粘性流體動力學基礎

1、第七章第七章 粘性流體動力學基礎粘性流體動力學基礎 我們知道，我們知道，任何流體都是有粘性的任何流體都是有粘性的?，F(xiàn)在也發(fā)現(xiàn)，有些流體在極?，F(xiàn)在也發(fā)現(xiàn)，有些流體在極低的溫度條件下會出現(xiàn)超流現(xiàn)象（如同超導一樣），此時流體的粘性低的溫度條件下會出現(xiàn)超流現(xiàn)象（如同超導一樣），此時流體的粘性為零。但我們不去關注這些物理現(xiàn)象，把我們的注意力集中在通常時為零。但我們不去關注這些物理現(xiàn)象，把我們的注意力集中在通常時間空間和工程條件的規(guī)定的范圍內，所以可以有上述的結論。間空間和工程條件的規(guī)定的范圍內，所以可以有上述的結論。 在第四章（積分方程）和第五章（微分方程）基本方程的推導過在第四章（積分方程）和第五章（

2、微分方程）基本方程的推導過程中，我們盡量避免限制條件的引入，以使所建立的數(shù)學模型具有廣程中，我們盡量避免限制條件的引入，以使所建立的數(shù)學模型具有廣泛的適用性。但在應用時卻又無一例外的加上了理想流體的限制，粘泛的適用性。但在應用時卻又無一例外的加上了理想流體的限制，粘性仿佛成了使人望而生畏的東西。那么人們?yōu)槭裁磿務成?，他肯性仿佛成了使人望而生畏的東西。那么人們?yōu)槭裁磿務成儯隙〞α鲃舆^程產生影響，那么這種影響又是什么。怎樣建立描述粘定會對流動過程產生影響，那么這種影響又是什么。怎樣建立描述粘性流體流動過程的封閉方程組，以及在流動過程中的合理簡化方程并性流體流動過程的封閉方程組，以及在

3、流動過程中的合理簡化方程并獲得解，等等。這些將使我們在這一章要開始接觸的問題。當然，粘獲得解，等等。這些將使我們在這一章要開始接觸的問題。當然，粘性流動工程問題的解決，我們更多的還是依賴于經(jīng)驗，而性流動工程問題的解決，我們更多的還是依賴于經(jīng)驗，而80年代以年代以后迅速發(fā)展的計算流體動力學也為我們提供了有力的武器。后迅速發(fā)展的計算流體動力學也為我們提供了有力的武器。 第一節(jié)第一節(jié) 流動的粘性效應流動的粘性效應 在理想流體的假設下，我們通過求解位勢流動的拉普拉斯方程組在理想流體的假設下，我們通過求解位勢流動的拉普拉斯方程組可以得到一些流動圖畫。由于流體都是有粘性的，所以我們在實驗條可以得到一些流動

4、圖畫。由于流體都是有粘性的，所以我們在實驗條件下的到的，總是粘性流體流動的真實圖畫，那么兩者之間有什么區(qū)件下的到的，總是粘性流體流動的真實圖畫，那么兩者之間有什么區(qū)別，粘性又會產生怎么樣的影響呢？下面我們通過幾個典型流場來討別，粘性又會產生怎么樣的影響呢？下面我們通過幾個典型流場來討論這一問題，以建立初步的認識。論這一問題，以建立初步的認識。 這里，粘性在流動過程中的影響大小可用雷諾數(shù)來定性的表述，這里，粘性在流動過程中的影響大小可用雷諾數(shù)來定性的表述，雷諾數(shù)的定義為：雷諾數(shù)的定義為：其其物理意義是慣性力與粘性力的比值物理意義是慣性力與粘性力的比值。不可壓縮粘性流動過程的運。不可壓縮粘性流動過

5、程的運動方程為：動方程為：上式是無量綱形式的粘性運動方程，關于無量綱化過程將在討論相似上式是無量綱形式的粘性運動方程，關于無量綱化過程將在討論相似理論再論述。由于雷諾數(shù)理論再論述。由于雷諾數(shù)=慣性力慣性力/粘性力，可知當粘性力，可知當Re時，粘性力時，粘性力的影響趨向于零，方程退化為理想流體的運動方程的影響趨向于零，方程退化為理想流體的運動方程歐拉方程。當歐拉方程。當Re0時，慣性力的影響趨向于零，方程退化為關于速度場的拉普拉時，慣性力的影響趨向于零，方程退化為關于速度場的拉普拉斯方程。實際的流動過程，雷諾數(shù)總是在大于零而小于無窮的范圍內。斯方程。實際的流動過程，雷諾數(shù)總是在大于零而小于無窮的

6、范圍內。那么，雷諾數(shù)在由那么，雷諾數(shù)在由0 變化的過程中，流動現(xiàn)象是不是也在由粘性變化的過程中，流動現(xiàn)象是不是也在由粘性流動的圖畫向理想流動的圖畫變化呢？流動的圖畫向理想流動的圖畫變化呢？一、圓柱繞流一、圓柱繞流 利用流場疊加法，均直流利用流場疊加法，均直流+ +偶極子，求得理想流體作圓柱繞流的偶極子，求得理想流體作圓柱繞流的流場，流譜左右和上下對稱。當流場，流譜左右和上下對稱。當ReRe很小時，這時慣性力相對粘性力很很小時，這時慣性力相對粘性力很小，可忽略慣性力。可得到粘性流場的精確解，如圖。從流譜圖上看，小，可忽略慣性力。可得到粘性流場的精確解，如圖。從流譜圖上看，兩者非常接近。兩個極限情

7、況圖畫是很相似的，但在細節(jié)上還是有不兩者非常接近。兩個極限情況圖畫是很相似的，但在細節(jié)上還是有不同的。同的。1 1，速度分布如圖。，速度分布如圖。2 2，壓力分布的左右不對稱。，壓力分布的左右不對稱。 這不是問題的主要方面，問題是，真實流動隨著這不是問題的主要方面，問題是，真實流動隨著ReRe的增大，流譜會發(fā)的增大，流譜會發(fā)生顯著變化：分離生顯著變化：分離( (回流區(qū)回流區(qū))對稱旋渦脫落對稱旋渦脫落層流卡門渦街層流卡門渦街湍流渦湍流渦核核湍流卡門渦街湍流卡門渦街湍流分離在附湍流分離在附湍流渦街重建。湍流渦街重建。 邊界層（附面層）分離邊界層（附面層）分離貓眼貓眼卡門渦街的故事卡門渦街的故事高爾

8、夫球的故事高爾夫球的故事二、二元翼形繞流二、二元翼形繞流 與圓柱繞流一樣，可以有多種方法求出理想流體二元翼型繞流的與圓柱繞流一樣，可以有多種方法求出理想流體二元翼型繞流的解。早期理想流體繞流解的結果指出，翼型的升力為零，阻力為零，解。早期理想流體繞流解的結果指出，翼型的升力為零，阻力為零，成了著名的達朗貝爾疑題。后來通過引入環(huán)量才能夠積分出升力，但成了著名的達朗貝爾疑題。后來通過引入環(huán)量才能夠積分出升力，但環(huán)量的大小由人為之因素確定。環(huán)量的大小由人為之因素確定。 在真實流場中，由于有粘性，則有邊界層，有尾跡區(qū)，流動圖畫在真實流場中，由于有粘性，則有邊界層，有尾跡區(qū)，流動圖畫在細節(jié)上有重要的區(qū)別

9、，由于有粘性，有旋渦產生，環(huán)量是確定的，在細節(jié)上有重要的區(qū)別，由于有粘性，有旋渦產生，環(huán)量是確定的，同時有了能量的損失，升力和阻力都是必然的結果。同時有了能量的損失，升力和阻力都是必然的結果。 流動圖畫更大的區(qū)別是當翼型攻角增大時，一般隨攻角的增加，流動圖畫更大的區(qū)別是當翼型攻角增大時，一般隨攻角的增加，升力會增加。但當攻角增大到一定程度時，流場會出現(xiàn)分離，使升力升力會增加。但當攻角增大到一定程度時，流場會出現(xiàn)分離，使升力迅速下降，直至為零，稱之為失速。迅速下降，直至為零，稱之為失速。三、管內流動三、管內流動1、充分發(fā)展段的速度分布、充分發(fā)展段的速度分布2、進口段的附面層發(fā)展。、進口段的附面層

10、發(fā)展。 層流層流 L120D 湍流湍流 L50D3、彎管段的二次流動、彎管段的二次流動4、緩變流和急變流，流動損失。、緩變流和急變流，流動損失。已知真實流體流動過程的柏努力方程為：已知真實流體流動過程的柏努力方程為：沿程損失：沿程損失：沿程阻力系數(shù)：沿程阻力系數(shù)局部損失：局部損失：局部阻力系數(shù)：局部阻力系數(shù)則總損失：則總損失：其中，其中，、分別代表流體從點流到點時，損失的總壓力和總分別代表流體從點流到點時，損失的總壓力和總水頭。在緩變流中是沿程損失，急變流中是局部損失。水頭。在緩變流中是沿程損失，急變流中是局部損失。1 2lp1 2lh第二節(jié)第二節(jié) 層流與湍流層流與湍流 人們從實踐中認識到，流

11、動過程存在兩種完全不同的狀態(tài)，稱之人們從實踐中認識到，流動過程存在兩種完全不同的狀態(tài)，稱之為層流狀態(tài)和湍流狀態(tài)，湍流也叫紊流，為層流狀態(tài)和湍流狀態(tài)，湍流也叫紊流，100多年前（多年前（1883年）年）,雷諾雷諾的著名實驗對這兩種狀態(tài)能作出最好的說明，即通過一個染色液線對的著名實驗對這兩種狀態(tài)能作出最好的說明，即通過一個染色液線對圓管內的流動進行觀察。圓管內的流動進行觀察。 染色液線穩(wěn)定，其直徑基本不變的流體狀態(tài)稱之為染色液線穩(wěn)定，其直徑基本不變的流體狀態(tài)稱之為層流層流。染色液線迅速發(fā)散的流動狀態(tài)稱之為染色液線迅速發(fā)散的流動狀態(tài)稱之為湍流湍流。湍流也稱為。湍流也稱為紊流紊流。 雷諾的實驗告訴我們

12、，當流速較慢雷諾的實驗告訴我們，當流速較慢(或圓管直徑較小或圓管直徑較小)時，流動處于時，流動處于層流狀態(tài)，增加流速層流狀態(tài)，增加流速(或增加雷諾數(shù)或增加雷諾數(shù))到某一臨界值以后，染色液線開始到某一臨界值以后，染色液線開始抖動，并隨著抖動，并隨著Re的增加抖動趨劇烈，直至的增加抖動趨劇烈，直至Re大于某一值之后，染色線大于某一值之后，染色線迅速發(fā)散，進入湍流狀態(tài)。層流與湍流之間的區(qū)域稱之為過渡流狀態(tài)。迅速發(fā)散，進入湍流狀態(tài)。層流與湍流之間的區(qū)域稱之為過渡流狀態(tài)。 層流流動是一種穩(wěn)定流動，流場中每一點速度的大小和方向都是層流流動是一種穩(wěn)定流動，流場中每一點速度的大小和方向都是不隨時間改變的。即使

13、外界對流動過程作用一個擾動，其擾動導致的不隨時間改變的。即使外界對流動過程作用一個擾動，其擾動導致的流動偏離也會逐漸消失，恢復到原流動狀態(tài)。這種狀態(tài)也稱為無條件流動偏離也會逐漸消失，恢復到原流動狀態(tài)。這種狀態(tài)也稱為無條件穩(wěn)定狀態(tài)。實驗表明存在一個臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實驗表明存在一個臨界Rec1，當流動參數(shù)小于此，當流動參數(shù)小于此Re數(shù)時。數(shù)時。流動是流動是無條件穩(wěn)定無條件穩(wěn)定的。而如果雷諾數(shù)大于此臨界的。而如果雷諾數(shù)大于此臨界Rec1，流動會進入這，流動會進入這樣一種狀態(tài)，它對于低頻小振幅的擾動是穩(wěn)定的，但對于高頻大振幅樣一種狀態(tài)，它對于低頻小振幅的擾動是穩(wěn)定的，但對于高頻大振幅的擾動引起的偏離不會

14、再回到原來的狀態(tài)，這種擾動所導致的流動偏的擾動引起的偏離不會再回到原來的狀態(tài)，這種擾動所導致的流動偏離會在流場中保持并發(fā)展，即流動是不穩(wěn)定的。我們稱之為離會在流場中保持并發(fā)展，即流動是不穩(wěn)定的。我們稱之為有條件穩(wěn)有條件穩(wěn)定定狀態(tài)。而當進一步增加狀態(tài)。而當進一步增加Re數(shù)時，流動的抗擾動能力會越來越弱，以數(shù)時，流動的抗擾動能力會越來越弱，以至于存在這樣一個臨界雷諾數(shù)至于存在這樣一個臨界雷諾數(shù)Rec2，當流動參數(shù)大于此，當流動參數(shù)大于此Rec2時，對于時，對于任何的擾動，流動過程都會將其放大，使流動失去穩(wěn)定，而變成劇烈任何的擾動，流動過程都會將其放大，使流動失去穩(wěn)定，而變成劇烈的隨機的不穩(wěn)定的流動

15、，稱之為的隨機的不穩(wěn)定的流動，稱之為無條件不穩(wěn)定無條件不穩(wěn)定狀態(tài)。狀態(tài)。 對于圓管內流動：對于圓管內流動： Rec1=2300，Rec2=2300100000。 湍流是流動的一種無規(guī)律、不穩(wěn)定湍流是流動的一種無規(guī)律、不穩(wěn)定的狀態(tài)。速度的大小和方向都在隨機的的狀態(tài)。速度的大小和方向都在隨機的脈動。一般認為，湍流是由無數(shù)大大小脈動。一般認為，湍流是由無數(shù)大大小小的旋渦（渦團）組成。而旋渦，我們小的旋渦（渦團）組成。而旋渦，我們已知道，是由粘性產生的。這就使我們已知道，是由粘性產生的。這就使我們得出這樣的結論，湍流是由于流體的粘得出這樣的結論，湍流是由于流體的粘性作用而導致產生的。性作用而導致產生的

16、。 實際上這里有很多看來很矛盾的東西，比如，我們知道，理想流實際上這里有很多看來很矛盾的東西，比如，我們知道，理想流體是流體的粘性體是流體的粘性0時的極限狀況，也就是說，粘性流體的流動圖畫時的極限狀況，也就是說，粘性流體的流動圖畫在在Re時，應與理想流體相同。但實際情況并不是這樣，如圓柱體時，應與理想流體相同。但實際情況并不是這樣，如圓柱體繞流，似乎繞流，似乎Re越大，偏離理想流動圖畫也越遠，阻力也越大。又比如，越大，偏離理想流動圖畫也越遠，阻力也越大。又比如，我們說粘性的作用會耗散掉流體擾動的動能，因而使流動趨于穩(wěn)定，我們說粘性的作用會耗散掉流體擾動的動能，因而使流動趨于穩(wěn)定，同時我們又說，

17、粘性是產生旋渦的原因。同時我們又說，粘性是產生旋渦的原因。層流流動在垂直于流線方向的質量、動量、能量的輸運靠的是分子運層流流動在垂直于流線方向的質量、動量、能量的輸運靠的是分子運動，而湍流的質量、動量、能量輸運靠的是湍流渦團的運動。由于湍動，而湍流的質量、動量、能量輸運靠的是湍流渦團的運動。由于湍流渦團的尺度和運動距離遠大于分子運動，所以湍流的輸運能力，體流渦團的尺度和運動距離遠大于分子運動，所以湍流的輸運能力，體現(xiàn)在擴散性、粘性與導熱性上，遠大于層流流動?，F(xiàn)在擴散性、粘性與導熱性上，遠大于層流流動。第三節(jié)第三節(jié) 廣義牛頓應力公式廣義牛頓應力公式 關于湍流的問題，我們先對其現(xiàn)象作這些介紹，以后

18、再進一步討關于湍流的問題，我們先對其現(xiàn)象作這些介紹，以后再進一步討論。下面我們先建立粘性流體動力學的基本方程組，在第五章建立的論。下面我們先建立粘性流體動力學的基本方程組，在第五章建立的微分方程組中，應力張量包含了六個未知數(shù)，下面我們就通過牛頓粘微分方程組中，應力張量包含了六個未知數(shù)，下面我們就通過牛頓粘性定律建立應力張量與變形速率張量之間的補充關系。性定律建立應力張量與變形速率張量之間的補充關系。 一、應力張量分析一、應力張量分析 在第五章流體動力學的微分方程中，我們首次建立了應力張量的在第五章流體動力學的微分方程中，我們首次建立了應力張量的概念，并對其進行了分析。指出：在運動流體中任一點的

19、應力狀態(tài)，概念，并對其進行了分析。指出：在運動流體中任一點的應力狀態(tài)，即表面力狀態(tài)，可以利用九個分量即表面力狀態(tài)，可以利用九個分量pij來表示，它們構成一個二階張量來表示，它們構成一個二階張量: 這個張量是一個對稱張量，式中，這個張量是一個對稱張量，式中， 分別為與坐標軸分別為與坐標軸x,y,z垂直垂直的平面上的應力。的平面上的應力。 這樣，流場中任一表面的應力可表示為：這樣，流場中任一表面的應力可表示為： 而在靜止流體中，而在靜止流體中， 的大小與方向無關，這時流體處于熱力學平衡的大小與方向無關，這時流體處于熱力學平衡狀態(tài)。狀態(tài)。p就是經(jīng)典熱力學平衡態(tài)意義上的壓力。在粘性流體的流動過程就是經(jīng)

20、典熱力學平衡態(tài)意義上的壓力。在粘性流體的流動過程中，熱力學的平衡已經(jīng)被打破，我們也證明了，過一點在不同面上的法中，熱力學的平衡已經(jīng)被打破，我們也證明了，過一點在不同面上的法向應力值并不相等，因此，嚴格說來已不存在平衡態(tài)意義上的壓力（至向應力值并不相等，因此，嚴格說來已不存在平衡態(tài)意義上的壓力（至少我們沒有理由認為如此）少我們沒有理由認為如此） 。np 現(xiàn)在我們要做的工作是，依據(jù)牛頓粘性定律建立應力張量與變形現(xiàn)在我們要做的工作是，依據(jù)牛頓粘性定律建立應力張量與變形速率張量之間的關系。根據(jù)牛頓的理論，應力與變形速率成正比，兩速率張量之間的關系。根據(jù)牛頓的理論，應力與變形速率成正比，兩個張量：個張量

21、： 應力張量分為法向應力和切向應力，變形速率張量也分為線變形應力張量分為法向應力和切向應力，變形速率張量也分為線變形速率和角變形速率。但是當變型速率張量速率和角變形速率。但是當變型速率張量E0時，流體趨于靜止，這時，流體趨于靜止，這時應力張量不會趨于零，或者說法向應力分量（正應力）趨于時應力張量不會趨于零，或者說法向應力分量（正應力）趨于p。也也就是說，在建立這種關系時要注意，有一部分正應力是不會引起變形就是說，在建立這種關系時要注意，有一部分正應力是不會引起變形的。另一方面，在流動過程中，我們仍然能感覺到壓力的存在，雖然的。另一方面，在流動過程中，我們仍然能感覺到壓力的存在，雖然它不是平衡狀

22、態(tài)意義的壓力。它不是平衡狀態(tài)意義的壓力。 為此我們可以定義一個平均意義上的壓力為此我們可以定義一個平均意義上的壓力pm，它是球行流體微團，它是球行流體微團表面所承受的法向應力的平均值的負值：表面所承受的法向應力的平均值的負值： 即平均應力為三個坐標面上的法向應力的算術平均值，這樣，應力張即平均應力為三個坐標面上的法向應力的算術平均值，這樣，應力張量可以寫成：量可以寫成： 其中其中D為偏應力張量。為偏應力張量。二、變形速率張量二、變形速率張量三、應力張量與變形速率張量之間的關系三、應力張量與變形速率張量之間的關系 為了建立兩者之間的關系，斯托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了以為了建立兩者之間的關系，斯

23、托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了以下假定：下假定： 1、應力與變形速率成線形關系。、應力與變形速率成線形關系。 2、應力與變形速率的關系在流體中各向同性。、應力與變形速率的關系在流體中各向同性。 3、在靜止流體中，切應力為零，正應力的數(shù)值為靜壓力、在靜止流體中，切應力為零，正應力的數(shù)值為靜壓力p。 在建立應力在建立應力變形速率關系之前，我們還要澄清一個概念，前變形速率關系之前，我們還要澄清一個概念，前面已將應力張量分解為：面已將應力張量分解為： ，其中，其中pm為平均正應力，尚不是熱為平均正應力，尚不是熱力學平衡意義上的壓力力學平衡意義上的壓力p，嚴格說來，這兩者之間不一定相等。我們，嚴格說來，這

24、兩者之間不一定相等。我們定義定義pm - p為為平均壓力偏量，平均壓力偏量，其目的是為了將來能應用假設其目的是為了將來能應用假設3。 在建立應力在建立應力變形速率關系時，我們分兩步走：第一步，建立偏變形速率關系時，我們分兩步走：第一步，建立偏應力張量應力張量D與變形速率張量與變形速率張量E之間的關系；第二步，建立平均壓力偏之間的關系；第二步，建立平均壓力偏量量pm - p與變形速率與變形速率E之間的關系，這里可以設想，之間的關系，這里可以設想，pm和和p不會直接與不會直接與E發(fā)生關系。發(fā)生關系。mPDp（一）偏應力張量（一）偏應力張量D與變形速率張量與變形速率張量E之間的關系之間的關系 根據(jù)斯

25、托克斯假定根據(jù)斯托克斯假定1、2，其關系可以假定為：，其關系可以假定為：其中其中a,b是待定系數(shù)，與方向無關的標量（各向同性）。是待定系數(shù)，與方向無關的標量（各向同性）?？紤]如圖的情況，由牛頓粘性應考慮如圖的情況，由牛頓粘性應力公式：力公式：知：知：有：有： 將正應力項帶入：將正應力項帶入： 三式相加：三式相加： 最終可得關系：最終可得關系：（二）平均壓力偏量與變形速率之間的關系（二）平均壓力偏量與變形速率之間的關系 已知平均壓力已知平均壓力pm并不能等同于平衡壓力并不能等同于平衡壓力p，這種差別即平均壓力偏，這種差別即平均壓力偏量量pm p。他反映了由于速度場的不均勻造成的流體質點的狀態(tài)對于

26、平他反映了由于速度場的不均勻造成的流體質點的狀態(tài)對于平衡態(tài)的偏離。而這種偏離也是與流體的變形速率有關的，注意衡態(tài)的偏離。而這種偏離也是與流體的變形速率有關的，注意pm和和p是是標量，由假設標量，由假設1、2有：有：(1)(1a)其中：其中：g和和c是待定系數(shù)。利用斯托克斯的第三條假設，當流體靜止時：是待定系數(shù)。利用斯托克斯的第三條假設，當流體靜止時： 可得：可得： c0 所以：所以：令令g = = ，稱第二粘性系數(shù)，則：，稱第二粘性系數(shù)，則：（三）應力張量和變形速率張量的一般關系（三）應力張量和變形速率張量的一般關系 將前兩步得出的關系將前兩步得出的關系(1)(1)、(2)(2)代入應力張量式

27、：代入應力張量式： (2)整理后即有：整理后即有：以上即是以上即是廣義牛頓粘性應力公式。它建立了應力張量與變形速率張量廣義牛頓粘性應力公式。它建立了應力張量與變形速率張量之間的關系，也就是表面應力與速度之間的關系。之間的關系，也就是表面應力與速度之間的關系。 （四）討論（四）討論，假定的應用范圍假定的應用范圍1 1、線性性，激波層、線性性，激波層2 2、各向同性，長分子結構的流體、各向同性，長分子結構的流體3 3、平均壓力偏量的偏差，、平均壓力偏量的偏差，不可壓縮流不可壓縮流：因：因 0 0，有，有pm=p，可壓縮流可壓縮流： 一般是小量可以忽略，僅激波這樣的突變區(qū)域內例外一般是小量可以忽略，

28、僅激波這樣的突變區(qū)域內例外第四節(jié)第四節(jié) 粘性流體動力學的基本方程粘性流體動力學的基本方程 可以認為，廣義牛頓粘性應力公式為第五章中建立的流體力學基可以認為，廣義牛頓粘性應力公式為第五章中建立的流體力學基本方程組提供了本方程組提供了6 6個獨立的補充方程，同時引入了一個新的未知量個獨立的補充方程，同時引入了一個新的未知量p，將其所表述的應力張量關系代入到基本方程中，就可以得到粘性流體將其所表述的應力張量關系代入到基本方程中，就可以得到粘性流體動力學的基本方程組。動力學的基本方程組。一、連續(xù)方程一、連續(xù)方程二、運動方程二、運動方程 由第五章得到了運動方程的一般形式：由第五章得到了運動方程的一般形式

29、： 如果流體滿足斯托克斯三假設，應力張量就可以用廣義牛頓粘性公式表如果流體滿足斯托克斯三假設，應力張量就可以用廣義牛頓粘性公式表示，注意應力張量的梯度運算：示，注意應力張量的梯度運算： 將廣義牛頓粘性應力公式代入：將廣義牛頓粘性應力公式代入：或寫成分量形式：或寫成分量形式：這就是著名的納維這就是著名的納維斯托克斯方程，又稱斯托克斯方程，又稱NS方程。方程。 對于不可壓縮流動在對于不可壓縮流動在=const時，有：時，有：而此時有而此時有 0，所以，所以NS方程可簡化為：方程可簡化為：或：或：寫成分量形式，在直角坐標系中：寫成分量形式，在直角坐標系中： 寫成分量形式，在圓柱坐標系中：寫成分量形式

30、，在圓柱坐標系中： 其中：其中：三、能量方程三、能量方程 第五章給的能量方程的一般形式為：第五章給的能量方程的一般形式為：其中利用傅立葉定律：其中利用傅立葉定律： 將廣義牛頓應力公式代入，并經(jīng)過運算后最后可得：將廣義牛頓應力公式代入，并經(jīng)過運算后最后可得：其中：其中： 表示的是粘性力所做的功，它的物理意義是單位質量流體在單位時表示的是粘性力所做的功，它的物理意義是單位質量流體在單位時間內，由于粘性摩擦而耗散的機械能，這部分能量完全轉變成了熱能間內，由于粘性摩擦而耗散的機械能，這部分能量完全轉變成了熱能的形式，故的形式，故又稱耗散函數(shù)，可以證明又稱耗散函數(shù)，可以證明永遠大于零。永遠大于零。 由焓

31、的定義：由焓的定義： ，經(jīng)整理后能量方程還可以寫成：，經(jīng)整理后能量方程還可以寫成： pie四、粘性流體動力學方程組的封閉性四、粘性流體動力學方程組的封閉性()0Vt 以上基本方程中，設質量力為重力，物性參數(shù)關系已知，輻射換熱以上基本方程中，設質量力為重力，物性參數(shù)關系已知，輻射換熱qR為溫度的函數(shù)，則未知變量包括為溫度的函數(shù)，則未知變量包括 、V、p、e、T共共7個參數(shù)。還需要補個參數(shù)。還需要補充兩個方程。當流體是可壓縮流體時，假設為完全氣體，則可補充狀充兩個方程。當流體是可壓縮流體時，假設為完全氣體，則可補充狀態(tài)方程和熱量方程：態(tài)方程和熱量方程：, vpRTec T當流體為不可壓縮流體時，當

32、流體為不可壓縮流體時， =const，V=0，則連續(xù)方程和動量方程，則連續(xù)方程和動量方程簡化為：簡化為：0V 此時獨立方程是四個，獨立未知變量此時獨立方程是四個，獨立未知變量V，p也是四個，所以對于不可壓也是四個，所以對于不可壓縮的粘性流動，連續(xù)方程和動量方程就已經(jīng)構成了封閉的方程組?？s的粘性流動，連續(xù)方程和動量方程就已經(jīng)構成了封閉的方程組。五、邊界條件五、邊界條件 邊界條件不再很細的討論，粘性流體與理論流體在邊界條件的處邊界條件不再很細的討論，粘性流體與理論流體在邊界條件的處理上是不可滑移條件，這種不可滑移性包括速度和溫度，即在固體壁理上是不可滑移條件，這種不可滑移性包括速度和溫度，即在固體

33、壁面處有：面處有：第五節(jié)第五節(jié) 不可壓縮粘性流動的解析解不可壓縮粘性流動的解析解 不可壓縮粘性流動的基本方程為：不可壓縮粘性流動的基本方程為：這是一個封閉的偏微分方程組，理論上講，在適當?shù)某踹呏禇l件下，是這是一個封閉的偏微分方程組，理論上講，在適當?shù)某踹呏禇l件下，是可以解出流場的解析解的。但由于動量方程是一個非線性的二階偏微分可以解出流場的解析解的。但由于動量方程是一個非線性的二階偏微分方程，目前在數(shù)學上還沒有一般的求解方法，甚至，對解的一般特性我方程，目前在數(shù)學上還沒有一般的求解方法，甚至，對解的一般特性我們也不甚了解。但對于少數(shù)特殊的流動問題，我們可以對簡化后的方程們也不甚了解。但對于少數(shù)

34、特殊的流動問題，我們可以對簡化后的方程組求得其解析解，進而驗證所建立的方程，以及在此過程中所引入的假組求得其解析解，進而驗證所建立的方程，以及在此過程中所引入的假設的合理性。這是學習這一節(jié)的內容的主要目的之一。設的合理性。這是學習這一節(jié)的內容的主要目的之一。 學習這一節(jié)內容的另一個目的，是通過對部分流動過程的解析解，學習這一節(jié)內容的另一個目的，是通過對部分流動過程的解析解，對其流場的分析，了解粘性流動的一般規(guī)律，以及粘性對流動過程的影對其流場的分析，了解粘性流動的一般規(guī)律，以及粘性對流動過程的影響，形成初步的概念，為今后分析流場打下基礎。響，形成初步的概念，為今后分析流場打下基礎。一、圓管內的

35、定常流動一、圓管內的定常流動 在圓管內的定常流動，假設流體做層在圓管內的定常流動，假設流體做層流流動，忽略質量力，且圓管足夠長。取流流動，忽略質量力，且圓管足夠長。取如圖所示的圓柱坐標系，由于邊界條件關如圖所示的圓柱坐標系，由于邊界條件關于于z z軸對稱，故流動也是軸對稱的，且經(jīng)軸對稱，故流動也是軸對稱的，且經(jīng)過足夠長的距離后，流動得到充分發(fā)展，過足夠長的距離后，流動得到充分發(fā)展，也就是說，也就是說，u ur r=0=0，u u =0=0，速度沿速度沿z z向不發(fā)向不發(fā)生變化。生變化。由連續(xù)由連續(xù)方程方程知道：知道： 由于由于u ur r = = u u = 0 = 0，動量，動量方程組中的第

36、一式和第二式為零，與速度有關的方程組中的第一式和第二式為零，與速度有關的項均為零，因此動量方程退化為：項均為零，因此動量方程退化為： 說明，在流動橫截面上壓力等于常數(shù)，即圓管截面是等壓面。說明，在流動橫截面上壓力等于常數(shù)，即圓管截面是等壓面。由動量方程第三式：由動量方程第三式：最終方程簡化為：最終方程簡化為：(a)由于等式由于等式(a)(a)的左邊僅與的左邊僅與z z有關，而其右邊僅與有關，而其右邊僅與r r有關，所以除非兩邊都等有關，所以除非兩邊都等于同一常數(shù)，否則該等式不能相等。假設壓力下降是線性的，于同一常數(shù)，否則該等式不能相等。假設壓力下降是線性的， 2112, ()pppppppzL

37、L (a)式成為常微分方程：式成為常微分方程：() ()1prpd rrdrddur drdrLdudrL (b)(b)式的邊界條件為：式的邊界條件為：0: 0; : 0zzdurrRudr積分一次：積分一次： 211 22cdup rdup rrcdrdrrLL 代入代入r0處的邊界條件，可以解得處的邊界條件，可以解得c1=0。再積分一次：再積分一次： (c)(c) 224purcL 代入代入rR處的邊界條件，可以解得處的邊界條件，可以解得: 224pcRL代入代入(c)式最終求得速度場分布：式最終求得速度場分布：22()4puRrL這是一個拋物線方程，表明速度這是一個拋物線方程，表明速度u

38、 uz z在圓管截面上按拋物線規(guī)律分布。除此在圓管截面上按拋物線規(guī)律分布。除此之外，我們還能得到什么信息呢？之外，我們還能得到什么信息呢？ 1、最大速度、最大速度umax 最大速度發(fā)生在最大速度發(fā)生在r=0處：處：22max416ppDuRLL2、體積流量、體積流量Q22222000442()2()488128RRRppQurdrRrrdrd RrppRDLLLL 3、平均流速、平均流速um422228832mQpRppuRDRRLLL可知：可知：max12muu4、流動粘性造成的壓力損失流動粘性造成的壓力損失 p p 22832mmpuuLLRD 定義壓力損失系數(shù)為：定義壓力損失系數(shù)為：21

39、2mpLuD有：有：212mLpuD 將壓力損失將壓力損失(d)(d)代入損失系數(shù)公式：代入損失系數(shù)公式： 222646411Re2232mmmmupLLu DuuDDLD5 5、我們求解得到的是層流流動的結果、我們求解得到的是層流流動的結果，或者說，我們得到的解與層流試，或者說，我們得到的解與層流試驗結果是吻合得很好的。隨著驗結果是吻合得很好的。隨著u u增加，增加，ReRe將增加，但此結果不能反映層流將增加，但此結果不能反映層流向湍流的轉淚及湍流的流動規(guī)律。向湍流的轉淚及湍流的流動規(guī)律。 (d)6、其他可解的類似、其他可解的類似流動流動 (1)、同軸環(huán)形空間內的軸向流動、同軸環(huán)形空間內的軸

40、向流動(2)、兩無限大平行平板間的流動、兩無限大平行平板間的流動笛卡爾坐標系，二維泊肅葉流動；上平板有運動速度。笛卡爾坐標系，二維泊肅葉流動；上平板有運動速度。二、同軸環(huán)形空間的層流流動二、同軸環(huán)形空間的層流流動 在足夠長的同軸圓柱組成的環(huán)形空間內，在足夠長的同軸圓柱組成的環(huán)形空間內，充滿粘性不可壓縮流體，內圓柱以等角速度充滿粘性不可壓縮流體，內圓柱以等角速度 繞軸旋轉，外圓柱不動，如圖所示。求環(huán)內繞軸旋轉，外圓柱不動，如圖所示。求環(huán)內速度場及內圓柱所受阻力矩。速度場及內圓柱所受阻力矩。1、因圓柱足夠長，可視為平面流，、因圓柱足夠長，可視為平面流，Vz=02、由于邊界條件關于、由于邊界條件關于

41、z軸對稱，軸對稱，3、忽略質量力?？稍O、忽略質量力?？稍OVr=00由以上條件可知，流動是定常的，且連續(xù)方程自動滿足。動量方程經(jīng)簡由以上條件可知，流動是定常的，且連續(xù)方程自動滿足。動量方程經(jīng)簡化后，化后，r方向的方程為：方向的方程為：2Vdpdrr(a) 方向的方程：方向的方程：22210d VdVVdrr drr(b)z方向的方程（該方程說明壓力沿方向的方程（該方程說明壓力沿z方向不變）：方向不變）：01 pz邊界條件為：邊界條件為： 1, 0VrV12r=rr=r（）（）我們首先求解常微分方程我們首先求解常微分方程(b)式，求得式，求得V (r)后，再代入后，再代入(a)式求式求p(r)。為

42、求。為求解解(b)式，先令式，先令 ，則有：，則有：lnr22222211111dVdVdVddrddrr dd VdVdVdVd Vdddrddrrr drdrdrd 代入代入(b)式有：式有：220d VVd這是一個經(jīng)典的二階線形微分方程，其通解為：這是一個經(jīng)典的二階線形微分方程，其通解為：12Vc ec e將將代入有：代入有：121Vc rcr代入邊界條件的兩個方程，可以解出兩個積分常數(shù)：代入邊界條件的兩個方程，可以解出兩個積分常數(shù)：22211222222121rr rVrrrrrr 2221121222222121, rr rccrrrr 速度最終解：速度最終解：當當r2時，時，c c

43、1 10， ，此時：，此時：2222222121221222122limlim2rrr rr rcrrrr21rVr根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿旋轉柱體外圓的速度環(huán)量為：根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿旋轉柱體外圓的速度環(huán)量為：21122LV dlVrr 所以：所以：2Vr此結果與理想流體位勢流動的結果是一致的，即與自由渦在此結果與理想流體位勢流動的結果是一致的，即與自由渦在rr1以外的流以外的流場一致。粘性流的解與理想流重合，場一致。粘性流的解與理想流重合，NS方程的解與歐拉方程的解一致方程的解與歐拉方程的解一致的，這種情況在流體力學中是極少見的。的，這種情況在流體力學中是極少見的。 由此結果，我們也可以認

44、為，自有渦反映了一個環(huán)量為定值，半徑趨由此結果，我們也可以認為，自有渦反映了一個環(huán)量為定值，半徑趨向于零的固體渦在空間誘導出來的流場。所謂誘導，實際上就是粘性作用向于零的固體渦在空間誘導出來的流場。所謂誘導，實際上就是粘性作用的結果。的結果。 將此解代入將此解代入(a)式，可求得徑向壓力分布。以式，可求得徑向壓力分布。以r2的情況為例，將上的情況為例，將上面的速度代入面的速度代入(a)(a)式：式： 22314dpdrr邊界條件：邊界條件：r，p p= =p p。積分上式有：。積分上式有：22218pcr 代入邊界條件可解得：代入邊界條件可解得： c=p。最終有：。最終有：22218ppr注意：由于