第7章 平面彎曲梁的變形與剛度計(jì)算教學(xué)課件

1、第7章 平面彎曲梁的變形與剛度計(jì)算梁的撓曲線近似微分方程7.1積分法求梁的變形7.2疊加法求梁的變形7.3梁的剛度計(jì)算7.4簡(jiǎn)單超靜定梁的計(jì)算7.57.1 梁的撓曲線近似微分方程如圖所示簡(jiǎn)支梁，在集中力作用下產(chǎn)生平面彎曲變形，其軸線由直線變?yōu)槠矫媲€。彎曲變形后的軸線仍在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，是一根光滑的平面曲線，該曲線稱為梁的撓曲線。梁的變形，可以用梁中各個(gè)橫截面的位移來度量。橫截面形心在v方向的線位移，稱為該截面的撓度，用v表示。橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為該截面的轉(zhuǎn)角，用表示。規(guī)定：撓度向下為正；轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎隙群娃D(zhuǎn)角可作為度量梁變形的兩個(gè)基本量。7.1 梁的撓曲線近似微分方

2、程一般情況下，梁的各橫截面的撓度、轉(zhuǎn)角是不相同的，撓度、轉(zhuǎn)角均為x的函數(shù)：( )vv x( ) x撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程tandvvdx 小變形條件下橫力彎曲梁（l 10h) 仍有1MEI1( )( )M xxEI平面曲線的曲率在數(shù)學(xué)上可寫作 3/2211vxv 純彎曲梁的曲率為7.1 梁的撓曲線近似微分方程由于梁的變形很小，撓曲線很平坦，v2可略去，撓曲線近似微分方程： M xvEI 在圖示坐標(biāo)系中,負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)于正值v，正彎矩對(duì)應(yīng)于負(fù)值的v，故式中有一負(fù)號(hào)。1( )( )M xxEI 3/2211vxv 7.2 積分法求梁的變形 M xvEI 對(duì)等直梁，EI=常數(shù) dEIEIvM xxC ddE

3、IvM xxxCxD 轉(zhuǎn)角方程撓度方程0,0,0 xvv0,0,0 xvxlv若梁上的荷載不連續(xù)，梁的彎矩方程需分段寫。而對(duì)各段梁的近似微分方程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的邊界條件外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條件。1212,xavvvv a7.2 積分法求梁的變形【例7.1】如圖所示的等截面懸臂梁，受均布荷載q作用，設(shè)EI為常數(shù)。求梁自由端B截面的撓度和轉(zhuǎn)角?！窘狻浚呵罅旱膿锨€近似微分方程求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程求B截面的撓度和轉(zhuǎn)角22( )(0)22qlqxM xqlxxl22( )1( )()22M xqlqxv xqlxEIEI 2231(

4、)( )()226qlxql xqx xv xCEI 32241( )()6424qlxql xqxv xCxDEI 確定積分常數(shù)0 x (0)0v(0)0v0C 0D xl3( )6Bql lEI4( )8Bqlvv lEI7.2 積分法求梁的變形【例7.2】用積分法求如圖所示簡(jiǎn)支梁C截面的撓度vC和轉(zhuǎn)角C?！窘狻浚呵罅旱膿锨€近似微分方程求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段0 xl 14qlMxx 1114MxqlvxxEIEI CB段2lxl 2242qlqMxxxl 2221142MxqlqvxxxlEIEIEI AC段CB段 21111( )8ql xvxxCEI 3111124qlvxx

5、C xDEI 3222211( )86qlqxvxxxlCEIEI 43222112424qlqvxxxlC xDEIEI 7.2 積分法求梁的變形【例7.2】用積分法求如圖所示簡(jiǎn)支梁C截面的撓度vC和轉(zhuǎn)角C。【解】：求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角確定積分常數(shù)邊界條件：0 x 100v2xl220vl 變形連續(xù)條件：xl 12v lvl 12v lvl代入，得312748qlCCEI120DD3321784848CqlqlqllEIEIEI 343175244848CqlqlqlvllEIEIEI xl7.3 疊加法求梁的變形從積分法計(jì)算梁的變形可知，在梁的變形微小并且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁的

6、變形與作用于梁上的荷載成線性關(guān)系。當(dāng)梁上同時(shí)受到多個(gè)荷載作用時(shí)，每個(gè)荷載引起的梁的變形不受其它荷載的影響。梁的變形滿足線性疊加原理，即：在多個(gè)荷載共同作用時(shí)引起的梁的變形，等于各個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)引起的梁的變形的代數(shù)和。在簡(jiǎn)單荷載(集中力，集中力偶，分布荷載)作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式，以及簡(jiǎn)支梁跨中撓度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式已在本教材的表7.1中以及一些手冊(cè)中給出。根據(jù)這些資料靈活運(yùn)用疊加原理，往往可較方便地計(jì)算復(fù)雜荷載情況下梁的指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。7.3 疊加法求梁的變形梁的簡(jiǎn)圖梁端截面轉(zhuǎn)角最大撓度BMlEI22BMlvEI22BFlEI33BFlvEI36BqlEI48Bql

7、vEI324ABqlEI 45384BqlvEI3BMlEI 2/216lMlvEI6AMlEI3/248lFlvEI216ABFlEI 7.3 疊加法求梁的變形【例7.3】簡(jiǎn)支梁如圖所示。試用疊加法求跨中C截面的撓度和支座B截面的轉(zhuǎn)角，設(shè)EI為常數(shù)?！窘狻浚簩⒘荷虾奢d分解為均布荷載q和集中力偶Me兩種簡(jiǎn)單荷載根據(jù)疊加原理查表得45384CqqlvEI324BqqlEI 241616eeCMM lqlvEIEI333eeBMM lqlEIEI 44452938416384eCCqCMqlqlqlvvvEIEIe2233q-2438BBqBMqlMllEIEI 7.3 疊加法求梁的變形【例7.4

8、】試用疊加法求如圖所示懸臂梁C截面的撓度vC，已知EI為常數(shù)。【解】：先將梁上均布荷載延長(zhǎng)至梁的左端，并在延長(zhǎng)段上增加等值反向的均布荷載，再將受力分解為兩種情況根據(jù)疊加原理查表得418CqlvEI442( )28128BlqqlvEIEI 332( )2648BlqqlEIEI 43422272128482384CBBlqlqllqlvvEIEIEI 444127418384384CCCqlqlqlvvvEIEIEI7.4 梁的剛度計(jì)算在梁的設(shè)計(jì)中，不僅要求梁有足夠的強(qiáng)度，還要求梁有足夠的剛度，即要把梁的變形控制在工程許可的范圍內(nèi)。在土木工程中，通常對(duì)梁的撓度加以限制，例如房屋或橋梁結(jié)構(gòu)中的梁

9、若撓度過大，均會(huì)影響其正常使用。梁的剛度條件為：式中：l為跨長(zhǎng)， 為許可的撓度與跨長(zhǎng)之比(簡(jiǎn)稱許可撓跨比)。maxvfllfl7.4 梁的剛度計(jì)算【例7.5】承受均布荷載的工字鋼梁如圖所示。跨長(zhǎng)l=6m，均布荷載q=10kN/m，鋼材的許用應(yīng)力=160MPa，彈性模量E=2105MPa， 。試選擇工字鋼型號(hào)。【解】：選擇工字鋼型號(hào)校核梁的剛度1200fl22max1110kN/m (6m)45kN m88Mql 3433max645 10 N m2.81 10 m281cm160 10 PazMW查附錄型鋼規(guī)格表，選用22a號(hào)工字鋼3309cmzW 43400cmz 4max5384qlvEI

10、33max568455 10KN/m (6m)11384384 2 1010 Pa3400 10 m242400vqlflEIl 所以，選用22a號(hào)工字鋼可滿足強(qiáng)度和剛度要求。7.5 簡(jiǎn)單超靜定梁的計(jì)算與軸向拉（壓）、扭轉(zhuǎn)超靜定問題相仿，在超靜定梁中，同樣存在多余約束。求解超靜定梁時(shí)，除列出梁的平衡方程外，還要由梁的變形條件和物理關(guān)系得到補(bǔ)充方程，與平衡方程聯(lián)立求出所有的未知力。7.5 簡(jiǎn)單超靜定梁的計(jì)算【例7.6】求圖示超靜定梁的約束力。設(shè)EI為常數(shù)?！窘狻浚涸摿簽橐淮纬o定梁，可將B處的可動(dòng)鉸支座視為多余約束，F(xiàn)B 視為多余約束力。代入得0BBBqBFvvv變形協(xié)調(diào)條件48BqqlvEI33BBBFF lvEI 38BFql利用靜力平衡條件得查表得0AxF5( )8AyFql28AqlM（ ）p 本章小結(jié) 梁的變形用橫截面的撓度v和轉(zhuǎn)角來衡量。撓度向下為正；轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。在小變形條件下，轉(zhuǎn)角很小，轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系為： 積分法是計(jì)算梁變形的基本方法，用到梁的撓曲線近似微分方程，其表達(dá)式為： 積分一次得轉(zhuǎn)角方程為 積分兩次，得撓曲線方程為 積分常數(shù)C、D利用梁的邊界條件和變形連續(xù)條件確定。tanv( )M xvEI 1( )vM x dxCEI 1( )vM x dx dxCxDEI p 本章小結(jié) 疊加法在工程計(jì)算中有實(shí)用意義，梁的變形（撓度v和轉(zhuǎn)