線性代數(shù)復習提綱

1、線性代數(shù)復習提綱第一章行列式本章重點是行列式的計算，對于 n階行列式的定 義只需了解其大概的意思。要注重學會利用行列式的 各條性質及按行列展開等根本方法來簡化行列式 的計算，對于計算行列式的技巧毋需作過多的探索。1、行列式的性質1行列式與它的轉置行列式相等，即 D = Dt。2互換行列式的兩行列，行列式變號。3行列式中如有兩行列相同或成比例，那么此 行列式為零。4行列式的某一行列中所有元素都乘以同一 數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式；換句話說，假設行列式 的某一行列的各元素有公因子 k，那么k可提到行 列式記號之外。5把行列式某一行列的各元素乘以同一數(shù) k， 然后加到另一行列上，行列式的值不變。6假

2、設行列式的某一行列的各元素均為兩項之 和，那么此行列式等于兩個行列式之和2、行列式的按行按列展開1代數(shù)余子式：把n階行列式中i, j元a.j所在的 第i行和第j列劃掉后所剩的n -1階行列式稱為i, j_i + j元3ij的余子式，記作Mij ;記Aj二-1 Mij，那么稱Aj為i, j元aij的代數(shù)余子式。2按行列展開定理：n階行列式等于它的任意一行列的各元素與 對應于它們的代數(shù)余子式的乘積之和 ，即可按第i行 展開：D = aiiAi ai2A2 aAn, 1 = 1,2,.,n 也可按第j列展開：D " a1 j A1 ja2anjAnj, j = 1,2,., n3行列式中任

3、意一行列的各元素與另一行的 對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2ain Ajn = 0, i = j；或 a1i A1 j a 2i A2 jani A , i = jD3、克拉默法那么：X廠一L, i = 1,2,., n，其中Dj是D把D中第i列元素用方程右端項替代后所得到的行列式。4、常用的行列式上下三角形行列式等于其主對角線上的元素的乘積；特別，主對角行列式等于其對角線上各 元素的乘積。學會利用行列式各性質將行列式化為三 角形，以方便計算。第二章矩陣及其運算了解矩陣的加法、數(shù)乘、矩陣與矩陣相乘、矩陣 的轉置和方陣的行列式等概念。本章重點是要熟練

4、掌 握矩陣的線性運算加法與數(shù)乘、矩陣與矩陣的乘 法、矩陣的轉置、方陣的行列式及其運算規(guī)律；掌握 可逆矩陣的概念以及矩陣可逆的充要條件；理解伴隨 矩陣的概念，會用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。1、矩陣的運算1矩陣加法滿足A, B, C MmnaABBAbA B C = A B C2數(shù)乘矩陣滿足 / R, A, B MmnaA AbA 二 A AcA B = A B3矩陣與矩陣相乘滿足前面矩陣的列數(shù)=后面矩 陣的行數(shù)(a) AB C = A BC(b) ABC 二 AB AC(c) A注意:(a) 一般情況下，AB= BA ； AB= BA，那么稱 A, 是可交換的。(b) 即便AB二0, A, B可以都

5、不是零矩陣。(4) 矩陣的轉置滿足T T(a) At 二 A(b)/、TT(c) M A)二 > At(d)T(AB)tat(e) AT A 二 0 = AAT 二 0 = A 二 0(5)方陣的冪Ak( k為正整數(shù)，A Mn)(a) AkA Ak 1; AkAkl( k, l 均為正整數(shù))(b)假設方陣A, B是不可交換的，那么kk;AB Ak(6)方陣的行列式(A, B均為方陣)滿足(a) At = |a。(b)九A=扎nA(c)AB=AB2、逆矩陣(1 )定義：設A Mn，假設有B Mn，使得AB二BA二E (單位陣)，那么稱矩陣A是可逆的，B是 A的逆陣，記作B(2) 方陣A可逆

6、二-1。工0=有B ,使AB二E二有B，使 BA = E。(a)假設A可逆，那么a _1也可逆，且a '"二a(b)假設A可逆，那么At也可逆，T -1_1 T且at二 a(c)假設A可逆，k- 0 ,那么kA也可逆，且-1 1 _1kA A 1 k均可逆，那么(d)假設 A,I1ABA,也可逆，且(3)逆陣的性質A的伴隨陣A *定義為(4)伴隨矩陣：設A MT，(其中Aij是A中仃,j)元的代數(shù)余子式 伴隨陣的性質：* *(a) AA - A A= A E假設葉0，那么A A A山1(c) 假設 IA卜 0，貝輕 A*)=( A*n -1(d) A - AT * T(e)

7、At二 A3、克拉默法那么的矩陣表示假設|A卜0 ,那么方程組Ax= b有唯一解x = A，b = A* b。 |a|第三章矩陣的初等變換與線性方程組 本章重點是要熟練掌握用初等行變換把矩陣化 成行階梯形和行最簡形的方法，并熟練掌握用矩陣初 等行變換求解線性方程組的方法。理解矩陣的秩的概 念，并掌握用矩陣初等變換求矩陣的秩的方法。理解非齊次線性方程組無解、有唯一解或無窮多解 的充要條件和齊次線性方程組有非零解的充要條件。1、定義初等行變換：r rj; ri k; ri krj ；初等列變換： &Cj; ci k; ci kCj ；初等變換：A B，即A與B等價，秩相等。2、矩陣的秩1矩

8、陣A的最高階非零子式的階數(shù)r，稱為矩陣A 的秩，記作R A二r。2 R A = r= A的最簡形含r個非零行二A的 標準形F =°。J °。丿 mn3矩陣的秩的性質：a° 乞 R Am n - min，m,n 。b R ATR A。cA B= R A = R B。d假設 p,q 可逆，那么 R PAQ 二 R A。3、線性方程組理論1n元非齊次線性方程組 Ax=b有解的充要條件 是 R A = R A, b，當 R A = R A, b n 時有唯 一解；當R A二R A, b n時有無窮多解；無解的 充要條件是R A R A, b。2n元齊次線性方程組 Ax=

9、0有非零解的充要條 件是R A n ;只有零解的充要條件是R A二n。(3 )矩陣方程AX二B有解的充要條件是 R A = R A, B。第四章向量組的線性相關性在本章學習中，要特別注意方程語言、矩陣語言、 幾何語言三者之間的轉換 ，突出的典型問題是對p, b2 , 3)-( ai , a2 ,., am)K myl， (I B = AK)所作的 解釋：矩陣語言：B是A與K的乘積矩陣；方程語言：K是矩陣方程AX = B的一個解；幾何語言：向量組B能由向量組A線性表示，K是 這一表示的系數(shù)矩陣。理解向量組線性組合以及一個向量(或向量組) 能由一個向量組線性表示的概念，特別地，要熟悉這 些概念和線

10、性方程組的聯(lián)系。理解向量組線性相關和 線性無關的概念，并熟悉它們與齊次線性方程組的聯(lián) 系。理解向量組的最大無關組和向量組的秩的概念， 會用矩陣的初等變換求向量組的最大無關組和秩。本章的另一個重點是理解齊次線性方程組的基 礎解系的概念，并能熟練地求出根底解系，理解齊次 與非齊次線性方程組通解的構造。1、n維向量、向量組n個有次序的數(shù)印耳, 耳構成的有序數(shù)組稱為n維向量，記作a1I Ia 2ta=, a = ai, a 2,., a“I Iana與aT分別稱為列向量和行向量，也就是列矩陣和行 矩陣。假設干個同維數(shù)的列行向量所組成的集合叫做向 量組。含有有限個向量的向量組可以構成一個矩陣。2、線性組

11、合與線性表示1向量b能由向量組A:a1,a2,am線性表示= 方程組 x1a1 x2a2 . xmam = b Ax = b 有解=R ai,a2，., am = R aa2，.,am, b定理 12向量組 B: b,b2,.,b能由向量組 A: a1,a2,.,am線性表示二矩陣方程aa2,., amX =»鳥,.，匕AX = B有解二 R A = R A, B 定理 23向量組A與向量組B等價能相互線性表示二 RA RBRA, B4假設向量組B能由向量組A線性表示，那么 R B R A。定理 33、線性相關與線性無關向量組A:a1,a2,.,am線性相關二齊次線性方程組xQi x

12、2a2. Xmam = 0 Ax = 0 有非零解二 R ai,a2,.,am : m 定理 4向量組®,a2,.,am m 2線性相關的充要條件是存 在某個向量aj V p m，它能由其它 m 1個向量 線性表示。4、向量組線性相關性的重要結論1向量組ai, a2,., as線性相關，那么向量組 ai,a2,.,as,as i,.,am也線性相關。定理 5-12m個n維向量組成的向量組，當mn，即個數(shù)大 于維數(shù)時一定線性相關。定理5-23設向量組 A:ai,a2,.,am線性無關，而向量組 ai,a2,.,am,b線性相關，那么向量b必能由向量組A線 性表示，且表示式是唯一的。定理

13、5-35、向量組的最大無關組與向量組的秩(1 )定義：如果在向量組中能選出r個向量 a-i, a2,., ar，滿足(a) 向量組Ao: a1,a?,線性無關；(b) 向量組A中任意r + 1個向量都線性相關，那么 稱向量組Ao是向量組A的一個最大無關組；最大無 關組所含向量個數(shù)r稱為向量組A的秩，記作RA。 只含零向量的向量組沒有最大無關組，規(guī)定它的秩 為0。(c) 上述條件(b)可改為：向量組a中任一向量都 能由向量組Ao線性表示。(2)只含有限個向量的向量組 A: a1,a2,am構成矩 陣A=(a“a2,am)，矩陣a的秩等于向量組a的秩， 即 R A = R a1,a2,.,am =

14、 RA。(定理 6)6、齊次線性方程組Ax = 0的根底解系與通解設n元齊次線性方程組Amn 0的解集為S，那么 RS = n - r ;解集S的一個最大無關組稱為齊次線性 方程組的根底解系，其中含RS = n - r個解向量。設1, 2,., n_r為齊次線性方程組的根底解系，那么其通 解為C2 2 .-c/r q,C2,.Cn, R7、非齊次線性方程組Ax = b的通解設非齊次線性方程組Ax二b的一個解為，對應的齊次線性方程組Ax二0的根底解系為那么非齊次方程組的通解為x = c1 1c2 2nr8向量空間(1)設V是n維向量的集合，如果V非空，且對向量的線性運算圭寸閉，那么V就稱為向量空

15、間向量空間V的最大無關組稱為V的基，向量空間V的 秩R,稱為V的維，假設Rv =r，那么稱V為r維向量空間設r維向量空間的一個基為U，,jr，那么任一向量"V ,總有唯一的一組有序數(shù)m.j r ,使V二1 j 2 j2 . rjr，有序數(shù)組l，'2,'r就稱為向量V在基jr下的坐標(2)給定n維向量組A: ai,a?,.,為，集合L ai, a2 ,., am是一個向量空間，稱為由向量組A所生成的向量空間 向量組A與向量組B等價，那么由它們所生成的向量空間相等第五章相似矩陣及二次型本章的重點特征值與特征向量的計算與矩陣的對 角化，特別是對稱矩陣的對角化。而求得正交矩陣

16、P，使PAP =PTAP =上=diag，匕,、，既是相似，又是合同。 學好本章的關鍵是掌握對稱矩陣正交相似對角化的 原理和步驟，其它概念如向量的內(nèi)積、正交、施密特 正交化方法、正交矩陣、特征值和特征向量等都圍繞 正交相似對角化這一中心議題。要熟練地掌握特征值 和特征向量的求法以及它們和正交矩陣的關系。1、 向量的內(nèi)積、長度及正交性(1)設有n維向量x =X2,y=y2一Xn 一1 1一y： 一那么lx, y丄 xi yi + X2 y2 +. + Xnyn =x Ty被稱為向量x與y的內(nèi)積。(2)非負實數(shù)|x| = Jx,x= Jxi + x2十+ x：被稱為向量x的長度(或范數(shù))。當II

17、x =1時，稱x為單位向量。X = 0二| x =o。(3) 當X, y】=xTy二0時，稱向量x與y正交。零向量與任何向量都正交 2、正交向量組：一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組。正交 向量組一定線性無關。給定一個線性無關的向量組A，尋求一個與A等價 的正交向量組，稱為把向量組 A正交化。施密特正交化過程：設向量組A : ai,a?,ar線性無關， 令b = ai ；.b,a2 .“KTi ；.b,ar 】b tb2,ar ,har 】.=ar _ h,b 1虬a1 a -. - h詁I r那么向量組bb,d兩兩正交，且與A組等價。設n維向量ei,e2,.,er是向量空間V V Rn 的

18、一個 基，如果ei,e2,er兩兩正交，且都是單位向量，那么稱 忌,er為V的一個標準正交基。3、正交矩陣如果n階矩陣A滿足ATA = E，那么稱A為正交矩陣，簡 稱正交陣。1ATA 二 E = AAT 二 E ；2A 可逆，且 A At ；3A的行列向量組兩兩正交，且都是單位向量4、特征值與特征向量系式Axx，那么稱 為方陣A的特征值, 為A的對應于特征值的特征向量。(2)'的n次多項式f，=A Ea11 -a21ai2a22 -aina2nan1a“2ann -(1)設A是n階矩陣，假設有數(shù).和n維非零向量x使關 非零向量X稱A- E"稱為矩陣A的特稱為n階矩陣A的特征多

19、項式，征方程，特征方程的根就是A的特征值。在復數(shù)范圍 內(nèi)恒有解，n階矩陣A有n個特征值(重根按重數(shù)計算)設方陣A的特征值為I,n，那么有1)1 匕n =印1 ' 322 - . ann ；2) ,一1 ,一2 .-n = A.3) 假設，是方陣A的特征值，那么"是Ak的特征值；'是矩陣多項式 A的特征值(其中 =aQ a1 . am m ； A =aQ 訥 A . amAm)o(3) 設入是方陣a的一個特征值，那么齊次方程|A7E|= 0的全部非零解就是方陣 A對應于特征值的全部特征 向量，而該齊次方程的根底解系就是對應于特征值的全體特征向量的最大無關組。(4) 設&

20、#39;1，'2，.是方陣A的r個特征值，對應的特征向 量依次為Pl, P2,., Pr，如果九丿2，.，人各不相等，那么P，P2,., Pr線性無關 5、相似矩陣1 對于n階矩陣A和B ,假設有可逆矩陣P，使得PAP=B ,那么稱A與B相似，把A化成B的運算，稱為對A 進行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換假設矩陣A與B相似，那么A與B的特征多項式相同， 從而有相同的特征值。2假設矩陣A與對角陣相似此時，稱矩陣A能相似 對角化，即假設有可逆矩陣P，使得PAP=A=diag屁為，入,1，1,鼻，是A的n個特征值；2P的第i個列向量p是A的對應于i的特征向量;3矩陣A能相似對角

21、化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。6、對稱矩陣的對角化1對稱矩陣的性質1對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；2對應不同特征值的特征向量正交；3給定對稱陣a，存在正交陣p ，使1TP AP = P AP = diag /1, 2,., n i o(2)對稱陣A對角化的步驟1) 求出A的全部互不相等的特征值、，,s，它們的重數(shù) 依次為K -. kn o2) 對每個ki重特征值i，求方程AE x = 0的根底解系， 得k個線性無關的特征向量。再把它們標準正交化， 得K個兩兩正交的單位特征向量。因ki . ks=n，故 總共得到n個兩兩正交的單位特征向量。3) 把這n個兩兩正交的單位特征向量構成正交陣P ,便有 P 亠AP =PTAP f ； o 7、二次型化標準形(1)二次齊次函數(shù)2 2 2f (Xi,X2,Xn)二aiiXia22X2.annXn2ai2XiX22ai3XiX32an*Xn/Xn稱為二次型。令 aji 二aj , A Fij , xhXi,x?,Xn，把二次型記作 f =xTAx , 對稱矩陣A稱為二次型f的矩陣,并規(guī)定二次型f的 秩為矩陣A的秩。(2)二次型研究的主要問題