基本不等式的應(yīng)用（文）

1、基本不等式的應(yīng)用 教學(xué)目的：1進一步掌握均值不等式定理；2會應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值；3能夠解決一些簡單的實際問題 教學(xué)重點：均值不等式定理的應(yīng)用教學(xué)難點：解題中的轉(zhuǎn)化技巧課時安排：3課時教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入：1基本不等式：如果2基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么3. 我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù).3. 常用不等式設(shè)均為正數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號）二、新課探究引例 已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)xy時，和xy有最小值2； （2）如果和xy是定值S，那么當(dāng)xy時，積xy有最大值S2證明：因為x，y都是正數(shù)，所以 （1）積xy為定值P時，有 xy2上式當(dāng)x

2、y時，取“”號，因此，當(dāng)xy時，和xy有最小值2（2）和xy為定值S時，有 xy S 2上式當(dāng)x=y時取“”號，因此，當(dāng)x=y時，積xy有最大值S 2說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；）等號成立條件必須存在。 利用均值不等式求最值條件為：一正、二定、三相等例1：求函數(shù)的yx最小值(如果改變x的范圍呢？) 思考: 當(dāng)x0呢？呢？介紹：函數(shù)yx的圖象及單調(diào)區(qū)間例2. 已知函數(shù)y = (3x2)（13x）（1）當(dāng)x時，求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)0x時，求函數(shù)的最大、最小值。例3. 設(shè)，且，求的最大值；練

3、習(xí)：1. 已知x + y = 2，求 2 x2 y的最小值。2. 若且，求的最小值；3. 求下列函數(shù)的最大值（1）y2x（12x）（0x） （2）y2x（13x）（0x）4設(shè)0x2，求函數(shù)f(x)=的最大值，并求出相應(yīng)的x值例4.已知x2y1，求 的最小值提示: 代一法練習(xí). 已知a，b為正實數(shù)，且的最小值例5. 求下列函數(shù)的最值1. yx的最小值2. yx（x1）的最小值3.的最小值4. 的最小值5. y=x2(x0)的最小值6. (x0)的最大值7. 的最小值練習(xí): 1. 求函數(shù) y = 的值域2. 求函數(shù)y = 的值域。 解 : 當(dāng)x10時，令t = 則問題變?yōu)椋簓 = ，t（，2121

4、，+） y，0）（0，又x1 = 0時，y = 0 即y ，三課堂小結(jié)一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和為常數(shù)，要注意定理及變形的應(yīng)用。 第三課時 基本不等式的實際應(yīng)用一練習(xí)反饋請同學(xué)們舉例說明基本不等式能求哪些類型的最值問題二例題分析例1、如圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面課外利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，（1）現(xiàn)有可圍36長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時？可使每間虎籠面積最大?(2)若使每間虎籠面積為24，則每間虎籠的長寬給設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？例2： 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800

5、m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得當(dāng)因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件我們應(yīng)用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理(即均值不等式)順利解決了本

6、章引例中的問題用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案練習(xí)： 一段長為 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?分析：均值不等式在實際問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過程中要(1)先構(gòu)造定值，(2)建立函數(shù)關(guān)系式，(3)驗證“”號成立，(4)確定正確答案解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長為（2x）m，其中0x，其面積Sx（2x）

7、83;2x（2x）當(dāng)且僅當(dāng)2x2x，即x時菜園面積最大，即菜園長m，寬為 m時菜園面積最大為 m2解法二：設(shè)矩形的長為x m，則寬為m，面積S（m2）當(dāng)且僅當(dāng)xx，即x（m）時，矩形的面積最大也就是菜園的長為m，寬為m時，菜園的面積最大，最大面積為m2例3如圖，在ABC中，C90°，AC3，BC4，一條直線分ABC的面積為相等的兩部分，且夾在AB與BC之間的線段最短，求此線段長分析：本題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取變量表示夾在AB與BC之間的線段EF，同時考慮到題設(shè)中的等量關(guān)系，即SBFSAB，因此，所選變量還應(yīng)便于求兩個三角形的面積，于是考慮設(shè)BEx，BFy解：設(shè)BEx，BFy(0x4，0y），則SBFBE·BFsinBxysinB又SABBC·AC×3×46依題意可知：SBEFSABC xysinB×63sinB，xy10 又cosB在BEF中，由余弦定理得：EF2BE2BF22BE·BF·cosBx2y22xy·x2y2162xy164，當(dāng)且僅當(dāng)xy時，等號成立故此時線段EF的長為2評