拋物線的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論及其用

1、拋物線的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論及其應(yīng)用拋物線中有一些常見(jiàn)、常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時(shí)可迅速解答相關(guān)問(wèn)題，在做解答題時(shí)也可迅速打開思路。結(jié)論一：若AB是拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦），2且A（xi,y）,已”,為），則：珞2丫佻=-p2。4例：已知直線AB是過(guò)拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)F,求證：為定值lAFBF結(jié)論二：（1）若AB是拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為,則AB_2P（%#0）。（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線sin2：-對(duì)稱軸的弦）最短。例：已知過(guò)拋物線y2=9x的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12,則直線AB

2、傾斜角為。AB傾斜角為土或生。33結(jié)論三：兩個(gè)相切：（1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線,以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切F的弦，求證：（1）以AB為直x例：已知AB是拋物線y2=2px（p>0）的過(guò)焦點(diǎn)徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。（2）分別過(guò)A、B做準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N,求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切。結(jié)論四：若拋物線方程為y22Pxp旬)，過(guò)(2p,0)的直線與之交于A、B兩點(diǎn),則OA1OB反之也成立。結(jié)論五：對(duì)于拋物線x2=2py(p>0),其參數(shù)方程為I'"昨設(shè)拋物線x2=2py上動(dòng)y=2pt，點(diǎn)P坐

3、標(biāo)為(2pt,2pt2),。為拋物線的頂點(diǎn)，顯然3=*旦，即t的幾何意義為過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的動(dòng)弦OP的斜率.例直線y=2x與拋物線y2=2px(p>0)相交于原點(diǎn)和A點(diǎn)，B為拋物線上一點(diǎn)，OB和OA垂直，且線段AB長(zhǎng)為5屈，求P的值.解析：設(shè)點(diǎn)AB分另fj為(2ptA2,2pta),(2ptB2,2ptB),貝UtA=,tB=kOA=-2kOA2kOBAB的坐標(biāo)分別為'pp|(8p,-4p).7AB+(p+4pJ=：/T3p=5/13.p=2.練習(xí):1 .過(guò)拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p,q,則：1=故：1=4a】

4、pqpq2 .設(shè)拋物線y2=2px(pA0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于AB兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/x軸.證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.【證明：拋物線焦點(diǎn)為F.S,0j.設(shè)直線AB的方程為x=myM,22，代入拋物線方程，得y2-2pmy-p2=0.若設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),則yiy2=-p2.B。軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線kcO；yi又由yf=2pxi,得kA。=*="，故丘=kAO,即直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.】xiyi3.已知拋物線的焦點(diǎn)是F(1,1),準(zhǔn)線方程是xy.2=0,求拋物線的方程以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程.【解：設(shè)P(x,y)是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線

5、的定義得J(x1)2+(y1)2X2十2|.整理，得x2+y2.2xy.8x_8y=0,此即為所求拋物線的方程.拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)是過(guò)焦點(diǎn)F(1,1)且與準(zhǔn)線x+y+2=0垂直的直線，因此有對(duì)稱軸方程y=x.設(shè)對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M,可求得M(1,1),于是線段MF的中點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，坐標(biāo)是(0Q)】1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(1,0),準(zhǔn)線l的方程是x2y2=0,試求該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程.解：依題意，拋物線的對(duì)稱軸方程為2x+y-2=0.設(shè)對(duì)稱軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)是M,可以求得M色,/j.設(shè)焦點(diǎn)為F,則FM的中55，點(diǎn)是A,故得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fa2j.再設(shè)P(x,y)是拋物線上的任一點(diǎn)，根據(jù)55拋物線的定義得jl，hy_=R