經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教案-4

1、第四章 不定積分學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解原函數(shù)和不定積分的概念 了解不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法 了解不定積分的經(jīng)濟(jì)意義 了解微分方程的概念，會(huì)解簡(jiǎn)單的一階微分方程。41不定積分的概念4.1.1原函數(shù)定義：已知在區(qū)間上有定義，若存在可導(dǎo)函數(shù)使得對(duì)任意， 都有或，則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).如：，故是的一個(gè)在內(nèi)的原函數(shù)；但，所以的原函數(shù)不是唯一的?，F(xiàn)在問題有三：原函數(shù)存在性，一個(gè)函數(shù)具備什么條件才保證有原函數(shù)？ 結(jié)論：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù)，則原函數(shù)是否唯一，若不唯一，數(shù)目是多少？如：因?yàn)?；，都是的原函?shù) 定理 若是在區(qū)間上的原函數(shù)，則一切形如的函數(shù)也是的原函

2、數(shù).證明：有，則，也是的原函數(shù).原函數(shù)間有何關(guān)系？定理 若、為在區(qū)間上的兩個(gè)原函數(shù)，則證明：由所以所以.4.1.2不定積分不定積分的概念定義 若是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則稱的全體原函數(shù)為在區(qū)間上的不定積分.記為： 其中上式中的叫做積分變量，叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分常數(shù)，“”叫做積分號(hào)注 由定義知，的不定積分，即為的一個(gè)原函數(shù)加常數(shù)；不能掉，它是不定積分的標(biāo)志 通常我們把一個(gè)原函數(shù)的圖象稱為的一條積分曲線，其中方程為因此，不定積分在幾何上就表示全體積分曲線所組成的曲線族. 我們的方程是。例 ：求下列不定積分：（1）；（2）；（3）解：（1）因?yàn)?，所? （2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)?/p>

3、時(shí)，又時(shí)，所以.例 ：設(shè)曲線過點(diǎn)（1，2）且斜率為，求曲線方程解：設(shè)所求曲線方程為按，故又因?yàn)榍€過點(diǎn)（1，2），故代入上式，得 ，于是所求方程為.例：設(shè)某物體運(yùn)動(dòng)速度為，且當(dāng) 時(shí)，求運(yùn)動(dòng)規(guī)律解：按題意有，即，再將條件時(shí)代入得，故所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為例：求.解 ， =.例：求. 解 ， =.4.2不定積分的性質(zhì)與基本積分公式4.2.1不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 求不定積分與求導(dǎo)或求微分互為逆運(yùn)算，即(1) 或 ；(2) 或 .這些等式很容易驗(yàn)算，讀者在使用時(shí)注意公式中求不定積分運(yùn)算和求導(dǎo)運(yùn)算的次序.性質(zhì)2 被積函數(shù)中的非零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即 .性質(zhì)3 函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于函數(shù)不定積分的代數(shù)

4、和，即 .4.2.2不定積分基本積分公式表1、， 2、，3、， 4、，5、， 6、，7、， 8、9、， 10、，11、， 12、，13、，例 ：求下列不定積分：（1）(2)；(3) 解：（）.（）.（） 例 ：求下列不定積分:（）；（）解：（1）首先應(yīng)該把積的形式化為和的形式。然后再逐項(xiàng)積分得 注意：在分項(xiàng)積分后，不必每個(gè)積分結(jié)果后都“+C”只要在總的結(jié)果中加即可。（）上面解題的思路：（1）把積的形式化為和的形式。然后再逐項(xiàng)積分得（2）實(shí)現(xiàn)“化和”是利用三角式的恒等變換。例 ：求下列不定積分：(1)； (2)解：(1) =(2)例 ：設(shè)求解：由于，所以,故知是的原函數(shù) ，.例：求解： 例：解：

5、.例：設(shè)，則（ ）.解：.例：若，求.解：令，則，還原后得例：求.解： .例：求.解： .例：求.解：.例：求.解：例： 求解：例：求.解： .例： 已知曲線上面一點(diǎn)處切線的斜率為，求曲線方程和切線方程.解：依題意， 所以，由于曲線過點(diǎn)，把代入方程，解得. 從而，所求的曲線方程為 .所求的切線方程為 .4.3換元積分法定義利用直接積分法可以求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分，但當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜時(shí)，直接積分法往往難以奏效如求積分，它不能直接用公式進(jìn)行積分，這是因?yàn)楸环e函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)我們知道，復(fù)合函數(shù)的微分法解決了許多復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)（求微分）問題，同樣，將復(fù)合函數(shù)的微分法用于求積分，即得復(fù)合函數(shù)的積分

6、法換元積分法 換元積分法分為兩類：1、第一換元積分法，又叫湊微分法，也稱間接換元法；2、第二換元積分法，也稱直接接換元法。4.3.1第一類換元法（湊微分法）例：求.解：被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用公式我們可以把原積分作下列變形后計(jì)算 .例：求解：注意到被積式中含有 項(xiàng),而余下的部分恰有微分關(guān)系： 可作如下變換和計(jì)算： 上述解法的特點(diǎn)是引入新變量,從而把原積分化為關(guān)于的一個(gè)簡(jiǎn)單的積分，再套用基本積分公式求解,現(xiàn)在的問題是，在公式 中，將換成了,對(duì)應(yīng)得到的公式是否還成立?回答是肯定的,我們有下述定理： 定理 如果，則其中是的任一個(gè)可微函數(shù)證明：由于,所以根據(jù)微分形式不變性,則有：其中是的可微函

7、數(shù)，由此得這個(gè)定理非常重要，它表明：在基本積分公式中，自變量換成任一可微函數(shù)后公式仍成立這就大大擴(kuò)充了基本積分公式的使用范圍應(yīng)用這一結(jié)論，上述例題引用的方法, 可一般化為下列計(jì)算程序： 這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫第換一元積分法，也稱湊微分法例：求解： 類似得 例： 求 解：因?yàn)?故上述不定積分又可寫為例：求解：，第一類換元積分法又稱湊微分法，在解題熟練后，可以不寫出代換式，直接湊微分，求出積分結(jié)果例：求 解：類似得例：求.解：設(shè)得,方法較熟悉后,可略去中間的換元步驟,直接湊微分成積分公式的形式例：求解：例： 求 為常數(shù)，解：例：求 解：例：求解：例：求 為常數(shù)，）解：例：求（1

8、） （2） 解： （積化和差）例 ：求解：例：求解：例：求 解：例：求解：例：求解：在運(yùn)用換元積分法時(shí)，有時(shí)需要對(duì)被積函數(shù)做適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算或三角運(yùn)算，然后再湊微分，技巧性很強(qiáng)，無(wú)一般規(guī)律可循因此，只有在練習(xí)過程中，隨時(shí)總結(jié)、歸納，積累經(jīng)驗(yàn)，才能運(yùn)用靈活下面給出幾種常見的湊微分形式： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11例：計(jì)算積分解：（一）（二） 因?yàn)樗?.3.2第二類換元法第一換元積分法是將積分中用一個(gè)新的變量替換，化為積分，從而使不定積分容易計(jì)算，第二換元積分法，則是引入新積分變量，將表示為的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，從而簡(jiǎn)化積分計(jì)算定理 設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且如果有原函數(shù)，即則 其中是的反

9、函數(shù)證明：由假設(shè)是的原函數(shù)，有，由于是的反函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，所以是的原函數(shù)，即第二類換元積分法是用一個(gè)新積分變量的函數(shù)代換舊積分變量，將關(guān)于積分變量的不定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于積分變量的不定積分（其中）經(jīng)過代換后，不定積分比原積分容易積出在應(yīng)用這種換元積分法時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換，否則會(huì)使積分更加復(fù)雜例：求.解：為了去掉根式，令，則，于是 例：求.解：令 ，則，于是 例：求，.解：令 ，則，于是 為了將變量還原，應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系：如圖1中的(I)，作出以t為銳角，斜邊為a的直角三角形，則 ，代入得到 .例：求，.解：令 ，則，于是 如上圖，作出以t為銳角，以a鄰邊的直角三角形，則

10、 ，代入得到 ，.完全類似地，令 ，可以得到 .例：求解：這類積分可以用三角代換去掉根號(hào)，但用代換（倒代換）更加簡(jiǎn)便，即由上面例題可以歸納出兩種常用的變量代換法：（一）三角函數(shù)代換法如果被積函數(shù)含有，作代換或；如果被積函數(shù)含有，作代換；如果被積函數(shù)含有，作代換利用三角代換，可以把根式積分化為三角有理式積分例如求不定積分. 如果使用三角代換，則.用湊微分法，則有（二）倒代換（即令）如果被積函數(shù)的分子和分母關(guān)于積分變量的最高次冪分別為和，當(dāng)時(shí)，用倒代換?？梢韵ピ诒环e函數(shù)的分母中的變量因子在本節(jié)的例題中，有幾個(gè)積分經(jīng)常用到它們通常也被當(dāng)作公式使用因此，除了基本積分公式外，再補(bǔ)充下面幾個(gè)積分公式（編

11、號(hào)接基本積分公式）：1，2，3，4 ，5，6，7，8，9，10例：解：例：求解：4.4分部積分法設(shè)函數(shù)都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由求導(dǎo)法則 或 兩邊積分得 移項(xiàng)，有 或者 上面兩式稱為分部積分公式. 分部積分公式的意義：如果要求的積分不容易計(jì)算，可以用公式轉(zhuǎn)而求積分.例：求解：設(shè)，則，由分部積分公式得例： 求解：設(shè)，則，由分部積分公式得例：求解：例：求解： 例：求解：等式右端出現(xiàn)了原不定積分，于是移項(xiàng)，除以，得例：求解：令原式=例：用多種方法求解：（一）分項(xiàng)，湊微分（二）令1+x=u,則dx=du 通過上面例題可以看出，分部積分法適用于兩種不同類型函數(shù)的乘積的不定積分當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)（為正整數(shù)）和正（

12、余）弦函數(shù)的乘積，或冪函數(shù)（為正整數(shù)）和指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，設(shè)為冪函數(shù)，則每用一次分部積分公式，冪函數(shù)的冪次就降低一次所以，若，就需要連續(xù)使用分部積分法才能求出不定積分當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)或冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，設(shè)為反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)下面給出常見的幾類被積函數(shù)中，的選擇：1，設(shè)，2，設(shè)，3，設(shè)，4，設(shè)，5，設(shè)，6，設(shè)，7和，隨意選擇分部積分法并不僅僅局限于求兩種不同類型函數(shù)乘積的不定積分分部積分法還可以用于求抽象函數(shù)的不定積分，建立某些不定積分的遞推公式，也可以與換元積分法結(jié)合使用例： 設(shè)的原函數(shù)為，求解：因?yàn)闉榈脑瘮?shù)，所以，于是故例：求解： 而，代入（2）式得4.5微分方程初

13、步4.5.1基本概念微分方程的階：含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)稱為微分方程的階，分別為三階和四階微分方程一階和二階微分方程的一般形式為 一般地，階微分方程的形式為 ，其中是自變量，是的函數(shù)，依次是函數(shù)對(duì)的一階，二階，階導(dǎo)數(shù) 當(dāng)微分方程中的未知函數(shù)為一元函數(shù)時(shí)，稱此微分方程為常微分方程；當(dāng)未知函數(shù)為多元函數(shù)時(shí)，微分方程中含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，此微分方程稱為偏微分方程本章只討論常微分方程（簡(jiǎn)稱微分方程）微分方程的解：如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，能使方程成為恒等式，則這個(gè)函數(shù)稱為該微分方程的解如果微分方程的解中所含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程

14、的階數(shù)；則稱此解為微分方程的通解確定了通解中的任意常數(shù)后，所得到的微分方程的解稱為微分方程特解微分方程的初始條件：用于確定通解中的任意常數(shù)而得到特解的條件稱為初始條件設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為，如果微分方程是一階的，通常用來(lái)確定任意常數(shù)的初始條件是 其中都是給定的值 如果微分方程是二階的，通常用來(lái)確定任意常數(shù)的初始條件是 .其中和都是給定的值初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題由此可知，一階微分方程的初值問題為 二階微分方程的初值問題為 4.5.2可分離變量一階微分方程定義：若一階微分方程可化為 （1）的形式，則稱它為可分離變量的微分方程其特點(diǎn)是：一端是只含有的函數(shù)和，另一端是只

15、含有的函數(shù)和解法：將方程（1）兩端積分得 設(shè)分別為和的原函數(shù)，則原方程的通解為例：求微分方程的通解解：分離變量，得 ，兩邊積分，得 ，即 ，于是，原方程的通解為 例：求微分方程 的通解解：分離變量，得 ，兩端積分，得 ，于是，有 ，所以，原方程的通解為 例：求方程 滿足初始條件的特解解：分離變量，得 ，兩邊積分，得 ， ，即 由初始條件可定出常數(shù)，從而所求的特解為 例：求滿足下列條件的可微函數(shù) （1） ； （2） 解：（1）兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 ，再求導(dǎo)， 得 ，分離變量，得 ，兩邊積分，得 即 由（2）可定出故所求可微函數(shù)為4.5.3一階線性微分方程形如 （2）的方程，稱為一階線性微分方程，其中是

16、的已知函數(shù)如果，則方程（2）變?yōu)?（3）稱為一階齊次線性微分方程如果，則稱方程（2）為一階非齊次線性微分方程齊次線性微分方程（3）是可分離變量的方程分離變量，得 ，兩端積分，得 ，于是得齊次線性微分方程（3）的通解為 解法：對(duì)于一階線性非齊次微分方程（），我們用“常數(shù)變易法”來(lái)求它的通解 所謂“常數(shù)變易法”，就是在非齊次微分方程（2）所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（3）的通解中，將任意常數(shù)換成的函數(shù)（是待定函數(shù)），即設(shè)非齊次線性方程（2）有如下形式的解 ， （4）于是 （5） 將（4）和（5）代入方程（2）得 ，即 兩邊積分，得，其中為任意常數(shù)，把上式代入（2），就可得到非齊次線性微分方程（2）的通解 （6）將（6）式改寫成兩項(xiàng)之和 上式右端第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（3）的通解，第二項(xiàng)是非齊次線性方程（2）的一個(gè)特解（在（6）中取便得到這個(gè)特解）由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和例：求方程 的通解解：這是一個(gè)非齊次線性方程先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解分離變量，得 ，