .已知21A001002 1 0，求 L ， U .1 2 10 1 2(2)設(shè) A為 6 6矩陣，將 A進(jìn)行三角分解： A LU ， L為單位下三

7、角陣， U 為上三 角陣，試寫出 L中地元素 l65和U 中地元素 u56 地計(jì)算公式 .、(12 分)設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,試確定一個(gè)次數(shù)不超過 3地多項(xiàng) 式 H(x) ，滿足H(0) f(0) 0 , H(1) f (1) 1, H(2) f (2) 1,H (1) f (1) 3 并寫出插值余項(xiàng) .(12 分)線性方程組x1x2 b12 x1 2x2 b2(1) 請(qǐng) 寫出解此方程組地賽德爾迭代法地迭代格式，并討論收斂性.1(2)設(shè)2 ，給定松弛因子，請(qǐng)寫出解此方程組地 SOR 方法地迭代格式，并討論2 收斂性 .五、(7 分)改寫方程 2x x 4 0為 x

8、 ln(4 x)/ln 2地形式，問能否用迭代法求所給 方程在 1,2 內(nèi)地實(shí)根？六、(7分)證明解方程 (x3 a)2 0求 3 a地牛頓迭代法僅為線性收斂 .1 1 3七、( 12 分)已知 x0,x1,x2.424(1)推導(dǎo)以這 3 個(gè)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)在 0,1 上地插值型求積公式； (2)指明求積公式具有地代數(shù)精度；12(3)用所求公式計(jì)算x2dx.八、(8 分)若 f(x) (x x0)(x x1) (x xn),xi 互異，求 fx0,x1, , x p 地值，這里p n 1.數(shù)值分析模擬試卷 3一、填空題(每空 3分，共 30 分)1設(shè) f(x) 4x8 3x4 2x2 1，則差商

9、 f20,21, ,28；2在用松弛法 (SOR)解線性方程組 Ax b 時(shí)，若松弛因子 滿足 | 1| 1，則迭代 法；3設(shè) f(x*) 0,f (x*) 0,要使求 x* 地 Newton 迭代法至少三階收斂， f (x)需要滿 足；324. 設(shè) f (x) (x 2)(x3 3x2 3x 1),用 Newton 迭代法求 x12具有二階收斂地迭代格式為；求 x2 1 具有二階收斂地迭代格式為EmxvxOtOco75已知 A3，則 (A) ,Cond (A)6. 若 x1，改變計(jì)算式lgx lg x2 1 =，使計(jì)算結(jié)果更為精確；7過節(jié)點(diǎn) xi ,xi3 (i 0,1,2,3)地插值多項(xiàng)式

10、為 ；22 8. 利用拋物 (Simpson) 公式求 x2dx=.221二、( 14 分)已知方陣 A 1 1 1 ，321(1) 證明： A 不能被分解成一個(gè)單位下三角陣 L 和一個(gè)上三角陣 U 地乘積； (2) 給出 A 地選主元地 Doolittle 分解，并求出排列陣；(3) 用上述分解求解方程組 Ax b，其中 b (3.5,2,4)T .三、(12分)設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,試確定一個(gè)次數(shù)不超過 3地多項(xiàng) 式 H(x) ，滿足 H(0) f(0) 0 , H(1) f (1) 1, H (1) f (1) 10,H (1) f (1) 40 ， 并寫出

11、插值余項(xiàng) .四、( 10 分)證明對(duì)任意地初值 x0 ，迭代格式 xn 1 cosxn 均收斂于方程 x cosx 地根， 且具有線性收斂速度 .32五、( 12 分) 在區(qū)間 -1,1上給定函數(shù) f(x) 4x3 1， 求其在 Span1, x, x 中關(guān)于 權(quán) 函 數(shù) (x) 1 地 最 佳 平 方 逼 近 多 項(xiàng) 式 . ( 可 用 數(shù) 據(jù) ：3 2 1p0(x) 1,p1(x) x, p2(x)x )22六、 (12 分 )(1) 試 導(dǎo) 出 切 比 雪 夫 (Chebyshev) 正 交 多 項(xiàng) 式 Tn(x) cos(n arccosx)(n 0,1,2, ,x 1,1) 地三項(xiàng)遞

12、推關(guān)系式：T0(x) 1,T1(x) x,Tn 1(x) 2xTn (x) Tn 1(x) (n 1,2, )2 x2 1(2)用高斯切比雪夫求積公式計(jì)算積分Idx ，問當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù) n取何值時(shí)，0 x(2 x)能得到積分地精確值？并計(jì)算它 .yn 1 yn h(K1 K3)2七、(10 分)驗(yàn)證對(duì) t, K1 f (xn, yn)為 2階格式 .K2 f (xn th,yn thK1)K3 f (xn (1 t)h,yn (1 t)hK1)參考答案1一、 1(a) 6 ，cond1 ( A) =6.2fxn,xn 1,xn2=3， fxn,xn 1,xn 2，xn 3=03b= 2，c=3.4,

13、k 0 2 6 3 2； q2(x) x x .5 100,k 05;lii0(i1,2,3)二、 (1)H(x)14 x32632 233x 1(2)225x450 450 25R(x) 14!16921 2 9 1 9 (x 14)(x 1)2 (x 94), (14,49).三、(1)2L;(2) x 3.347 ;(3)線性收斂 .3四、A C 10,B 16,99152 ;求積公式具有 5次代數(shù)精度，是 Gauss型地 .五、 21， 0 74， 1131 ；截?cái)嗾`差主項(xiàng)為 3h3y (xn) .48六、1)(BJ )0.6, (BGS) 0.6 1, 因此兩種迭代法均收斂a 0 時(shí)

14、，該迭代公式收斂 .1 0.6參考答案 2一、 1 2)(x(xn1)k(1)(k2xx28. 是, 1200013200014300015a65 (l 61u15 l62u25 l63u35 l64u45 ) l65;(2)u55u56 a55 (l51u16 l52u26 l 53u356 l54u46 )三、 H (x) x 2x(x 1)(x 2),R(x)四、(1)(2)五、收斂七、1)(2)1(3)13八、f ( ) x(x 1)2 (x 2) 4!x1(k 1)b1x2(k)x(k 1)b2x1(k 1) , 1221時(shí)收斂x1(k 1)x(2k 1)b1 1 x1(k) x2(

15、k)2 2 1 2 , b2 1x(2k) x1(k 1)4 2 2 12 1 1 1 2 32 f(1) 1f(1) 2 f(3) 3432342收斂p n 時(shí)為 0，p n 1時(shí)為 1參考答案 3一、 1 42發(fā)散3 f (x* ) 06.3 x100L0.666710,U0.33330.518.(2) 先交換 2、3 兩行，交換 1、2 兩行，(3) ( 1.5,1,4.5)32100100.66670.3333,P100000.50104 xn1xnf(xn)(n0,1,),xn 1xn3 f(xn)(n0,1, )8 605 8 260 , 497.H(x) x 11x(x 1) 9

16、x(x 1)2, R(x) f (4)( ) x(x 1)3 4!五、p0 12 p15六、版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理 . 版權(quán)為個(gè)人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.SixE2yXPq5用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個(gè)人學(xué)習(xí)、 研究或欣賞， 以及其 他非商業(yè)性或非盈利性用途， 但同時(shí)應(yīng)遵守著作權(quán)法及其他相關(guān)法律 地規(guī)定，不得侵犯本網(wǎng)站及相關(guān)權(quán)利人地合法權(quán)利 . 除此以外，將本 文任何

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