第七章 矩陣函數(shù)

1、 第七章 矩陣函數(shù)在定義了矩陣范數(shù)之后，便可以度量線性空間中矩陣的大小和矩陣間的接近程度，進(jìn)而引入極限的概念，并基于此建立矩陣分析理論。本章將介紹矩陣序列和矩陣級(jí)數(shù)的定義和收斂性判斷，并給出矩陣函數(shù)的定義和計(jì)算方法。7.1 矩陣序列與極限本章中數(shù)域均指(或)，所討論矩陣均為方陣，非方陣的情況按照相應(yīng)的范數(shù)也可類(lèi)似定義。我們把階矩陣序列，簡(jiǎn)記為，其中，顯然，一個(gè)階矩陣序列中各矩陣的所有對(duì)應(yīng)位置構(gòu)成個(gè)數(shù)列，其中。定義1 設(shè)矩陣序列 ()，其中，若個(gè)數(shù)列都收斂，即存在數(shù)，使得則稱(chēng)矩陣序列是收斂的，并把矩陣稱(chēng)為的極限，或稱(chēng)矩陣序列收斂于，簡(jiǎn)記為 或若這個(gè)數(shù)列中至少有一個(gè)不收斂，則稱(chēng)矩陣序列是發(fā)散的。例

2、1 討論階矩陣序列和的斂散性，其中，。解 因?yàn)?，故有，即矩陣序列是收斂的。又因?yàn)閿?shù)列的極限不存在，故矩陣序列是發(fā)散的。若把向量看做是特殊的矩陣序列，則向量序列收斂的定義類(lèi)似可得。由定義1可知，一個(gè)矩陣序列的收斂等價(jià)于個(gè)數(shù)列的收斂，但用初等分析的方法來(lái)研究未免有些繁瑣，因此可以借助矩陣范數(shù)將矩陣序列的斂散性與一個(gè)數(shù)列的斂散問(wèn)題等價(jià)。定理1 階矩陣序列收斂于矩陣的充要條件是，其中范數(shù)為任一種矩陣范數(shù)。證明 由矩陣范數(shù)的等價(jià)性可知，必存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的矩陣都有故有即可通過(guò)矩陣的范數(shù)來(lái)進(jìn)行定理證明。必要性。 設(shè)，由定義1可知，對(duì)于每一個(gè)都有，即于是即故有對(duì)于矩陣的任意范數(shù)都有充分性。 因?yàn)?，則有

3、。因此，對(duì)于每一個(gè)都有此即于是根據(jù)矩陣范數(shù)的等價(jià)性可知，定理1對(duì)于任何一種矩陣范數(shù)都成立。定理2若矩陣序列收斂，則其極限是唯一的。證明 假設(shè)矩陣序列收斂極限不唯一。不妨設(shè)階矩陣序列收斂于矩陣，同時(shí)收斂于矩陣，且。則至少存在一組，使得，其中。即對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)有且這與收斂數(shù)列極限的唯一性相悖，故假設(shè)不成立，得證矩陣序列收斂極限唯一。由于矩陣序列收斂的充分必要條件是各元素組成的數(shù)列收斂，而數(shù)列的極限是唯一的，因此矩陣序列的極限也是唯一的。定理3若矩陣序列收斂，則此矩陣序列有界。即存在正數(shù)，使得對(duì)一切都有。證明 設(shè)序列收斂于，即，亦即對(duì)，存在，使得時(shí)，有從而其中，。取，即有利用數(shù)列收斂的概念和定理1，容

4、易得到矩陣序列如下的性質(zhì)。(1) 設(shè)，其中，則(2)設(shè)，其中，則(3) 設(shè)，且，則(4) 設(shè)，且均可逆，則矩陣序列也收斂，且證明 (1) 因?yàn)楣?(2) 由于又由已知條件可知，再由有界，故知即(3) 由(2)，令，則，故有。再將看成，看成，則有。(4) 因?yàn)榇藭r(shí)，()，設(shè)為的伴隨矩陣，則有故注：性質(zhì)(4)中的的可逆性是不可少的，因?yàn)榈目赡娌荒鼙ＷC一定可逆。例2 討論矩陣序列的收斂性及其極限的可逆性。解答 顯然每個(gè)都是可逆的，且。而的極限為它是不可逆的。定理4 設(shè)且，則矩陣序列收斂。證明 先證對(duì)角線上元素序列收斂。由已知條件有，對(duì)任意的，有取，即第個(gè)位置為1，其余位置均為，代入上式得(設(shè))，故的

5、極限存在。 再證一般的元素序列收斂()。將上面的換成，得故收斂。再由和都收斂知收斂，因此存在?，F(xiàn)在考慮由矩陣的冪所構(gòu)成的矩陣序列的收斂性。定理5 設(shè)矩陣，則的充要條件是。證明 設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)形為且存在可逆變換，使得。其中特征值所對(duì)應(yīng)的塊具有如下形式且表示矩陣的互異特征值的個(gè)數(shù)，表示特征值所對(duì)應(yīng)的代數(shù)重復(fù)度，且有，表示特征值所對(duì)應(yīng)的子塊的個(gè)數(shù)，表示特征值所對(duì)應(yīng)的第個(gè)子塊的維數(shù)。于是顯然，的充要條件是。又因?yàn)槲覀儼炎訅K分解成兩項(xiàng) （7-1）其中，這個(gè)矩陣有一個(gè)很好的性質(zhì)，即的冪次每增加1次，主對(duì)角線上方這排1就向右上方平移一次，特別有于是由二項(xiàng)式定理有 （7-2）其中 于是的充要條件是，而的充要條件是。

6、因此的充要條件是。推論 設(shè)矩陣，若存在矩陣范數(shù)，使得，則。例3 判別矩陣序列的斂散性。(1) ， (2) ，(3) 解 (1) 因?yàn)榫仃嚨奶卣髦禐?，故有，因此由定?有序列收斂，且。(2) 有時(shí)也不必求出矩陣的所有特征值才能確定與1的大小關(guān)系。由于，由定理5的推論知序列收斂，且。(3) 簡(jiǎn)單求解得矩陣的特征值分別為，因此有。所以序列發(fā)散。由定理5的證明過(guò)程，不難得出當(dāng)時(shí)，矩陣序列發(fā)散。因?yàn)椋瑒t至少存在一個(gè)，則由的具體形式可知其對(duì)角線元素構(gòu)成的數(shù)列發(fā)散，故矩陣序列發(fā)散，從而發(fā)散。例4 設(shè)矩陣，試判斷序列的斂散性。解 簡(jiǎn)單求解得矩陣的特征值分別為，則有矩陣的譜半徑，此時(shí)利用定理5及其推論無(wú)法判斷序

7、列的斂散性，但可按照定理5的證明思路來(lái)分析。首先求得矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為即存在可逆陣，使得，從而有因此有所以發(fā)散。例5 設(shè)矩陣，則討論取何值時(shí)序列收斂于。解 求得矩陣的特征值分別為，故有的譜半徑。由本節(jié)定理5有，當(dāng)時(shí)，矩陣序列收斂于。7.2 矩陣冪級(jí)數(shù)本節(jié)我們將給出矩陣級(jí)數(shù)的定義，并利用矩陣序列極限的概念討論級(jí)數(shù)收斂及其相應(yīng)的性質(zhì)。這些內(nèi)容會(huì)給矩陣函數(shù)的研究，微分方程的求解等問(wèn)題帶來(lái)方便。7.2.1 矩陣級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)定義1 設(shè)(或)是一個(gè)矩陣序列，則稱(chēng)其無(wú)窮和為矩陣級(jí)數(shù)，常簡(jiǎn)記為。對(duì)于任意正整數(shù)，定義矩陣級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和為若由構(gòu)成的矩陣序列收斂，且有，則稱(chēng)矩陣級(jí)數(shù)收斂，且有。若矩陣序列發(fā)散，稱(chēng)矩

8、陣級(jí)數(shù)發(fā)散。定義2 設(shè)為(或)中的矩陣級(jí)數(shù)，若對(duì)某矩陣范數(shù)，正項(xiàng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。根據(jù)矩陣范數(shù)的等價(jià)性可知，這里的矩陣范數(shù)是任意的。定理1 矩陣級(jí)數(shù)，()收斂的充分必要條件是對(duì)任意的，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，其中。證明 必要性。 設(shè)收斂，即其部分和序列收斂。根據(jù)矩陣序列收斂的充要條件可知，各分量序列收斂，即級(jí)數(shù)收斂。充分性。 設(shè)對(duì)任意的，級(jí)數(shù)收斂，即數(shù)列收斂，其中。由矩陣序列收斂的充要條件可知部分和序列收斂，即收斂。注：定理給出了矩陣級(jí)數(shù)收斂的另一種定義。即設(shè)是(或)空間中的矩陣級(jí)數(shù)，則若個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，則稱(chēng)矩陣級(jí)數(shù)收斂。定理2 矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充分必要條件是對(duì)任意的，正項(xiàng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

9、收斂，其中。證明 必要性。 設(shè)絕對(duì)收斂，即收斂，由矩陣范數(shù)的等價(jià)性知收斂，而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法得收斂。充分性。 設(shè)對(duì)任意的，收斂，則對(duì)任意的，存在，使得當(dāng)時(shí)，有故因此收斂，所以絕對(duì)收斂。推論 若矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則收斂。例1 設(shè)，判斷矩陣級(jí)數(shù)的斂散性。解 因?yàn)閿?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，故有矩陣級(jí)數(shù)為收斂的，且有。例2 設(shè)，判斷矩陣級(jí)數(shù)的斂散性。解 因?yàn)槊總€(gè)位置所確定的矩陣級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，且有， ，則有矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，且。矩陣級(jí)數(shù)也有和矩陣序列極限類(lèi)似的運(yùn)算性質(zhì)，性質(zhì)如下。(1) 收斂矩陣級(jí)數(shù)的和唯一。(2) 若，其中()，則。(3) 若非奇異，收斂(或絕對(duì)收斂)，則也收斂(或絕對(duì)收斂)，且 。這幾個(gè)性質(zhì)

10、的證明，請(qǐng)讀者參考矩陣序列極限性質(zhì)的證明，自行完成。定理3 設(shè)矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂于，矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂于，其中()，則這兩個(gè)矩陣級(jí)數(shù)的積也絕對(duì)收斂，且其和為。證明 由絕對(duì)收斂的定義知級(jí)數(shù)和收斂，故級(jí)數(shù)收斂，又由于由比較判別法知絕對(duì)收斂。記，則于是由和知。7.2.2 矩陣冪級(jí)數(shù)下面對(duì)矩陣冪級(jí)數(shù)作深入討論，它是研究矩陣函數(shù)的重要工具。定義3 設(shè)，稱(chēng)形如的矩陣級(jí)數(shù)為方陣的冪級(jí)數(shù)。根據(jù)矩陣范數(shù)絕對(duì)收斂的定義，我們有定理4 設(shè)變量的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，為階方陣，則若的譜半徑，則矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若的譜半徑，則冪級(jí)數(shù)發(fā)散。證明 設(shè)是方陣的標(biāo)準(zhǔn)形，則存在可逆矩陣，使得其中，其中，表示矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型中子塊的個(gè)數(shù)，

11、表示的標(biāo)準(zhǔn)型中第個(gè)子塊的維數(shù)。于是且由（7-1）至（7-2）的推導(dǎo)有所以且其中，則當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散。推論1 若矩陣的某一范數(shù)在數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的收斂域內(nèi)，則矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。例3 證明對(duì)任意(或)，矩陣冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，從而收斂。證明 由于的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)檎麄€(gè)空間，即其收斂半徑為，因此對(duì)任意的方陣必有成立，由定理4可知矩陣冪級(jí)數(shù)必然絕對(duì)收斂，從而收斂。若一個(gè)矩陣級(jí)數(shù)收斂，且收斂到矩陣，則稱(chēng)為矩陣級(jí)數(shù)的和。以后記例3中矩陣級(jí)數(shù)的和為，即同理可證對(duì)任意的方陣，矩陣冪級(jí)數(shù)和都絕對(duì)收斂，從而收斂。分別記兩矩陣級(jí)數(shù)的和為和。 通常稱(chēng)為矩陣指數(shù)函數(shù)，和

12、為矩陣三角函數(shù)。定理5 設(shè)，則矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充要條件是，且其和為。證明 必要性。 由于所給矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則收斂，故。由本章7.1節(jié)定理5可知，。充分性。 因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的收斂半徑，則由本節(jié)定理4知，當(dāng)時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)收斂。 因?yàn)?，所以非奇異，并且。令?)則從而即，()因此，原級(jí)數(shù)的和為。例4 求矩陣冪級(jí)數(shù)的和。解答 設(shè)由于，故。由定理5知，所求冪級(jí)數(shù)收斂，且其和為。因此，。7.3 矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式與矩陣函數(shù)均為矩陣?yán)碚撝蟹浅Ｖ匾母拍?，本?jié)將給出矩陣多項(xiàng)式的相關(guān)概念和性質(zhì)。矩陣的最小多項(xiàng)式在矩陣相似、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣函數(shù)和矩陣方程中都有很重要的應(yīng)用，本節(jié)將給出矩陣多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式

13、的概念和一些性質(zhì)，并給出Cayley-Hamilton定理。以下討論的矩陣都是復(fù)數(shù)域上的n階方陣。7.3.1 矩陣的化零多項(xiàng)式定義1 設(shè)是關(guān)于變量的次多項(xiàng)式，其中系數(shù)，則對(duì)任意方陣，稱(chēng)是關(guān)于方陣的矩陣多項(xiàng)式；且多項(xiàng)式的次數(shù)也稱(chēng)為矩陣多項(xiàng)式的次數(shù)，記為。顯然的值也為復(fù)數(shù)域上的n階方陣。下面給出矩陣多項(xiàng)式的幾個(gè)性質(zhì)。性質(zhì)1 設(shè)分別為上關(guān)于變量的多項(xiàng)式，則對(duì)任意的方陣有：（1），其中，；（2），其中，。性質(zhì)2 設(shè)為上關(guān)于變量的多項(xiàng)式，則對(duì)任意給定的可逆陣，有：。性質(zhì)3 設(shè)為上關(guān)于變量的多項(xiàng)式，若方陣為分塊對(duì)角陣，即有其中，分為較更低階方陣，則有性質(zhì)4 設(shè)為上關(guān)于變量的多項(xiàng)式，若為方陣關(guān)于特征值的特征

14、向量，即，則也為的關(guān)于的特征向量。即。定義2 設(shè)，如果多項(xiàng)式滿足，則稱(chēng)是矩陣的化零多項(xiàng)式。容易看出，如果，則對(duì)任意的多項(xiàng)式，令，都滿足，可見(jiàn)化零多項(xiàng)式不唯一。定理1 任何方陣都存在化零多項(xiàng)式。證明 設(shè)，由于的維數(shù)為，所以這個(gè)向量必線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)：，使得：作多項(xiàng)式，且不恒為零，則有，即中任意的，都存在化零多項(xiàng)式。定理2 （Cayley-Hamilton定理） 設(shè)矩陣，且為的特征多項(xiàng)式，即有則。證明略顯然，若，是的次數(shù)大于或等次的多項(xiàng)式，則由多項(xiàng)式的帶余除法可知可以表示為方陣的特征多項(xiàng)式和某多項(xiàng)式的乘積，再加上一個(gè)次數(shù)小于的余式的形式：由Cayley-Hamilton定理有即利用

15、矩陣的化零多項(xiàng)式可以將階方陣的多項(xiàng)式的次數(shù)降為不超過(guò)階的多項(xiàng)式，簡(jiǎn)化了矩陣多項(xiàng)式的計(jì)算。例1 設(shè)矩陣，試計(jì)算如下矩陣多項(xiàng)式的值，其中。解 矩陣的特征多項(xiàng)式，則由Cayley-Hamilton定理，即：。因多項(xiàng)式所以，。例2 已知，試?yán)肅ayley-Hamilton定理求。解 矩陣的特征多項(xiàng)式為，由Cayley-Hamilton定理有多項(xiàng)式，所以，即。7.3.2 矩陣的最小多項(xiàng)式定義3 設(shè)方陣，則在的所有化零多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式稱(chēng)為的最小多項(xiàng)式，記為。定理3 設(shè)方陣，則的任一化零多項(xiàng)式都能被其最小多項(xiàng)式整除。證明 由多項(xiàng)式的帶余除法有其中，或。故有所以，即也是的化零多項(xiàng)式。又因?yàn)槭堑?/p>

16、最小多項(xiàng)式，可知是的所有化零多項(xiàng)式中次數(shù)最低的，故有，即。定理4 方陣的最小多項(xiàng)式是唯一的。證明 設(shè)都是的最小多項(xiàng)式，可知都是的零多項(xiàng)式，則由定理3可知且所以有。又由于都是首一多項(xiàng)式，所以，即。定理5設(shè)矩陣為分塊矩陣，且有則的最小多項(xiàng)式等于（）的最小多項(xiàng)式的最小公倍式。證明 設(shè)的最小多項(xiàng)式為（），的最小多項(xiàng)式為，的最小公倍式是，由整除知。因此即整除。又因?yàn)?則對(duì)于每一個(gè)有，即整除。而是的最小公倍式，故整除，綜上有。定理6 階塊的最小多項(xiàng)式是。證明 顯然的特征多項(xiàng)式為，由Cayley-Hamilton定理知為的化零多項(xiàng)式，且首系數(shù)為1。則由定理3可知最小多項(xiàng)式是必是的一個(gè)因子，注意到，而所以的最

17、小多項(xiàng)式為。定理7 設(shè)，則的最小多項(xiàng)式是的最后一個(gè)不變因子。證明 因?yàn)榕c矩陣相似，所以，存在存在可逆矩陣，使得： 其中， 。由定理5知，的最小多項(xiàng)式為的最小多項(xiàng)式的公倍式，且由定理6知的最小多項(xiàng)式為，。即：顯然，的最小多項(xiàng)式就是的最小多項(xiàng)式，即。由于一個(gè)初等因子決定一個(gè)塊，而初等因子是不變因子分解在互不相同的一次因式的方冪。矩陣的個(gè)各階不變因子滿足，因此有，又由最小公倍式定義得，且與都是首一的。所以可推得。推論1 設(shè)矩陣有個(gè)不同特征值分別為，相應(yīng)的幾何重復(fù)度分別為，所對(duì)應(yīng)的各初等因子的冪次分別為，若記，則的最小多項(xiàng)式為：。推論2 相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式。證明 設(shè)，且與相似，分別是與的最小

18、多項(xiàng)式。由與相似，即存在可逆矩陣使得，則有與具有相同的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。綜合定理7可知與具有相同的最小多項(xiàng)式。 需要指出的是，雖然相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式，但最小多項(xiàng)式相同的矩陣不一定相似。 例如 與的最小多項(xiàng)式都等于，但是它們的特征多項(xiàng)式不同，因此與不是相似的。推論3 矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根。例3 設(shè)矩陣，其中，求的最小多項(xiàng)式。解 顯然，矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，因此有有兩個(gè)初等因子，分別為和，由本節(jié)定理7的推論1有的最小多項(xiàng)式為。例4 設(shè)矩陣，求矩陣的最小多項(xiàng)式。解 首先求出矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形：所以，由定理7知的最小多項(xiàng)式為；例5 設(shè)矩陣，試求的最小

19、多項(xiàng)式。解 顯然矩陣的最小多項(xiàng)式是其零多項(xiàng)式的因式，故可利用矩陣的特征多項(xiàng)式來(lái)求解。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算可得矩陣的特征多項(xiàng)式為因此，的最小多項(xiàng)式有如下六種可能，將帶入上述六式得，所以的最小多項(xiàng)式為。例6 設(shè)階方陣的一個(gè)化零多項(xiàng)式為，即有試證明方陣可對(duì)角化。證明 顯然多項(xiàng)式有如下因式分解形式則可知的最小多項(xiàng)式為的因式，因?yàn)闆](méi)有重根，故也沒(méi)有重根，由本節(jié)定理7的推論3可知矩陣可對(duì)角化。7-4 矩陣函數(shù) 矩陣函數(shù)的概念與通常的函數(shù)概念相類(lèi)似，是以階方陣為自變量和因變量的一種函數(shù)，是的一種映射。本節(jié)將利用矩陣冪級(jí)數(shù)給出矩陣函數(shù)的定義，并給出矩陣函數(shù)的Jordan表示和多項(xiàng)式表示。7.4.1 矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)定

20、義定義1 設(shè)復(fù)數(shù)域上數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，且在收斂域內(nèi)該冪級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)，即有如果矩陣，且滿足的譜半徑，則顯然矩陣冪級(jí)數(shù)收斂，且稱(chēng)此冪級(jí)數(shù)的和為矩陣函數(shù)，記為，即 根據(jù)定義，可以得到在形式上和微積分中的一些函數(shù)類(lèi)似的矩陣函數(shù)，例如，一些常見(jiàn)的函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 相應(yīng)的就有矩陣函數(shù) 通常，我們分別稱(chēng)為矩陣指數(shù)函數(shù)，矩陣正弦函數(shù)和矩陣余弦函數(shù)。定理1 設(shè)，為矩陣函數(shù)，則有（1）和可交換，即（2） 函數(shù)和（或差）的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的和（或差），即（3） 函數(shù)積的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的積，即（4） 若，則。 證明略定理2 矩陣指數(shù)函數(shù)具有如下基本性質(zhì)：(1) 若，則;(2) ；(3) 證明 （

21、1）因?yàn)榫仃嚰臃M足交換律，所以只需證明即可。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式可得，(2) 在（1）中令,則得,所以，(3) 設(shè)的特征值為，則的特征值為，因此定理3 矩陣三角函數(shù)具有如下基本性質(zhì)：(1) (2) ，(3) (4) 若，則證明 (1) 因?yàn)?，將分為偶?shù)和奇數(shù)，則有 (2) 同(1)證可得， 兩式相加得兩式相減得，(3) 因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以?4) 若，得 同理可證 7.4.2矩陣函數(shù)的計(jì)算在介紹矩陣函數(shù)的計(jì)算方法之前，我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念。定義2 設(shè)方陣的最小多項(xiàng)式為其中，為A的r個(gè)互不相同的特征值。如果對(duì)于任意的特征值，函數(shù)及其導(dǎo)在處都存在，即這m個(gè)值都存在，則稱(chēng)函數(shù)在矩陣的譜上

22、有定義，并稱(chēng)這些值為在方陣上的譜值。例1 設(shè)，驗(yàn)證在下列矩陣的譜上是否有定義（1） , （2）,解答 （1）先求出矩陣的最小多項(xiàng)式，,在的譜上有定義,（2）求出矩陣的最小多項(xiàng)式，但不存在，所以，在矩陣的譜上無(wú)定義。下面將在矩陣的譜上有定義的概念用于矩陣函數(shù)的計(jì)算中。方法1：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法定理4 設(shè)，為矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，為其相似變換矩陣，且滿足，如果在的譜上有定義，則其中，稱(chēng)此表達(dá)式為矩陣函數(shù)的Jordan表示。證明 設(shè)是方陣的標(biāo)準(zhǔn)形，則存在可逆矩陣，使得其中于是且其中，若冪級(jí)數(shù)形式為，則有 （7-3）其中 （7-4）設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂到函數(shù)，因此當(dāng)方陣譜半徑時(shí)

23、有矩陣冪級(jí)數(shù)收斂到，同理矩陣冪級(jí)數(shù)收斂到矩陣函數(shù)，其中。因此由式（7-3）有 （7-5）另外，在式（7-4）中若的特征值，則冪級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，且其和為。同理，時(shí)，級(jí)數(shù)，都絕對(duì)收斂，且有其和分別為，其中，。故有 例2 設(shè)，求的Jordan表示，并計(jì)算矩陣函數(shù)。解答 首先求出的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為故有的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為設(shè)矩陣，使得，即，建立方程組顯然前兩個(gè)方程同解，求解方程得基礎(chǔ)解系為取，其中的選取要保證第三個(gè)方程有解，即方程系數(shù)矩陣的值和增廣矩陣的秩要相等，有即矩陣這里選取，并求得第三個(gè)方程的一個(gè)特解為。故有矩陣，從而的Jordan表示為當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，。用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法求矩陣函數(shù)的步驟如下：1求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并求相似的變換矩陣，使得；2計(jì)算；其中3利用求出?？梢钥蠢肑ordan標(biāo)準(zhǔn)型的方法計(jì)算矩陣函數(shù)，首先要求得方陣的Jor