大學數(shù)學實驗

1、大學數(shù)學實驗大學數(shù)學實驗Experiments in Mathematics實驗實驗5 5 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法數(shù)學建模與數(shù)學實驗數(shù)學建模與數(shù)學實驗- 李煥榮李煥榮 實實 驗驗 5 許多實際問題歸結(jié)為線性（代數(shù)）方程組許多實際問題歸結(jié)為線性（代數(shù)）方程組 大型的方程組需要有效的數(shù)值解法大型的方程組需要有效的數(shù)值解法 數(shù)值解法數(shù)值解法的穩(wěn)定性和收斂性問題需要注意的穩(wěn)定性和收斂性問題需要注意為什么要學習為什么要學習線性方程組線性方程組的數(shù)值解法的數(shù)值解法機械設備、土建結(jié)構(gòu)的受力分析機械設備、土建結(jié)構(gòu)的受力分析輸電網(wǎng)絡、管道系統(tǒng)的參數(shù)計算輸電網(wǎng)絡、管道系統(tǒng)的參數(shù)計算經(jīng)濟計

2、劃經(jīng)濟計劃企業(yè)管理企業(yè)管理 實實 驗驗 5 實實 驗驗 53. 線性方程組數(shù)值解法的線性方程組數(shù)值解法的MATLABMATLAB實現(xiàn)實現(xiàn) 4. 實際問題中方程組的數(shù)值解。實際問題中方程組的數(shù)值解。1. 兩類數(shù)值解法兩類數(shù)值解法: :直接方法；迭代方法直接方法；迭代方法實驗實驗5的主要內(nèi)容的主要內(nèi)容2. 超定線性方程組的最小二乘解超定線性方程組的最小二乘解 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5表表 1 國民經(jīng)濟各個部門間的關(guān)系國民經(jīng)濟各個部門間的關(guān)系 分配去向分配去向 投入來源投入來源農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)制造業(yè)制造業(yè) 服務業(yè)服務業(yè) 外部需求外部需求 總產(chǎn)出總產(chǎn)出農(nóng)業(yè)農(nóng)造業(yè)制造業(yè)30104

3、5115200服務業(yè)服務業(yè)2060/70150初始投入初始投入3511075總投入總投入100200150實例實例1 1 投入產(chǎn)出模型投入產(chǎn)出模型 分配去向分配去向 投入來源投入來源農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)制造業(yè)制造業(yè)服務業(yè)服務業(yè)農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)0.150.100.20制造業(yè)制造業(yè)0.300.050.30服務業(yè)服務業(yè)0.200.300表表2 投入產(chǎn)出表投入產(chǎn)出表假定每個部門假定每個部門的產(chǎn)出與各部的產(chǎn)出與各部門對它的投入門對它的投入成正比，得到成正比，得到投入系數(shù)投入系數(shù)。 實實 驗驗 5 實實 驗驗 54 4）如果對于任意給定的、非負的外部需求，都能）如果對于任意給定的、非負的外部需求，都能得到非負的總產(chǎn)出，模型就

4、稱為可行的。問為使模得到非負的總產(chǎn)出，模型就稱為可行的。問為使模型可行，投入系數(shù)應滿足什么條件？型可行，投入系數(shù)應滿足什么條件？1 1）設有）設有n n個部門，已知投入系數(shù)，給定外部需求，個部門，已知投入系數(shù)，給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出的模型。建立求解各部門總產(chǎn)出的模型。2 2）設投入系數(shù)如表）設投入系數(shù)如表2 2所給，如果今年對農(nóng)業(yè)、制造所給，如果今年對農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務業(yè)的外部需求分別為業(yè)和服務業(yè)的外部需求分別為5050，150150，100100億元，億元，問這三個部門的總產(chǎn)出分別應為多少。問這三個部門的總產(chǎn)出分別應為多少。3 3）如果三個部門的外部需求分別增加）如果三個部門的外

5、部需求分別增加1 1個個單位，它們的總產(chǎn)出應分別增加多少。單位，它們的總產(chǎn)出應分別增加多少。實例實例1 1 投入產(chǎn)出模型投入產(chǎn)出模型 實實 驗驗 5 實實 驗驗 51 1）基本模型）基本模型投 入 系 數(shù) 矩 陣nnijaA)(產(chǎn) 出 向 量Tnxxx),(1需 求 向 量Tnddd),(1 ), 2 , 1(1nixdxinjiij平衡關(guān)系xi: 第第i個部門的產(chǎn)出，個部門的產(chǎn)出，xij: 第第i個部門對第個部門對第 j個部個部門的投入，門的投入，di: 第第i個部門的外部需求個部門的外部需求jijijxxa/投入系數(shù) 產(chǎn)出產(chǎn)出 投入投入部門部門 1部門部門 i 部門部門 n外部需求外部需求

6、總產(chǎn)總產(chǎn)出出部門部門 1x11x1ix1nd1x1部門部門 ixi1xiixindixi部門部門 nxn1xnixxndnxn初始投入初始投入x01x0ix0n總投入總投入x1xixn), 2 , 1(1nixdxainjijijdAxxdxAI)(dAIx1)( 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5線性方程組的一般形式、兩類解法直接法直接法 經(jīng)過有限次算術(shù)運算求出精確解（實際上經(jīng)過有限次算術(shù)運算求出精確解（實際上由于有舍入誤差只能得到近似解）由于有舍入誤差只能得到近似解）- - 高斯高斯（GaussGauss）消元法及與它密切相關(guān)的矩陣）消元法及與它密切相關(guān)的矩陣LULU分解分解迭代法迭代法 從初

7、始解出發(fā)，根據(jù)設計好的步驟用逐次從初始解出發(fā)，根據(jù)設計好的步驟用逐次求出的近似解逼近精確解求出的近似解逼近精確解 - - 雅可比（雅可比（JacobiJacobi）迭代法和高斯迭代法和高斯塞德爾（塞德爾（GaussGaussSeidelSeidel）迭代法）迭代法 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 或 AX=b 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5直接法直接法-高斯消元法高斯消元法)2()2(2)2(2)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxaxa)()()

8、1(1)1(, 11)1(1, 1)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbxabxaxabxaxabxaxaxa消消元元過過程程回回代代過過程程), 2 , 1(0)(nkakkk條件條件 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5直直 接接 法法 - - 矩矩 陣陣 LU LU 分分 解解高斯消元法通過左乘M,使MA=UM單位下三角陣，U上三角陣記 L=M-1，L為單位下三角陣若若A可逆且順序主子式不為零，則可逆且順序主子式不為零，則A可分解為一個可分解為一個單位下三角陣單位下三角陣L和一個和一個上三角陣上三角陣U的積的積 A=LU。

9、這種分解是唯一的，稱這種分解是唯一的，稱 矩陣矩陣LU分解。分解。), 2 , 1(0)(nkakkk), 1( , 01111nkaaaaDAkkkk的順序主子式 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5迭代法迭代法 - - 一一 個個 例例 子子 4 . 13 . 01 . 05 . 03 . 02 . 04 . 11 . 03 . 0)(2)(1) 1(3)(3)(1) 1(2)(3)(2) 1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx0)0(3)0(2)0(1xxx, 2 , 1 , 0k9906. 0,9645. 0,9906. 0)4(3)4(2)4(1xxx 4 . 13 . 01 . 05

10、 . 03 . 02 . 04 . 11 . 03 . 0213312321xxxxxxxxx4 . 1, 5 . 0, 4 . 1)1(3)1(2)1(1xxx1321xxx精確解 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5迭代法迭代法 - - 雅可比（Jacobi）迭代將A分解為ULDA，其中),(2211nnaaadiagD ，000,0001 , 11121,2121nnnnnnaaaUaaaaL 設對角陣D非奇異（即), 1, 0niaii bDfULDB1111)(記)2 , 1 , 0(1)(1) 1(kfxBxkk迭代格式bAx bxULDx)(bDxULDx11)( 實實 驗驗 5 實實

11、 驗驗 5高斯-塞德爾(Gauss-Sedeil)迭代在D非奇異的假設下)(LD可逆，于是得到 bLDfULDB1212)(,)( )2 , 1 , 0(2)(2) 1(kfxBxkkJacobi迭代公式迭代公式bUxLxDxkkk)()() 1(bUxLxDxkkk)() 1() 1(Gauss-Seideil迭代公式迭代公式4 . 13 . 01 . 05 . 03 . 02 . 04 . 11 . 03 . 0)(2)(1) 1(3)(3)(1) 1(2)(3)(2) 1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx改進 4 . 13 . 01 . 05 . 03 . 02 . 04 . 11

12、 . 03 . 0) 1(2) 1(1) 1(3)(3) 1(1) 1(2)(3)(2) 1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5超定線性代數(shù)方程組的最小二乘解超定線性代數(shù)方程組的最小二乘解 實驗12.1汽車剎車距離汽車剎車距離建立了剎車距離d與車速v的關(guān)系： 221vkvkd方程個數(shù)超過了未知數(shù)個數(shù)，稱為超定方程組超定方程組 nivkvkdiii, 2 , 1,221數(shù)據(jù)擬合已知一組數(shù)據(jù)，即平面上 n個點(xi,yi), i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使f(x)在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。 數(shù)據(jù)擬合問題的提法(#)

13、 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5+xyy=f(x)(xi,yi)i使點使點( (xi,yi) 與曲線與曲線 y=f(x)的距離的距離 i i盡量盡量小小,i=1,n曲線擬合最小二乘準則iii使f(x )與y (i=1,2,n)之差的平方和(即圖中的平方和)最小 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5 先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), mm），且ATA可逆，輸出原方程的最小二乘解x 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5稀疏矩陣的處理稀疏矩陣的處理 MATLAB進行大規(guī)模計算的優(yōu)點進行大規(guī)模計算的優(yōu)點a=sparse(r,c,v,m,n) 在第在第r行、第行、第c列輸列輸入數(shù)值入數(shù)值v，

14、矩陣共，矩陣共m行行n列，輸出列，輸出a為稀疏矩陣，只為稀疏矩陣，只給出給出(r,c)及及v aa=full(a) 輸入輸入稀疏矩陣稀疏矩陣a，輸出，輸出aa為滿矩陣為滿矩陣（包含零元素）（包含零元素）a=sparse(2,2:3,8,2,4), aa=full(a),a =(2,2) 8 aa= 0 0 0 0 (2,3) 8 0 8 8 0輸出輸出 實實 驗驗 5 實實 驗驗 51 1）基本模型）基本模型投 入 系 數(shù) 矩 陣nnijaA)(產(chǎn) 出 向 量Tnxxx),(1需 求 向 量Tnddd),(1 ), 2 , 1(1nixdxinjiij平衡關(guān)系xi: 第第i個部門的產(chǎn)出，個部門

15、的產(chǎn)出，xij: 第第i個部門對第個部門對第 j個部個部門的投入，門的投入，di: 第第i個部門的外部需求個部門的外部需求jijijxxa/投入系數(shù) 產(chǎn)出產(chǎn)出 投入投入部門部門 1部門部門 i 部門部門 n外部需求外部需求總產(chǎn)總產(chǎn)出出部門部門 1x11x1ix1nd1x1部門部門 ixi1xiixindixi部門部門 nxn1xnixxndnxn初始投入初始投入x01x0ix0n總投入總投入x1xixn), 2 , 1(1nixdxainjijijdAxxdxAI)(dAIx1)( 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5dAIx1)(基本模型基本模型2 2）設農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務業(yè)的外部需求分別為）設農(nóng)

16、業(yè)、制造業(yè)和服務業(yè)的外部需求分別為 5050，150150，100100億元，求三個部門的總產(chǎn)出。億元，求三個部門的總產(chǎn)出。03 . 02 . 03 . 005. 03 . 02 . 01 . 015. 0ATd10015050 x=(139.2801,267.6056,208.1377)T 實實 驗驗 5 實實 驗驗 5若若 d=(1,0,0)d=(1,0,0)T T, , 即農(nóng)業(yè)外部需求增加即農(nóng)業(yè)外部需求增加1 1單位時，三部門單位時，三部門總產(chǎn)出應分別增加總產(chǎn)出應分別增加1.34591.3459，0.56340.5634，0.43820.4382單位。單位。即即C C的第的第1 1列列。 C C的第的第2 2，3 3列給出了什么？列給出了什么？C=1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.21673 3）若三部門的外部需求分別增加）若三部門的外部需求分別增加1 1個單位，個單位