線性考研問答

1、線性代數(shù)07考研問答海天學校何堅勇教授 問：線性代數(shù)占數(shù)學成績的25%，有38分之多，但很多同學 覺得線性代數(shù)不如微積分好學，常常感到“書能看懂，課能聽 懂，就是不會作題。這是為什么？答：因為微積分、線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學的三門獨立學科，其特點各自不同，要針對不同學科的不同特點來進 行學習，只有了解了各自學科的特點，才能談得上進一步掌握 它，知彼嘛。問：線性代數(shù)課程有哪些特點？答：通俗地說主要有四個特點：1、概念多、聯(lián)系緊密、相互滲透，且這種聯(lián)系比擬隱蔽， 這是線代最主要的一個特點。概念之間的聯(lián)系往往是我們解題 的思路、方向。如果你對這種聯(lián)系了解甚少，甚至根本不知， 那么解題就失去了

2、方向，就會感覺無從下手。而線性代數(shù)概念之間緊密且隱蔽的聯(lián)系， 在書本上是分散在各 章中，沒有現(xiàn)成的。要我們同學在學習過程中，通過不斷歸納、 總結(jié)而提取獲得的。如：n階矩陣A可逆二充分必要條件 AF= A為滿秩矩 陣r A= nu作方程組AX = 0只有零解u a可通過一系 列初等行變換化成單位矩陣唁二A可分解為一系列初等矩陣 的乘積=A可分解為一系列可逆矩陣的乘積二A的行向量組 線性無關(guān)二A的列向量組線性無關(guān)二A的行列向量組是 n維向量空間Rn中的一組基=任一個n維向量a均可由A 的列行向量組線性表出=對任意的b,方程組AX = b必 有唯一解，且X = A-1b= A沒有零特征值。= A A

3、為正定 矩陣。上述十幾個概念是等價的充分必要的，給了一個就可推出 其余的。在教科書中是分散在六章中介紹的。而學過線性代數(shù) 后就要把它總結(jié)歸納且掌握住。在一個證明題，甚至計算題中， 往往根據(jù)條件提供的概念及所要證明或計算的結(jié)論，找出等價的概念逐步進行演算。例：n階矩陣A，求證存在一個非零的n階矩陣B，使 AB = 0的充分必要條件是|A二0。這個題的題干條件是矩陣運 算。要證結(jié)論是行列式，而要用到的等價概念是線性齊次方程 組AX = 0有非零解u A = 0。2、線代第二個特點是符號多，下標多，有時下標中帶下標。如：二,二二，二，|A, AT, A'1, A*rA,:,，匕i，T， &q

4、uot;, ： J AtA,:_ ： , f A二 I - A，XtAX, A A 二 ln, 每一個符號實際上都表達了一個概念，都必須掌握并明白無誤。關(guān)于下標的概念是一部份同學尤其是原來學文、財會、醫(yī)等同學感到困難的地方，下標是用來區(qū)分不同元素的一個符號標記，如行列式中，a31,與a24，前者表示排在第三行第一列的元 素，后者表示處在第2行第4列的元素，再進一步抽象化：ai3j5 表示處在第i3行第j5列位置的元素。有時下標取值范圍的不同表達形式，可用來反映不同的內(nèi)容，n如：IajXj 二 bii 二 1,2, ,mjwn及 d:' aij x bi 1 乞 i - mjwI與n的主

5、要部份都是相同的：都是第i方程的刀記號簡寫 形式。但后面括弧中下標i的取值范圍不同，I所反映的是 一個mx n型的線性方程組，而n描述的是這方程組中i從1 -m中某一個方程。因此想學好線性代數(shù)“符號及下標是 必須要過的一關(guān)。第三個特點：線性代數(shù)中有些運算性質(zhì)與初等代數(shù)的運算性質(zhì) 不同，甚至相悖。這是部份同學常常犯錯誤的地方。如在初等代數(shù)中：乘法交換律： a b a ；零因子定律: 假設a 0那么或a = 0或b = 0 ；消去律：假設ab二ac且 a = 0那么b= c等，是我們非常熟悉的運算性質(zhì)。但在矩陣的乘法運算中就不成立： (1)交換律不成立，一般講 A B = B A零因子定律不成立：

6、假設0弓 或A = 0,或B = 0消去律不成立：假設 A B-AC且A工0 T B = C 在線性代數(shù)中，對運算的要求很簡單，只是+, ,x,+.3xx2 - 4x3 = 1,甚至連開方都很少用到，但計算工作量大，“馬虎式的錯誤 不少。如有一次考研解題過程中，有A8,好幾個同學得到寫成矩陣形式為：(3, 2, 4, 1)等等。使往下計算工作都白A=8以下計算就全錯。也有不少同學將:做。因此學習線性代數(shù)要牢記特有的與初等代數(shù)有別的運算性質(zhì)。對于經(jīng)常犯“馬虎毛病的同學一定要培養(yǎng)自己計算正確 的運算習慣，別無它法，否那么很是吃虧。在歷屆考題中，計算往往要占到總量的70%以上，而計算錯誤多也是線性代

7、數(shù)考研題得分率不高的原因之一。第四個特點：相對微積分講，線性代數(shù)中局部內(nèi)容對抽象思維 能力與邏輯推理能力要求比擬高。如向量組的線性無關(guān)概念， 矩陣秩的概念，向量空間的概念等，相對講比擬抽象。要通過 不斷反復體會、琢磨 不僅從正面，還要從各個側(cè)面，甚至從 反面去思考、分析才能逐步加深理解，掌握實質(zhì)。如：“矩陣 A 有一個 r 階子式不為 0，而所有的 r+1 階子式全 為 0，那么稱 A 的秩為 r 。我們可以思考： A 有沒有為 0 的 r 階 子式？有沒有不為0的r+ 2階子式？有沒有為0的r 1階子 式？有沒有不為 0 的 r1 階子式？所有的 r1 階子式全為 0 行不行？全不為 0 行

8、不行？ (r 2)階又怎么樣？又如“矩陣 A 的秩大于r又會得到什么樣的結(jié)論？等等都是可進一步思考 的側(cè)面。像這些較抽象不易理解的概念要用較長時間反復體會、 琢磨才 能做到真正掌握。只有了解了線代課程的特點， 對自己薄弱環(huán)節(jié)有針對性地進行 復習，才能取得事半功倍的效果。問：有人說，線性代數(shù)只要大量作題就行，請問作題與復習概 念之間應該是一種什么樣的關(guān)系？ 答：只是大量作題，不能學好線性代數(shù)更不能考出好成績。根 據(jù)研究生考試大綱，線性代數(shù)考題是 5個，其中 3個基此題(共12分，命題要求是考查根本概念的靈活運用，根本理論的熟 練掌握，另外兩個為解答題數(shù)學一、二為 18分，數(shù)學三、 四為26分在考

9、查根本概念，根本理論的根底上，還要求有 一定的計算能力，綜合運用知識的能力，抽象概括思維、總結(jié) 的能力，邏輯推理能力等?？梢姴还苁腔祟}還是有一定難度 的題，準確理解根本概念，熟練掌握根本理論是考出好成績的 根底。我建議，按章復習，把每章的根本概念定義根本理論定 理，性質(zhì)等及根本計算方法先仔細復習一遍，然后合上書本, 把主要概念、定理、計算方法梳理一遍，默述一遍。在充分理 解根本概念，掌握根本理論與計算方法根底上，適當?shù)木淖?題：數(shù)量上適當一一每種類型只做一、二個就可以，質(zhì)量上精 心一一作題要多思考，多分析，多總結(jié)，多歸納。怎樣做到多分析、多思考、多歸納、多總結(jié)呢？我們在線代考研輔導中給學員

10、們作了許多示范，這里僅舉一例：三維非零列向量 。=a1,a2,a3T又A"心試求A_aj_ a；1 |aa2aia3 1解：y小=2 ai,a2,a3】=疑印2a2a2a3a3a22a3氏二一 :T T = ： (: T ) T = ( T :. ) T =丘 T _ kA3其中k = ： T *八a2為一個常數(shù)i =13TTTTTT2A 二=()()-kA A“二kn_1A。通過這題，我們可以作出如下分析與歸納1、從此題結(jié)果可歸納出：當一個矩陣 A等于列向量與該列 向量轉(zhuǎn)置乘積時(=a aT時)，那么有：A的n次方與A成比 例An = kn_1 A，其比例系數(shù)為kn',(kT匚)。2、進一步思考，假設A可寫成一個列向量:與一個行向量1的乘積時，是否也有這樣的性質(zhì)？令A = T ,A2 二T I，T 二：.(：T 二)：T 二 k (沱 I：, T )二 kA 其中 k 二 2T；.： ：T2 二 aibi 那