函數(shù)的連續(xù)性在高等代數(shù)中的應(yīng)用

1、函數(shù)的連續(xù)性在高等代數(shù)中的應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)非常重要的根底課程,這兩門課程的一些問(wèn)題如果只是從學(xué)科內(nèi)部出發(fā)很難解決,而運(yùn)用另一門學(xué)科的知識(shí)解決,問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單易行.關(guān)鍵詞：連續(xù)函數(shù)；行列式；矩陣；二次型ApplicationsofContinuityofFunctioninAdvancedAlgebraZhouYuxia(CollegeofMathematicsandtheInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730000)Abstract:Themathematicalanalysisandadvanc

2、edalgebraareveryimportantfoundationcoursesofuniversitymathematicsspecial?eld,someoftheproblemsofbothcourseswithinthediscipline,ifonlyfromthestartaredif-?culttoresolvebutusedoftheknowledgeofotherdisciplinestosolve,theproblembecomesveryeasy.Keywords:continuousfunction;matrix;determinant;quadraticform本

3、文記號(hào)說(shuō)明：const:常數(shù)；AT:矩陣A的轉(zhuǎn)置；A:矩陣A的伴隨矩陣;f(x)C(a,b):f(x)在(a,b)上連續(xù).一引言數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)都是高等教育中非常重要數(shù)學(xué)根底課,無(wú)論是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生還是其他理工科專業(yè)的學(xué)生,都要學(xué)好這兩門根底課.稍微有點(diǎn)區(qū)別就是非數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)的是等數(shù)學(xué)或者微積分和線性代數(shù),但這只是課程名稱的變化,具體學(xué)習(xí)內(nèi)容都是一樣的.因此,學(xué)好這兩門課程是學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵.學(xué)生應(yīng)該掌握數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)之間深刻的聯(lián)系,以便更容易了解、學(xué)習(xí)、掌握這兩門根底課,為以后更深入的學(xué)習(xí)深造打好扎實(shí)根底.本文只探究數(shù)學(xué)分析在高等代數(shù)中的應(yīng)用,包括利用數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)連續(xù)性解決某

4、些行列式、矩陣、二次型問(wèn)題.至于高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用本文暫不探究.二函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性不僅在數(shù)學(xué)分析學(xué)科內(nèi)部有很重要的地位,在跨學(xué)科比方高等代數(shù)中也有很重要的作用.以下簡(jiǎn)要說(shuō)明一下數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性在高等代數(shù)中多個(gè)方面的應(yīng)用.1函數(shù)連續(xù)性在解決行列式問(wèn)題中的應(yīng)用行列式是學(xué)生剛接觸到大學(xué)數(shù)學(xué)課程后,在高等代數(shù)方面遇到的第一個(gè)新概念,運(yùn)用已有知識(shí)學(xué)習(xí)新概念,能使學(xué)生更容易理解和掌握.以下說(shuō)明函數(shù)的連續(xù)性在解決行列式問(wèn)題中的局部應(yīng)用.例1設(shè)A,B,C,D都是n階矩陣,AC=CA假設(shè)|A|豐0,那么ABCD=|ADCB這個(gè)命題是8的P203的補(bǔ)充題6,該命題是正確的2,5,6,7,但

5、網(wǎng)二°這個(gè)條件是可以去掉的,此時(shí)結(jié)論依然成立.現(xiàn)證實(shí)如下：當(dāng)|A|=0時(shí),？6=const>0,對(duì)？eC(0,6),矩陣A=A+£E可逆,即1A尸0.AC=AC+£C=CA+£C=CA£.從而ABCDAD-CB顯而上式等號(hào)兩端都是關(guān)于e之連續(xù)函數(shù),故可在兩端同時(shí)令e-0+,即得到AB.=|AD-CBCD故結(jié)論成立.命題(1)F,其中F是一個(gè)數(shù)域,對(duì)任何方陣A£=A+&E,除有限個(gè)值外均為非奇異矩陣.(2)?6=const>0,對(duì)？£(0,8),A£=A+£E均為可逆矩陣.(1)A奇異?

6、|A|=|A+eE|=|£E-(-A)|=0e為-A的特征根.而矩陣-A最多有n個(gè)不同的特征根,可見(jiàn)除了有限個(gè)-A的特征根外,A£為非奇異陣.2由于-A其至多有有限個(gè)特征根,記其為入1,入2,不妨設(shè)入1=0,今設(shè)6是-A的非0特征根的絕對(duì)值或模之最小值,那么對(duì)？eC0,6,Ae=A+eE為非奇異陣.例2證實(shí)：A*=|A|n-2A,其中A是nxn矩陣n>2).證當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí),由A*=|A|A-1知(A*)*=|A*|(A*)-1=|A|A|(|A|A)川端n_2=AA當(dāng)A為奇異矩陣時(shí),對(duì)一切充分小的e>0,矩陣A£A+eE為非奇異矩陣,由上述已證結(jié)

7、論有,*nO*n.2A二；IA-J,A；上式矩陣中的每個(gè)元素均為£之連續(xù)函數(shù),所以令力0.*一C(A*)=A、AailllamanilIannAjk是ajk的代數(shù)余子式,求證aiiUklnXinaniannXn=、AjkXjyk.j,kJyiHyni設(shè)人=(akl,X=(Xi川,xn),aMlainXi：Aani川annXnYyiMlyn1(1)當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí),AXAXrTr1Y101-YAX=A(1-YA'XIa*A-Yf-X111同n=|A|YA*X=|A|一£A-jk=1(2)當(dāng)A為奇異矩陣時(shí),根據(jù)命題1知,至=const>0,使得對(duì)U6w0,6),

8、有A3A+些為非奇異矩陣,那么口A.X-.丫一2-2AjkXj.yk,丫J-jk=1故結(jié)論得證.顯而上式兩端均為E的連續(xù)函數(shù),故可以在兩端同時(shí)令名T0+,得AX.nv1=|A|-工AjkX"Y1j,k=1故結(jié)論得證.例4設(shè)實(shí)數(shù)域上的矩陣l,ai1ai2IIIain221a22HI22nA.,©n1An2IIIAnn滿足aj>£|aak|,那么detA>0.k#證(1)先證detA00.設(shè)%二(%kP2kJHPnk)T,(k=12w,n)為矩陣A的列向量組,假設(shè)a1P2Mlpn線性相關(guān),那么存在一組不全為零的n數(shù)ll,l21ll,ln,使Z口=0.k=1

9、證(1)先證detA0.令1=maxi,“Jll3n'>0,不妨設(shè)1=L,那么o(j=jk,Z(9)c(k,特別地對(duì)于第j個(gè)分量有小j=£()aM1j1乜I豆2,|,(2)下證d設(shè)tw0,與假設(shè)矛盾,假設(shè)不成0%線性無(wú)關(guān),故detA>0.1,令aiiai2tai2t川a22川aia2an2t川都有Hj|>£)#0.>Z歸kt,由(1)得k#由行列式定義可知,W(t)是0,I上的多項(xiàng)式函數(shù),故W(t)在0,I上連續(xù),且W(0)=najJ>0.j=1假設(shè)W(1)=detA<0,那么由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),3t0=(0,1)s.t.W

10、(珀=0,矛盾,故假設(shè)不成立,即detA>0.2函數(shù)連續(xù)性在解決普通矩陣問(wèn)題中的應(yīng)用對(duì)于某些純矩陣問(wèn)題,用代數(shù)方法解決很復(fù)雜,但利用數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)的思想和方法,那么顯得容易許多.例5假設(shè)A與B為同階矩陣,A為A的伴隨矩陣,那么(AE)*二*BA*.2,5證當(dāng)A與B均為非奇異陣時(shí),那么結(jié)論顯然成立以下證實(shí)當(dāng)至少有一個(gè)為奇異陣時(shí),上述結(jié)論依然成立.由命題1可知,？6=const>0,?££(0,6),A£=A+eE,Be=B+eE為非奇異矩陣,故由上述結(jié)論可知AB=BA由上述等式兩邊均為e之連續(xù)函數(shù),故可對(duì)上式兩邊同時(shí)令e-0,即得到(A§*

11、=B*A*.故命題得證.3 函數(shù)連續(xù)性在解決特征多項(xiàng)式問(wèn)題中的應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性在求解矩陣的特征多項(xiàng)式的過(guò)程中也有簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程等的長(zhǎng)處.例6假設(shè)A,B均為同階方陣,那么AB與BA特征多項(xiàng)式相同.證當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí),ABBA,故其特征多項(xiàng)式相同2,5,8.當(dāng)A為奇異陣時(shí),根據(jù)命題1知？6=const>0,s.t.?£(0,6),矩陣Ae=A+eE為非奇異陣,從而由上述結(jié)論可知|入E-A禺二|入E-BA£|.由于上式等號(hào)兩邊均為e之連續(xù)函數(shù),故可對(duì)上式兩邊同時(shí)令e-0,即得到|入E-AB|=|入E-BA|故命題得證.本例結(jié)果實(shí)際上還可以推廣到“假設(shè)0mB分別是nXm和nr

12、ixn矩陣,入第0,那么|入En-AB|=入|入Em-BA|2,5,8.此處暫不探究.4 函數(shù)連續(xù)型在解決二次型問(wèn)題中的應(yīng)用二次型的判定和計(jì)算是大學(xué)期間數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn),很多的問(wèn)題光用代數(shù)方法解決是很難解決的,但反過(guò)來(lái)用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)和觀點(diǎn)解決之,能使學(xué)生更容易理解和掌握.例7.f(Xi,H|,Xn)=0X1|IXn-X1a11Illa1n-Xnan1IIIann0XT一XA是一個(gè)二次型證：設(shè)A=(ajk)nn,X=(X(1)當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí),由(X)=T1XTAX-XAA(XTA-1X)=XTA*X(2)當(dāng)A為奇異矩陣時(shí),根據(jù)命題0,s.t.Vs(0,S),有AA述結(jié)論,得到1可知,3

13、6=constE為非奇異矩陣,根據(jù)上f(X)=0XT-XAT*XTArX,而上式等號(hào)兩端均為令WT0+,那么得到-T*f(X)=XAX.3之連續(xù)函數(shù),故可以在上式兩端同時(shí)故命題得證.例8假設(shè)A為m階半正定夕!陣,那么A的伴隨矩陣A*也半正定.證：由于A為半正定矩陣,故EE均為正定矩陣,從而AA：,故A也為正定矩陣-T*f(2=xA/AJ,.一xX/8w(0,+8),A0,A為正定矩陣,w重n令那么fw0,+g),且V8w(0,+號(hào)性定理可知f(0)=limj.0二),f(f(；)名)>0.由連續(xù)函數(shù)的保之0,即Vx=0,有XT0,即A半正定三結(jié)束語(yǔ)由以上討論可知高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析雖然是數(shù)

14、學(xué)的不同分支,但是二者之間在解決問(wèn)題上往往相互滲透,彼此相通.用數(shù)學(xué)分析的思想方法解決某些高等代數(shù)問(wèn)題,解決得非常巧妙簡(jiǎn)潔明了.高等代數(shù)的思想方法在用于解決數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的時(shí)候,同樣能得到類似的效果,此處不再一一表達(dá).故在學(xué)習(xí)過(guò)程中把握好高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析之間的聯(lián)系,留心不同分支之間的交融性,有助于培養(yǎng)融合知識(shí)的水平,進(jìn)而到達(dá)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維水平的效果.參考文獻(xiàn)1王蓮花,鞠紅梅,李戰(zhàn)國(guó).數(shù)學(xué)分析在高等代數(shù)中的某些應(yīng)用J.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版,2021,173:15-182唐亞楠.高等代數(shù)同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解M.徐州：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,20063姚云飛,姚磊.關(guān)于數(shù)學(xué)分析在線性代數(shù)中某些應(yīng)用的札記J.大學(xué)數(shù)學(xué),2005,216:108-1124劉敏,儲(chǔ)亞偉.分析與代數(shù)內(nèi)通性的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用J