幾何的五大模型

1、幾何的五大模型一、等積變換模型(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等(2)兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比(3)兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比如左圖S1:S2=a:b(4)夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖，Saabc=Sabad反之，如果Saabc=SaBCD,則可知直線AB平行于CD(AB/CD二、鳥頭定理(共角定理)模型(1)兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。(2)共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。如圖在ABC,D,E分別是ARAC上的點(diǎn)如圖.(或D在BA的延長(zhǎng)線上,E在AC上),貝USabc：Saade=(ABX

2、AC):(ADXAE)DA/i/ED/xB.*C圖COAL/B/圖（2）推理過程連接BE再利用等積變換模型即可。證明：圖(1)中設(shè)：過頂點(diǎn)D做底邊AE的高為H1;過頂點(diǎn)B做底邊AC的身為H2ABE中SJAADESJAABE=ADAB同理SAADESAABE=H1H2AD:AB=H1:H2又因SAADE=AE*H1*1/2SABC=AC*H2*1/2得出SAADESAABC=AE*H1AC*H2所以SAADESAABC=(ABAC):(ADXAE)圖(2)中設(shè)過頂點(diǎn)D作底邊AE的高為H1,過頂點(diǎn)B做底邊AC的高為H2fDB芹，SAADESAABE=AD|bSAADESAABE=H1:H2AD:A

3、B=H)H2又因SAADE=AE*H1*1/2SABC=AC*H2*1/2得出SAADESAABC=AE*H1AC*H2所以SAADESAABC=(ABAC):(ADXAE)三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）(7S1:S2=S4:S3或者S1乂S3=S2XS4AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)證明(1):在ABD中，S1:S2=DO:OB在4DCB中，S4:S3=DOOB得到S1:S2=S4:S3或者S1XS3=S2xS4(十字相乘法)證明(2):OC*H1*1/2+設(shè)過D點(diǎn)作底邊AC的高為H1,過B點(diǎn)作底邊AC的高為H2(S1+S2):(S4+S3)=(AO*H1

4、*1/2+AO*H2*1/2):OC*H2*1/2)約分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO:OC蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）S1:S3=a2:b2證明：由AOOC=DOOC=aLb而S1:S2=DOOCS1:S2=a:b,得至US1=a/b*S2而S2:S3=A0OCS2:S3=a:b,得到S3=S2*b/aS1:S3=a2:b2S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得梯

5、形S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為(a+b)2證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得四、相似模型相似三角形性質(zhì)：A/D-F/I弋1Ji-ADAEDEAFABACBCAG沙漏模型金字塔模型(2)SAADESaabcAF2:AG2證明:SaadeSABC=DE*AF*1/2:BC*AG*1/2DEAFBCAGADESAabcAF2:AG2所謂相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變，它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：A,相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；B,相似三角形的面積比等于它們相似比的平方;五、燕尾定理模型ABEC(1)SAABCG