角動量及其守恒

1、第七講角動量及其守恒1力矩表述由點(diǎn)到力的作用點(diǎn)的矢徑注釋：r與力F的矢量積稱為力F對點(diǎn)0的力矩，即力矩是描述物體間相互作用的物理量.力矩不僅與力的大小有關(guān)，而且與力的方向及作用點(diǎn)的 相對位置有 關(guān)，相同的力，假設(shè)作用點(diǎn)不同，產(chǎn)生的 力矩也不同，所以，提 到力矩時(shí)，必須指明是相對哪個(gè)點(diǎn)而言的.力矩是矢量，其大小為 M = Frsin =Fd，式中,為r與力f方向間小于180 °的夾角，d到點(diǎn)o力矢量的延長線 的距離，稱作力臂，顯然，假設(shè)力的作用線通過參考 點(diǎn)，力臂為零，那么力矩為零.力矩的方向由右手旋法那么確定，即將右手的四個(gè)手指由矢量r沿小于180 °轉(zhuǎn)至力F的方向，此時(shí)伸

2、出的指向，即是力矩的方向，如圖所示，力矩M垂直于r和F構(gòu)成的平面。2、沖量矩和角動量動量矩沖量矩力對某定點(diǎn)的力矩 M與力矩作用的微小時(shí)間間隔時(shí)間dt內(nèi)的沖量矩，而在t 至U t?的一段時(shí)間內(nèi)的沖量矩是質(zhì)點(diǎn)對某點(diǎn)的位矢r與質(zhì)點(diǎn)在角動應(yīng)位置的動量L =r pdt的乘積，稱為力矩M在2 Mdt .1mv的矢量積，稱作質(zhì)點(diǎn)對該定點(diǎn)的動量矩，即注釋是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的函數(shù)沖量矩是矢量，反映的是力用，是一個(gè)和過程有關(guān)的量.角動量是矢量，其大小為于180 0的夾角，其方向垂直于由 如下圖。角動量是描述質(zhì)點(diǎn)繞定點(diǎn)的運(yùn)動, 應(yīng)指出是相對哪個(gè)定點(diǎn)而言的. 動量和角動量概念的比照.對繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的時(shí)間積累作= rmvsi

3、,式中二為r和mv方向間小r和mv構(gòu)成的 平面，由右手法那么確定，是狀態(tài)量.提到動量矩，動量和角動量都是矢量，又都但二者 又有區(qū)別：從定義看，前者只是速度的函數(shù)，而后者除了與運(yùn)動速度有關(guān)以外， 還與質(zhì)點(diǎn)對給定點(diǎn)的矢徑有關(guān)以勻速圓周運(yùn)動為例，運(yùn)動過程中動量 不守恒, 圖而對圓心的角動量卻是守恒的3、角動量定理表述質(zhì)點(diǎn)所受合外力對某定點(diǎn)的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)對該定點(diǎn)的角動量的增量，即t2I tMdt= LA -L 2對于質(zhì)點(diǎn)系，角動量定理表述為系統(tǒng)所受外力合沖量矩等于系統(tǒng)總動量矩的增量，即M i 外 dt = ' L i 二. L io注釋此定理只適用于慣性系.系統(tǒng)的動量矩的改變僅取決于外力的沖

4、量矩，與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)各外力的作用點(diǎn)一般不在同一點(diǎn)上，在求合外力矩時(shí)應(yīng)先求出每一個(gè)外力的力矩，再求各力矩的矢量和.例女口，兩個(gè)質(zhì)量相同的小球用 一質(zhì)量可以忽略的輕桿相 連，繞中心點(diǎn)0在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，如下圖， 當(dāng)分別作用 于兩球上大小相等，方向相反的外力時(shí)，對于兩球系統(tǒng)有7斤外二0，而對中心點(diǎn)o的7 M j 外=0.II定理中每個(gè)外力的力矩和每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動量都應(yīng)是相對同一定點(diǎn)而言的對于微小的時(shí)間過程，動量矩定理可以寫成微分形式，即dLdt式中，M合嶺F外為各外力對某定點(diǎn)的力矩的矢量和，稱為合外力矩，iL = " r m iVi為系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對該定點(diǎn)的角動量的矢量和，稱為系統(tǒng)對該定點(diǎn)的總角i

5、動量，微分形式的角動量定理可表述為：系統(tǒng)所受的合外力矩等于系統(tǒng)總角動量的變化率4、角動量守恒定律表述 假設(shè)對某定點(diǎn)合外力矩為零，那么系統(tǒng)對該定點(diǎn)角動量守恒，即假設(shè) M 合=0,那么 L 二'ri 口二 Ci注釋：角動量守恒定律既適用于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，又適用于質(zhì)點(diǎn)系 ？對于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，守恒定律可 簡化為：對于某個(gè) 定點(diǎn)O,假設(shè)質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，那么質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的角動量守恒. 守恒條件為對某定點(diǎn)的合外力矩為零.應(yīng)理解力矩為零既可能是由于力為零，也可能 是由于力臂為零，即力的作用線過定點(diǎn).在有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)如電子繞核運(yùn)動時(shí)角動 量守恒.一旦滿足角動量守恒條件，那么有角動量守恒的結(jié)論，如勻速直線

6、運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，由于所受的 合外力為零，從而導(dǎo)致合外力矩為零，對線外點(diǎn) O的動量矩一定守恒，即L = r父mv = mvd ;而勻速圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)受到的合外力指出圓心，故對其圓心點(diǎn)來說，合外力矩為零，動量矩必然守恒，對其他點(diǎn)來說，向心力的力矩不是零，那么動量矩不守恒5、角動量定理在剛體動力學(xué)中的簡單應(yīng)用5.1剛體的動能剛體是多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，它的動能等于各質(zhì)點(diǎn)動能之和，即根據(jù)柯尼希定理Ek二Eg - Ek有:1 2 1 2 1 2Ek = mv c + I co/ (其中Eg =(送一 mJv c為質(zhì)心動能,22i 212 12 2 1 2Ek =瓦 mM =-乞皿苗2 =I 2， Ic為相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)

7、動慣量2 i2 i2轉(zhuǎn)動慣量：I = ' m iri2i5.2剛體運(yùn)動的描述質(zhì)盍的直線運(yùn)動岡IJ體的定軸轉(zhuǎn)動位移SAU# eit Av角速度v 0r少v = nm AtA0 in = Lim it-*o At加速度a角加速度aa = l) m it-? o At血、a = nm加汕At勻速直線運(yùn)動 s=vt勻角速轉(zhuǎn)動0=w t勻變速直線運(yùn)劫勻變速轉(zhuǎn)動v, =v 0+at(A! = G) o + at0 =4ot + ifft2s = vot + |at2vf VQ = 2 asWo = 2cr9牛頓第二定律F=mo轉(zhuǎn)動定理M=la動量定理甫動量定理Ft m?t mv0 (恒力)Mt =

8、 la ) t 動能定理轉(zhuǎn)劫動能定理1 7 1 7M0 =_|la>oFs =動量守恆定律角動量守恒定律珂二常量Ito =常董5.3剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)dLz繞z軸轉(zhuǎn)動的定軸轉(zhuǎn)動方程dt(1 )轉(zhuǎn)動方程2L 二'mi rAj 二'mmdL .d,-MIIdtdt(2)轉(zhuǎn)動動能：E k 轉(zhuǎn)-1 2 I2dl0.及其繞過其一(3)質(zhì)心系中的角動量定理：M 外二，這是由于質(zhì)心系中慣性力的力矩為dt例1：( 1)試證明開普勒第二定律。(2)一根質(zhì)量分布均勻的細(xì)棒，質(zhì)量為M長L。求其繞過其質(zhì)心垂直于棒的軸的轉(zhuǎn)動慣量端垂直于棒的軸的轉(zhuǎn)動慣量。例2: 一個(gè)圓錐擺，長為L的繩的一端懸掛在B

9、點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為 M的擺球(視作質(zhì)點(diǎn))擺球以勻角速度 3作穩(wěn)定的水平圓周運(yùn)動。設(shè)圓周運(yùn)動半徑為r，圓心為A點(diǎn)。如下圖，試求：(1) 相對于A點(diǎn)和B點(diǎn)的角動量；(2) 相對于A點(diǎn)和B點(diǎn)的力矩。例3 :勻質(zhì)桿的質(zhì)量為 m長為I, 一端為光滑的支點(diǎn)？最初處于水平位置，釋放后桿向下 擺動，如下圖？那么:(1 )求桿在圖示的豎直位置時(shí)，其下端點(diǎn)的線速度v(2)求桿在圖示的豎直位置時(shí)，桿對支點(diǎn)的作用力(3 )假設(shè)當(dāng)棒通過豎直位置時(shí)鉸鏈突然松脫，棒在下落過程中，當(dāng)棒的質(zhì)心下降了h的距離時(shí)，棒一共轉(zhuǎn)了多少圈？例4 :如圖甲所示，半徑為 R的乒乓球繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2I =2mr2,3血為乒乓球的v CO

10、,初角速？試求乒乓球卜質(zhì)量？乒乓球以一定的初始條件在粗糙的水平面上運(yùn)動，開始時(shí)球的質(zhì)心速度向右為 度為3 0,垂直于紙面向外.乒乓球與地面間的動摩擦因數(shù)為開始做純滾動所需的時(shí)間及純滾動時(shí)的質(zhì)心速度 .練習(xí) 1啞鈴由長為 L 的輕質(zhì)硬桿和固定在其兩端的相同小鋼球組成， 開始時(shí)啞鈴放在光滑 水平桌面上不動，且桿為南北指向。 現(xiàn)給其中一球一個(gè)指向東的恒力F。求當(dāng)啞鈴轉(zhuǎn)過90時(shí)桿中的張力。練習(xí)2:在半頂角為a的圓錐面內(nèi)壁離錐頂h高處以一定初速度沿內(nèi)壁水平射出一質(zhì)量為的小球，設(shè)錐面內(nèi)壁是光滑的。(1) 為使小球能在 h 高處的水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，那么初速度Vo為多少？(2) 假設(shè)初速度Vi=2Vo，求小球在運(yùn)動過程中的最大高度。向下的之心速 h，圓環(huán)保持在練習(xí)3:個(gè)