第六章多元函數(shù)微分學(xué)

1、第六章 多元函數(shù)微分學(xué)第六章 多元函數(shù)微分學(xué)大綱要求數(shù)一1. 理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).3. 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.4. （數(shù)一）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法.5. 掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法.6. 了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).7. （數(shù)一）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程.8. 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式.9. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌

2、握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.數(shù)二1. 了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3. 了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)求全微分，了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)4. 了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最

3、大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題數(shù)三1. 了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3. 了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念,會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)求全微分,會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)4. 了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題§1多元函數(shù)極限與連續(xù)一、基本概念1、多元函數(shù)定義 設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集稱映射為定義在上的二元函數(shù)，通常記為

4、 ，（或，）其中點(diǎn)集稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量數(shù)集稱為該函數(shù)的值域幾何意義 的圖形是一張曲面.多元函數(shù)的極限定義 設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)?，是的聚點(diǎn)如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點(diǎn)時(shí)，都有 成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作 ， 或 （）為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限注意 所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時(shí)，函數(shù)都無限接近于因此，如果以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于時(shí)，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)的極限存在但是反過來，如果當(dāng)以不同方式趨于時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)在該點(diǎn)的極

5、限不存在下面用例子來說明這種情形考察函數(shù)顯然，當(dāng)點(diǎn)沿軸趨于點(diǎn)時(shí)，；又當(dāng)點(diǎn)沿軸趨于點(diǎn)時(shí)，雖然點(diǎn)以上述兩種特殊方式(沿軸或沿軸)趨于原點(diǎn)時(shí)函數(shù)的極限存在并且相等,但是并不存在這是因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)沿著直線趨于點(diǎn)時(shí),有，顯然它是隨著的值的不同而改變的例 計(jì)算下列極限（1） （2） 解 =2、多元函數(shù)的連續(xù)定義 設(shè)函數(shù)在開區(qū)域（閉區(qū)域）內(nèi)有定義，是聚點(diǎn)，且如果,則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么就稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，或者稱是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)我們指出：一元函數(shù)中關(guān)于極限的運(yùn)算法則，對(duì)于多元函數(shù)仍然適用，根據(jù)多元函數(shù)極限運(yùn)算法則，可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的商在分母

6、不為零處仍連續(xù)，多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。與一元初等函數(shù)相類似，多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子表示的，由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合而得到。由以上可知，一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或者閉區(qū)域。與閉區(qū)域上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)性質(zhì)1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在上有界，且在上一定有最大值和最小值這就是說，在上至少有一點(diǎn)及一點(diǎn)，使得為最大值而為最小值，即對(duì)于一切PD, 有性質(zhì)2（介值定理） 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于最大值

7、和最小值之間的任何值二、典型例題例1 證明下列極限不存在（1） （2） 【證明】（1）取直線，讓點(diǎn)沿直線趨于點(diǎn)，此時(shí)有.則重極限不存在.（2）設(shè)P(x,y)沿直線趨于點(diǎn)（0，0） ，所以上述極限不存在。例2 求下列極限（1）.（2） （3） 【解】1. 由于，而，由夾逼原理知.2方法1 將分子有理化原式又而，于是原極限方法2 當(dāng)，時(shí)，則原式.3方法1 由于，即為有界量，而，即為無窮小量，則原式.方法2 由于（當(dāng)，時(shí)），由夾逼原理知.習(xí)題6-11、 求下列函數(shù)的定義域。（1）（2）（3）2、求下列各極限。（1）（2）（3）3、證明下列極限不存在：（1）（2）§2偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、基本概

8、念1、偏導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在而在處有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量, 如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記作, , 或 幾何意義 設(shè)為曲面上的一點(diǎn)，過作平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面上的方程為，則導(dǎo)數(shù)即偏導(dǎo)數(shù),就是這曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率同樣，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率注意 對(duì)于多元函數(shù)來說，偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)存在，不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于時(shí)，函數(shù)值趨于,但不能保證點(diǎn)按任何方式趨于時(shí)，函數(shù)值都趨于 例如，函數(shù)在點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)為同樣有但是我們?cè)诘谝还?jié)中已經(jīng)知道這函

9、數(shù)在點(diǎn)并不連續(xù)2、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù), ,那么在D內(nèi) 、都是的函數(shù)如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：= , =,= , =其中第二、三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)同樣可得三階、四階、以及階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)例1 設(shè)，求證：【證明】 因?yàn)?, ,所以 例2 證明函數(shù)，滿足方程+=0 ，其中.【證明】 =·=, =+·=+由于函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性，所以=+,=+.因此定理 如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等3、 全微

10、分定義 如果函數(shù)在點(diǎn)的全增量可表示為，其中、不依賴于、而僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)可微分，而稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記作，即由于，而意味著函數(shù)連續(xù)，因此有下面結(jié)論。如果函數(shù)在點(diǎn)可微分， 則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)定理1（必要條件） 如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在，且函數(shù)在點(diǎn)的全微分為=+定理2（充分條件） 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分例3 計(jì)算函數(shù)的全微分【解】 因?yàn)?, , ,所以 =( ) +4、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（1）設(shè)在點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而在相應(yīng)點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 （A）（2）設(shè)在點(diǎn)x 處可導(dǎo)，在相應(yīng)點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在

11、點(diǎn)x 處可導(dǎo)，且 （B）（3）設(shè)在點(diǎn)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，而在相應(yīng)點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （C）注意1、公式（A）(C)不必刻意去記，但要徹底理解.可用圖示法 設(shè)可導(dǎo),在相應(yīng)點(diǎn)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則2、函數(shù)對(duì)某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu) （i）項(xiàng)數(shù)=中間變量的個(gè)數(shù)， (ii) 每一項(xiàng)函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)該中間變量對(duì)其指定自變量的偏導(dǎo)數(shù). 3、抽象半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo)是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，應(yīng)注意對(duì)求完偏導(dǎo)后仍是的函數(shù)，復(fù)合關(guān)系不變。例4 設(shè)，而，求和?！窘狻?由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t，有 5、全微分形式不變性 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分如果、又是、的函數(shù)、，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為由

12、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，將公式代入上式，得由此可見，無論z是自變量u、v的函數(shù)或者中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性。6、多元隱函數(shù)求導(dǎo)（1） 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（i）設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)，且由方程確定隱函數(shù)，則 (ii) 設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)，且由方程確定隱函數(shù)，則方法:公式: 等式兩邊求導(dǎo)： +=0, +=0.（2） 由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由四個(gè)變量?jī)蓚€(gè)方程所構(gòu)成的方程組，一般是其中兩個(gè)變量確定為另兩個(gè)變量的二元函數(shù). 設(shè)由所確定方法:等式兩邊求導(dǎo) 在條件下，解關(guān)于 的線性方程組。例5 設(shè)，求,和【解】 將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 在的條

13、件下， ， 將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)，用同樣方法在的條件下可得 二、典型例題例1、 證明在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在, 但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連續(xù), 而在點(diǎn) (0,0) 可微 .【證明】（1）因?yàn)?所以 故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ; （2）同理 （3）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)沿射線趨于（0，0）時(shí)， 極限不存在，所以在點(diǎn)（0，0）不連續(xù)； 同理，在點(diǎn)（0，0）也不連續(xù)。 （4）由于 因此，函數(shù)在點(diǎn)可微。例2、設(shè)則在點(diǎn)（ ）（A）不連續(xù)； （B）連續(xù)但不可導(dǎo)； （C）可導(dǎo)但不可微； （D）可微.【解】 由于，則在連續(xù)，故（A）不正確.由偏導(dǎo)數(shù)定義知，但 不存在，因?yàn)榕c有關(guān)，故在點(diǎn)不可微，應(yīng)選（

14、C）.例3、二元函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處可微的一個(gè)充分條件是（ ）（A）. （B），且.（C）.（D），且.【解法1】 排除法 因?yàn)檫B續(xù)和可導(dǎo)都不是可微的充分條件，則（A）（B）都不正確；（D）也不正確，例如對(duì) ，且.但在點(diǎn)不可微，因?yàn)樵邳c(diǎn)不連續(xù)，故應(yīng)選（C）。【解法2 】 直接法 由知 則 ，同理則在點(diǎn)處可微，故 應(yīng)選（C）。例4、設(shè),求和.【解】 由于 則 不存在；而例5、已知 【解】 由偏導(dǎo)數(shù)定義得例6、設(shè),則 【答案】 .例7、（抽象函數(shù)）設(shè)【答案】例8、設(shè) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 【答案】例 9、設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 【答案】 例10、設(shè)方程確定函數(shù)，其中可微，求?！窘狻糠?/p>

15、法一：方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo) ， ， 方法二：令，有 由隱函數(shù)求偏導(dǎo)的公式得 方法三：對(duì)方程兩邊求微分，有 于是 ， 所以 ，例11、設(shè)【解】所給的方程組中含有五個(gè)變量從所求的結(jié)果中明顯看出是因變量，是自變量，究竟是因變量，還是自變量呢?在這種所求偏導(dǎo)是一階，而又有一變量的屬性不太明確的情況下，用全微分形式不變性來處理比較簡(jiǎn)便 的兩邊求全微分，得 習(xí)題6-21、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)的（ ） (A)充分但非必要條件 (B)必要但非充分條件 (C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件2、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和都存在，則（ ） (A)存在 (B)及都存在 (C)在點(diǎn)(，)處必連

16、續(xù) (D)在點(diǎn)(，)處必可微3、二元函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處（ ） (A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在 (C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在 (D)不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在4、若，則（ ） (A) (B) (C) (D)5、下列所給條件中，使復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t成立的是（ ） (A)zf(u，v)且u(x，y)，v(x，y)都可偏導(dǎo) (B)zf(u，v)可偏導(dǎo)，u(x，y)，v(x，y)都可微 (C)zf(u，v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u(x，y)，v(x，y)都可偏導(dǎo) (D)zf(u，v)可偏導(dǎo)，u(x，y)，v(x，y)都連續(xù)6、已知函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)(1，2)處可微，且f(1，2)1，設(shè)函數(shù)(x

17、)f(x，2f(x，2x)，則'(1)等于（ ） (A)25 (B)50 (C)75 (D)1007、設(shè)二元函數(shù)U(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且dUP(x，y)dxQ(x，y)dy，則等于（ ） (A)2 (B)1 (C)0 (D)18、已知函數(shù)對(duì)任何x與y成立，則等于（ ） (A)2x2y (B)2x2y (C)xy (D)xy9、設(shè)uf(r)，而，f(r)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則等于 10、設(shè)函數(shù)F(u，v)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且方程確定隱函數(shù)zz(x，y)，則等于 11、由方程所確定的函數(shù)zz(x，y)在點(diǎn)(0，1，1)處的全微分dz等于 12、設(shè)，其中yy(x)是由方程確定的隱函

18、數(shù)，且y(1)1，則z"(1)等于 13、設(shè)方程F(x，y，z)0確定隱函數(shù)zz(x，y)若已知F(x，y，z)可微，且，z(1，1)1和，則14、設(shè)函數(shù)f(x，y)滿足條件，且f(x，0)1，則f(x，y)等于 15、設(shè)zz(x，y)由方程確定，f可微，則等于 16、 設(shè)zxf(xy)yg(xy)，其中f與g有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則等于 §3多元函數(shù)極值一、 基本概念1、 極值定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，如果都適合不等式（或），則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值（或極小值）定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：

19、定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令，則在處是否取得極值的條件如下：(1) 時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；(2) 時(shí)沒有極值；(3) 時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：第一步 解方程組，求得一切實(shí)數(shù)解，即可以得到一切駐點(diǎn)第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)，B和C第三步 定出的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定是否是極值、是極大值還是極小值例1 求函數(shù)的極值【解】 先解方程組 求得駐點(diǎn)為（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1,0) 處

20、，又，所以函數(shù)在處有極小值；在點(diǎn)(1,2) 處，所以(1,2)不是極值；在點(diǎn)(-3,0) 處，所以(-3,0)不是極值；在點(diǎn)(-3,2) 處，又所以函數(shù)在(-3,2)處有極大值(-3,2)=312、 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法上面所討論的極值問題對(duì)于函數(shù)的自變量除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，并無其它條件，這類極值稱為無條件極值但在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題稱為條件極值拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)造輔助函數(shù) 其中為某一常數(shù)求其對(duì)與的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程聯(lián)立由這方程組解出，及，則其中，就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)注

21、意 （1）此方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形（2）如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定例2 求表面積為的長(zhǎng)方體的最大體積【解】設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為，則問題就是在條件下，求函數(shù) 的最大值構(gòu)造輔助函數(shù)求其對(duì)、z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到再與條件方程聯(lián)立求解因都不等于零，所以可得，由以上兩式解得.將此代入式，便得 這是唯一可能的極值點(diǎn)因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得也就是說，表面積為的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為的正方體的體積為最大，最大體積二、典型例題例1、求由方程所確定函數(shù)的極值.【解法1】由得在上式中令得，將，代入

22、原方程得和.即駐點(diǎn)為和等式兩端分別對(duì)求導(dǎo)得，.從而可得 .等式 兩端對(duì)求導(dǎo)得從而可得 .則（1）在點(diǎn)處，且，則函數(shù)在該點(diǎn)取極大值，極大值.(2) 在點(diǎn)處，且，則函數(shù)在該點(diǎn)取極小值，.【解法2】 將方程配方得.從而有 .由此可見，時(shí)取得極大值為，取得極小值例2、求函數(shù)在約束條件和下的最大和最小值.【解】令 由 得 故，所求最大值為最小值為例3、設(shè)某廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為(千只),其利潤(rùn)函數(shù)為,如果現(xiàn)有原料15000公斤(不要求用完),生產(chǎn)兩種產(chǎn)品每千只都需要原料2000公斤,求1) 使利潤(rùn)最大的和最大利潤(rùn). 2) 如果原料降至12000公斤,求這時(shí)利潤(rùn)最大的產(chǎn)量和最大利潤(rùn). 【解】 1）

23、由 得即點(diǎn)為唯一可能取得極值的點(diǎn)，由該問題已知最大值存在，則最大值只能在點(diǎn)取到，（萬元）2）如果原料降至12000公斤，問題變?yōu)闂l件極值，令,由 得即點(diǎn)為在條件下唯一可能取得極值的點(diǎn)，由該問題已知該最大值存在，則最大值只能在點(diǎn)取到，習(xí)題6-31、和是函數(shù)zz(x，y)在點(diǎn)處取得極值的( ) (A)必要條件但非充分條件 (B)充分條件但非必要條件 (C)充要條件 (D)既非必要也非充分條件2、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是（ ） (A)在處導(dǎo)數(shù)等于零 (B)在處的導(dǎo)數(shù)大于零 (C)在處的導(dǎo)數(shù)小于零 (D)在處的導(dǎo)數(shù)不存在3、設(shè)在全平面上有則能保證成立的條件是（ ） (A

24、) (B) (C) (D)4、 設(shè)，則下面結(jié)論正確的是（ ） (A)點(diǎn)(0，0)是f(x，y)的極大值點(diǎn) (B)點(diǎn)(2，2)是f(x，y)的極小值點(diǎn) (C)點(diǎn)(2，2)是f(x，y)的極大值點(diǎn) (D)點(diǎn)(0，0)是f(x，y)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)5、設(shè)函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則（ ） (A)點(diǎn)(0，0)是函數(shù)f(x，y)的極大值點(diǎn) (B)點(diǎn)(0，0)是函數(shù)f(x，y)的極小值點(diǎn) (C)點(diǎn)(0，0)不是函數(shù)f(x，y)的極值點(diǎn) (D)題設(shè)條件不足以判定點(diǎn)(0，0)是否函數(shù)f(x，y)的極值點(diǎn)6、函數(shù)在圓域上的最大值與最小值分別是（ ） (A)200，25 (B)180，0

25、 (C)205，15 (D)190，107、曲面到原點(diǎn)(0，0，0)的距離d（ ） (A)1 (B)2 (C) (D)48、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x，y單位時(shí)，總成本為，若兩種產(chǎn)品的銷售價(jià)格分別為4，8時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，則該工廠能取得的最大利潤(rùn)為（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)69、某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q與原材料A，B，C的數(shù)量x，y，z(單位均為噸)滿足Q0.05xyz，已知A，B，C的價(jià)格分別是3，2，4(百元)若用5400元購(gòu)買A，B，C三種原材料，則使產(chǎn)量最大的A，B，C的采購(gòu)量分別為：（ ） (A)6，9，4.5(噸) (B)2，4，8(噸) (C)2，3，6(噸

26、) (D)2，2，2(噸)10、已知函數(shù)的全微分，并且. 求在橢圓域上的最大值和最小值.§4 多元函數(shù)微分的幾何應(yīng)用、方向?qū)?shù)與梯度（數(shù)一）一、空間曲線在某點(diǎn)處的切線和法平面方程 （1）設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 曲線上一點(diǎn)，則曲線在該點(diǎn)的切線與法平面方程分別為 （2）設(shè)空間曲線的一般式方程為 則曲線在處切線和法平面方程分別為其中為雅可比行列式.例1 求曲線,在點(diǎn) (1,-2,1)處的切線及法平面方程【解】 將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 由此得 從而 故所求切線方程為 法平面方程為 ,即 二、空間曲面在其上某點(diǎn)處的切平面和法線方程 （1）設(shè)曲面為顯式方程 ，則過上一點(diǎn)的切平面與法線方程分別為其中為對(duì)應(yīng)的平面上的一點(diǎn). （2）設(shè)曲面為隱式方程 ，則過上一點(diǎn)的切平面和法 線方程分別為例2 求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程【解】 () =, 所以在點(diǎn)(1,2,3)處此球面的切平面方程為 即 法線方程為即 由此可見，法線經(jīng)過原點(diǎn)(即球心)三、方向?qū)?shù)的概念 設(shè)是平面上以為始點(diǎn)的一條射線，是與同方向的單位向量，射線的參數(shù)方程為方向?qū)?shù)定義 設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，為從點(diǎn) 出發(fā)的射線，為上且含于內(nèi)的任一點(diǎn)，以表示與兩點(diǎn)間的距離。若極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿方向的