人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上134課題學(xué)習(xí)-最短路徑問題教學(xué)設(shè)計(jì)

1、13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問題教學(xué)內(nèi)容解析：本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對(duì)稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短” “三角形兩邊之和大于第三邊”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移變換進(jìn)行研究。本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典故事 “將軍飲馬問題”為載體開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”的問題。教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：1、能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題2、在談最短路徑的過程中，體會(huì)“軸對(duì)稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱

2、將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”問題。難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。學(xué)生學(xué)情分析：1、八年級(jí)學(xué)生的觀察、操作、猜想能力較強(qiáng)，但演繹推理、歸納和運(yùn)用數(shù)學(xué)意識(shí)的思想比較薄弱，自主探究和合作學(xué)習(xí)能力也需要在課堂教學(xué)中進(jìn)一步引導(dǎo)。此年齡段的學(xué)生具有一定的探究精神和合作意識(shí)，能在一定的親身經(jīng)歷和體驗(yàn)中獲取一定的數(shù)學(xué)新知識(shí)，但在數(shù)學(xué)的說理上還不規(guī)范，集合演繹推理能力有待加強(qiáng)。2、學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“兩點(diǎn)之間，線段最短?！币约啊按咕€段最短”。以及剛剛學(xué)習(xí)的軸對(duì)稱和垂直平分線的性質(zhì)作為本節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)策略分析：最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為八年級(jí)學(xué)生，在此前很少涉及

3、最值問題，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問題，更會(huì)感到陌生，無從下手。解答“當(dāng)點(diǎn)A B在直線l的同側(cè)時(shí)，如何在l上找到點(diǎn)C,使AC與BC的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線 l 異側(cè)的兩點(diǎn)，與直線l 上的點(diǎn)的線段的和最小”的問題，為什么需要這樣 轉(zhuǎn)化，怎樣通過軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存在理解上和操作上的困難。在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)（與所求做的點(diǎn)不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學(xué)生想不到。教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，與直線l上的點(diǎn)的和最小”為學(xué) 生搭建橋梁，在證明最短時(shí)，教師要適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，讓學(xué)生

4、體會(huì)任意的作用。教學(xué)條件分析：在初次解決問題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了多種方法， 通過測(cè)量，發(fā)現(xiàn)利用軸對(duì)稱將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為 異側(cè)兩點(diǎn)求得的線段和比較短；進(jìn)而利用幾何畫板通過動(dòng)畫演示，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論的一般性； 最后通過邏輯推理證明。教具準(zhǔn)備：直尺、幾何畫板，ppt教學(xué)過程：環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一復(fù) 習(xí) 引 入1 .【問題：看到圖片，回憶如 何用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這個(gè) 問題？2 .這樣的問題，我們稱為“最 短路徑”問題。1、兩點(diǎn)之間，線段最短。2、兩邊之和大于第三邊。從學(xué)生已經(jīng)學(xué) 過的知識(shí)入 手，為進(jìn)一步 豐富、完善知 識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪 墊。二探究新知1.探究一：【故事引入】：唐朝詩人李順在 古從軍行中寫道

5、：“白日登 山望峰火，黃昏飲馬傍交河.” 詩中就隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué) 問題，古時(shí)候宿位將軍，每天 從軍營(yíng)回家，都要經(jīng)過一條筆 直的小河。而將軍的馬每天要 到河邊喝水，那么問題來了， 問題：怎樣走才能使總路程最 短呢？認(rèn)真讀題，仔細(xì)思考。從異側(cè)問題入 手，由簡(jiǎn)到難， 逐步深入。日將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)” “河”抽象為數(shù)學(xué)中的 “點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問題抽象線段和最小問題。2.探究二：【變換情境】：后來將軍把家搬 到了河的對(duì)面，若還是要帶馬 先到河邊喝水，然后再回家， 應(yīng)該怎樣走，才能使總路程最 短呢？(1)【轉(zhuǎn)化】：你能將實(shí)際問題 抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？【回答】：學(xué)生思考并回 答，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化 為

6、數(shù)學(xué)問題。已知：直線L和同側(cè)兩點(diǎn)A B求作：直線L上一點(diǎn)C, 使C滿足AC+BC的值最 小。(2)【展示】：讓學(xué)生猜想，并畫出圖形。巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的作法(盡 可能多)，分別展示各小組的作給予學(xué)生一定的提示?！緦W(xué)生展示】：作法1:作法2:學(xué)生主動(dòng)探 索，充分發(fā)揮 學(xué)生的主動(dòng) 性。展示多種方 法，產(chǎn)生思維 沖突，引發(fā)學(xué) 生進(jìn)一步探究 的學(xué)習(xí)欲望。作法3:【學(xué)生反思】：第1種作 法是利用“垂線段最短”， 得到AC最短，禾I用“兩 點(diǎn)之間線段最短”，得到 BC最短，但不能確定 AC+BC!最短的。(3)【度量】：如何才能判斷哪 種猜想是正確的呢？(測(cè)量一 下)在幾何圓板中分別度量出 AC,BC的長(zhǎng)度

7、，并計(jì)算 AC+BC 讓學(xué)生觀察數(shù)值如何變化。并 反思各自的作法是否正確。第2種作法只能說明在河 l上取一點(diǎn)，至I A B兩地 的距離相等，也就是 AC =BC不能說明AC+BCft 短第3種作法應(yīng)該是止確 的。3.解決問題【追問】用第3種作法的同學(xué)， 你們是怎樣想到作點(diǎn)B關(guān)于直 線L的對(duì)稱點(diǎn)的？為什么要作 對(duì)稱點(diǎn)？如果做點(diǎn)B關(guān)于直線L的 對(duì)稱點(diǎn)，就是把點(diǎn)B移到 了另一側(cè)，而且滿足了 BC =BC。其實(shí)直線L上所 有點(diǎn)到B和B'的距離都 相等。讓學(xué)生進(jìn)一步 體會(huì)做法的正 確性，提高邏 輯思維能力。也可是根據(jù)垂直平分線 的性質(zhì)，L就是線段BB 的垂直平分線，而垂直平二探究新知分線上的點(diǎn)到

8、線段兩個(gè) 端點(diǎn)的距離相等。利用軸對(duì)稱將同側(cè)線段 和最短轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段 和最短問題。借助軸對(duì) 稱，把折線轉(zhuǎn)化為線段的 長(zhǎng)來求解。讓學(xué)生在反思 的過程中，體 會(huì)軸對(duì)稱的作 用，感悟轉(zhuǎn)化 思想，豐富數(shù) 學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。(4)【推理論證】：如何證明AC+BGft 短呢？認(rèn)真觀察，思考，要想確 認(rèn)AC+BCft短，可以在直 線l上任取一點(diǎn)C'(不與 點(diǎn)C重合)【提示】：沒有比較就不會(huì)產(chǎn)生 大小。通常我們要在直線上任 另取一點(diǎn)。(與點(diǎn)C不重合)， 只要證明 AC +BCAC+BdP 可。(3)【幾何圓板】卜同我們可 以借助數(shù)學(xué)工具一幾何圓板來 進(jìn)一步驗(yàn)證一般性。老師動(dòng)手操作，驗(yàn)證結(jié)論的 止確性。1.獨(dú)

9、立糾錯(cuò)2.兵教兵讓學(xué)生進(jìn)一步 體會(huì)作法的正 確性，提高邏 輯思維能力。通過動(dòng)畫演 示，從特殊到 一般地驗(yàn)證了 前圜的結(jié)論。1.【問題】：如圖，一個(gè)旅游船五 范例作一嚨眈思維H餛出：®論練 習(xí)從大晚4即勺PMXWWTW方朝邛蟀3P崛砌嬲伽過程除了作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱 點(diǎn)以外，還有沒有別的作法？ 1"""【題目】：如圖，直線l是一條河，P、Q為河同側(cè)的 兩地，欲在l上某處修建一 門融女OWrf"Q飲馬岫酬水，四種方案中鋪設(shè)管道最短的是（）2 【題目】：如圖，在直角三 角形ABC中，角A= 30度， 角C為直角，且BC=1, MN 為AC的垂直平分

10、線，設(shè) P 為直線MNi任一點(diǎn)，PB+PC 的最小值為一3 .如圖，正方形ABCD4長(zhǎng)為還可以作點(diǎn)A關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)。0問題。然后作其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn), 連接對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)與在具體問題中 實(shí)踐已有模 型，固化已有 模型。為進(jìn)一 步豐富、完善 知識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪塾散思維，培 養(yǎng)學(xué)生一題多 解的能力。讓學(xué)生反思剛題的基本策略和基本方法。8, M 在 BC 上，BMh2, N 為AC上的f 點(diǎn)，貝U BN+MN 的最小值為J七課堂小結(jié)1 .【問題】：本節(jié)課研究問題的 基本過程是什么？當(dāng)我們遇到一個(gè)實(shí)際問題，首 先，我們要將實(shí)際問題變成一 個(gè)數(shù)學(xué)問題（群答），也就是抽 象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，這樣可以 幫助我們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察，進(jìn)而 運(yùn)用合情推理得到一個(gè)猜想， 然后我們可以通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?證明，驗(yàn)證猜想，從而得出結(jié) 論，最后再將結(jié)論運(yùn)用到實(shí)際 問題里。2 .【問題】：軸對(duì)稱在所研究問 題中起什么作用？利用軸對(duì)稱主要是進(jìn)行問題的 轉(zhuǎn)化，它其實(shí)是起到了一個(gè)橋 梁的作用，同時(shí)也體現(xiàn)了我們 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的轉(zhuǎn)化思想。我們要先將實(shí)際問題變 成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，然后觀 察實(shí)驗(yàn)，提出猜想，之后 通過證明，驗(yàn)證猜想，從 而得出結(jié)論，最后再將結(jié) 論運(yùn)用到實(shí)際問題里。轉(zhuǎn)化作用培養(yǎng)學(xué)生總結(jié) 在課題學(xué)習(xí)的 基本思路。子，達(dá)到復(fù)習(xí)本節(jié)課知識(shí)方法，又為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)： 題目1、（課后 練