高中數(shù)學(xué)新課程培訓(xùn)問題答疑（專題一）

1、高中數(shù)學(xué)新課程培訓(xùn)資料專題一：怎樣整體把握高中數(shù)學(xué)新課程 一： 高中新課程的主要問題 A老師：新課程它的內(nèi)容和以往的這個教材內(nèi)容相比增加了很多。但是教學(xué)時間并沒有增加。那么這是一個矛盾，該怎么來解決這種矛盾。B老師：新增內(nèi)容，很多老師以前在實踐中也沒有涉及過。那在教學(xué)中怎么辦？C老師：以后新課程都是以模塊形式展現(xiàn)出來的。那這些各模塊之間有什么聯(lián)系?它與我們原來在教學(xué)過程當(dāng)中的一些通性通法,在這些各模塊之間,應(yīng)該怎么去貫通滲透?D老師：關(guān)注整個對新課程這個教材，老師該如何駕御如何把握？E老師：新課程知識的體系的出現(xiàn)過程與以前的是不同的。那么對于新的教材當(dāng)中的這種安排

2、，老師應(yīng)該如何去把握？F老師：新課程已經(jīng)實施了多年。我們覺得在這個新課程實施中間，教師要面臨五個問題：第一個問題，就是初高中銜接問題。我們現(xiàn)在教的學(xué)生已經(jīng)不是以前我們教老教材時所面臨的學(xué)生。它的這個課程學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、它的能力都發(fā)生了些變化。第二個，是課時偏緊的問題。新課程的內(nèi)容在我們一年半的教學(xué)下來，普遍感覺到課時偏緊。第三個，就是新舊教材的差異問題。新舊教材的差異使得我們教師在教學(xué)中間，需要注意一個刪減增留的問題，又如何來處理。第四個問題，就是教師的自我學(xué)習(xí)的問題。因為新教材有一些新增內(nèi)容，需要我們教師去學(xué)習(xí)。同時，新教材還需要我們教師廣泛的使用信息技術(shù)。那么對很多老師來講，也需要學(xué)習(xí)。第

3、五個問題，就是高考方案不明朗的問題。老教材的高考，我們很多老師試卷都做過好幾遍?？赡芨呷龔?fù)習(xí)班也帶了好幾次。但新課程的高考我們心里沒底。G老師：對學(xué)生而言，不會存在一個新教材和老教材的問題。而對于老師而言，如何從老的教學(xué)理念下，盡快的適應(yīng)我們的新課程？H老師：在新的課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，老師們怎么樣來實現(xiàn)這個信息技術(shù)對這個新教學(xué)的促進？I老師：現(xiàn)在這個新教材，更主張讓學(xué)生參與教學(xué)，或者是說參與課堂學(xué)習(xí)。怎么讓學(xué)生真正參與進來？這個和課時分配的時間肯定是一個矛盾體。到底怎樣把這個矛盾解決得更好一些？答疑參考：提到很多問題歸根到底，就是我們要落實到如何從整體上，來認(rèn)識高中新課程。在這個專題中，我們主要的話

4、題有這樣幾個：第一個，是為什么要整體把握高中數(shù)學(xué)新課程。第二個，就是對于老師來說，如何做到在教學(xué)中整體把握高中數(shù)學(xué)新課程。第三個，我們要就具體的課程標(biāo)準(zhǔn)，給我們的要求，來分析一下高中數(shù)學(xué)新課程的主線是什么，各個模塊的主線是什么？問題：在教學(xué)實踐當(dāng)中，老師們提的最多的，就應(yīng)該是課時不夠的問題。比如說我們的入門課集合這一章，那么在課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，好像規(guī)定的是四課時。在這四課時當(dāng)中，就是老師們講課的時候，多數(shù)都用到了八課時，甚至有的老師講到了十二課時。那么你看看這個問題怎么解決？答疑參考1：以集合作為一個單元的案例來分析一下。對于集合內(nèi)容，怎么整體把握才能夠把這個課時的東西？我們進入高中新課程，第一個

5、內(nèi)容就是集合。如何把握好這個內(nèi)容呢？我覺得是不是能起到一個，能給高中課程開一個好頭的問題。老師普遍反應(yīng)課時不夠。我們也和實驗區(qū)的老師進行了面對面的、很深入的進行研討。我就把我們研討的一些想法，給大家提供一個參考。首先，我們給大家展示一個集合單元基本結(jié)構(gòu)框圖。可以讓這個老師參考一下。搞好一個單元設(shè)計，有哪些基本的步驟，我們可以參考一下。我就不詳細解釋這個框圖。那么設(shè)計的時候有幾個主題詞：整體理解、實踐、合作、效率。那么這有一個參考的設(shè)計流程圖。那么我們對于這樣的一個設(shè)計的一個基本思路，有一個了解以后，我們建議老師主要考慮這么幾個問題：第一個，就是內(nèi)容的定位。集合在高中課程中的定位，在標(biāo)準(zhǔn)中寫的比

6、較清楚。標(biāo)準(zhǔn)是這樣說的，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，使用集合語言可以簡潔準(zhǔn)確的表達數(shù)學(xué)中的一些內(nèi)容。這里強調(diào)的數(shù)學(xué)中的一些內(nèi)容，而不是全部內(nèi)容。我們?nèi)魏我环N語言，只有利于表達某些東西。那么高中數(shù)學(xué)只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，它把集合是作為一種語言，來描述和表達問題的一種語言來學(xué)習(xí)的。學(xué)生學(xué)會使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，發(fā)展運用語言進行交流的能力。我覺得這一段話，就給了我們這個集合內(nèi)容的一個基本的定位。第二個問題，就要考慮集合內(nèi)容的一個目標(biāo)。集合在實現(xiàn)目標(biāo)中的作用。提高數(shù)學(xué)的表達和交流的能力，是集合的一個基本的目標(biāo)。我們數(shù)學(xué)里有自然語言，有符號語言，有圖形語言，還有圖表語言等等。集

7、合就是一種特殊的符號語言。集合在實現(xiàn)這個目標(biāo)中，是起了一個作用的。第二個，我們希望老師進一步的理解：集合作為一個數(shù)學(xué)的概念，對于數(shù)學(xué)中的分類思想，起了一個促進的作用。集合主要是要把各種不同的事物能刻劃清楚。在我們中學(xué)所使用、所體現(xiàn)出來的具體集合，都是非常清楚的元素和集合之間的關(guān)系，是非常清楚的。無論是中學(xué)，還是大學(xué)，都不必要去追究這個元素與集合的數(shù)學(xué)關(guān)系。那些不清楚的關(guān)系，在我們中學(xué)是不討論的，甚至在大學(xué)也是不討論的。比如說我們老師花了很大時間去討論集合的三性，我們覺得是沒有必要的。為了搞清楚集合在整個課程中的一個定位，我們應(yīng)該搞清楚課程中的一個基本脈絡(luò)。首先應(yīng)該考慮與集合有聯(lián)系的，學(xué)過的內(nèi)容

8、到底有哪些。比如說，我們學(xué)過生活中的一類事物，我們教室里的男同學(xué)，教室里的女同學(xué)。我們還學(xué)過數(shù)，這也是表達集合的一個重要的載體，自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等等。我們用這些來對數(shù)進行分類。另外呢，數(shù)軸上的點集，比如說我們在講不等式的點集、不等式的解集、方程的解。我們總希望用數(shù)形結(jié)合，它反映在這個是一個點集。另外量的范圍，比如我跟隋老師要約見。隋老師七點到八點有空，我要六點半到七點半有空。那么這些都是表達集合的一個生動的實例。另外還有直角坐標(biāo)系中的點集、方程的根、不等式的解集、函數(shù)的定義域等等，這都是我們學(xué)過的知識。這些學(xué)過的知識，我們應(yīng)該做一個分析，哪些知識可以作為我們在介紹集合概念的時候的一個載

9、體，那我們就做一個分析。那么另外我覺得還有必要去考慮，集合和將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的一個聯(lián)系。我們知道，除了我們講完集合以后，在必修里頭還要學(xué)函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，函數(shù)這個單調(diào)的區(qū)間，還要學(xué)習(xí)圖形，圖形上的一些特殊點。在應(yīng)用中，我們也需要集合，作為一種支撐的一個語言。在必修二中，比如說點與直線的關(guān)系，我們常常說某一個點是屬于一個集合的。直線與平面的關(guān)系，我們常常說直線L是含于某一個平面的等等。那么，到了我們學(xué)解析幾何的時候，我們又要使用集合的語言來幫助我們?nèi)タ虅澠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的某些特殊點，等等。在必修三中，我們要對數(shù)據(jù)進行分類，我們用了直方圖、扇形圖，這些都是集合的比較好的一個載體。那么到了必修四

10、，三角函數(shù)的周期刻劃、零點的刻劃、最值的刻劃、單調(diào)區(qū)間的刻劃、向量與平面點集的刻劃等等。那么在學(xué)到必修五，一元二次不等式、目標(biāo)函數(shù)的可行域，在我們線性規(guī)劃問題里數(shù)列的特殊點。所以當(dāng)我們學(xué)完這個集合的內(nèi)容，在我們后續(xù)的課程中，有很多的內(nèi)容可以幫助我們不斷的加深對于集合作為一種語言的認(rèn)識。在選修一、選修二、選修三、選修四中都有這樣的載體。這樣梳理以后，老師清楚我們在這四個課時要講的內(nèi)容中，在我們整個高中課程中，所處的一個位置。我們還希望老師對于學(xué)生進行一個分析，哪一些載體是學(xué)生比較容易掌握的，哪一些載體是學(xué)生不容易掌握的。在講集合的時候，我們建議最好選用一維的載體，比如說數(shù)、數(shù)軸、不等式的解集、數(shù)

11、量的范圍等等。這些都是一維的載體。但是平面點集的定量刻劃，就比較困難了。不僅在中學(xué)是一個比較困難的地方，在我們大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)習(xí)中，我們也需要多次反復(fù)的去介紹這個點集和它的意義。在分析里要講，實變里要講，代數(shù)里也要講，所以這一點需要有一個比較長的過程，才能幫助學(xué)生去了解平面點集的定量刻劃。那么另外一點，就是有限點集學(xué)生比較容易。我們常常也把這個開區(qū)間，雖然也是無限的，但是學(xué)生有一個有限的范圍的感覺。那么比這個射線相比之下，就要容易一點。另外，比如我們四個人，這些都屬于有限點集。那么對于無限的來說，常常有時會有一定的難度。那么對于學(xué)生理解上，有一個分析以后，我們就知道在講集合的開始階段，我們選用什

12、么樣的載體來支持學(xué)生學(xué)習(xí)集合的語言。我想這樣的分析都使得我們能夠更好的把握課程的定位，更好的理解集合所發(fā)揮的作用。那么根據(jù)上面的這樣的分析，實際上是我們對于整個課程做一個分析，我們就可以來進行我們的教學(xué)設(shè)計。所以我想這是一個參考的設(shè)計，比如說第一個課時，我們講一下集合的含義和表示。第二個課時，我們講一下集合的基本關(guān)系。第三、第四課時，我們講一下集合的基本運算。那么在以后的課程中，是不是我們繼續(xù)來加深對這些問題的認(rèn)識。那么第五節(jié)，我們搞一次復(fù)習(xí)，這次復(fù)習(xí)可以梳理一下在集合以前所學(xué)過的所有數(shù)學(xué)內(nèi)容，我們?nèi)绾蝸硎褂眉险Z言來進行刻劃？我們提供這樣一個參考建議供老師來思考，我們?nèi)绾蝸頉Q定集合內(nèi)容的教學(xué)

13、和集合內(nèi)容的定位。我們希望老師能夠發(fā)現(xiàn)、能夠發(fā)明更多的一些經(jīng)驗，來更好的開好我們新課程的這個頭。答疑參考2：備課的時候我們面對的常常是一個又一個具體的知識點。所以我們也特別想知道，面對一個具體知識點的時候，怎么樣來整體把握這個知識點？下面介紹一個您感受比較深的案例好嗎？就拿斜率這個概念來說，它從義務(wù)教育階段孩子們就有接觸。所以在講斜率的時候，就應(yīng)該要注意先去思考他前面學(xué)過什么，后面這些概念還在什么樣的階段出現(xiàn)。比如說，在義務(wù)教育階段，同學(xué)們學(xué)習(xí)過有關(guān)的速度、路程，以及時間之間的關(guān)系。在這個關(guān)系當(dāng)中，我們說沒有出現(xiàn)斜率這樣的詞?？墒菍嶋H上，他已經(jīng)就是有斜率的概念在隱含在其中。再比如說，我們在小學(xué)

14、階段學(xué)習(xí)，兩個量的比是一個常數(shù)。這里其實也蘊藏斜率的這樣的概念，就是正比例關(guān)系的那個系數(shù)。到了初中以后，實際上就學(xué)到正比例。在學(xué)這個過程當(dāng)中，又提到二元一次方程。不斷地看到這個斜率的概念不斷的出現(xiàn)。到了必修二的時候，引進了斜率的概念。首先，教材刻劃的是直線和X軸的正方向所成的這個角。在這個過程中，首先是這樣研究它的：從原點（0，0）到P點（1，K），這樣的點的變化的時候，來描述橫坐標(biāo)從0變化到1，然后縱坐標(biāo)由這個0變化到K。用這樣的一個變化的過程，來定義斜率K。接著利用了三角形的相似來提到有關(guān)縱坐標(biāo)的變化率，以及橫坐標(biāo)的變化率的這種比值來刻劃斜率。這樣的概念在不斷的遞進的過程當(dāng)中，我們看到到必

15、修四的時候，我們又學(xué)習(xí)三角函數(shù)，斜角的正切值來刻劃斜率。其實，在必修四后邊，我們還學(xué)到通過向量學(xué)習(xí)到直線和X軸正方向的夾角。到了微積分，再次出現(xiàn)斜率的概念。也就是說通過在不同的學(xué)段，一個概念不斷的遞進，出現(xiàn)的層次越來越近它的一個本質(zhì)性的一個刻劃。那么也就是說，如果在一個數(shù)學(xué)概念當(dāng)中，在不同的學(xué)段不斷的出現(xiàn)的話，那么我們想這個概念應(yīng)該就是一個很重要的概念。再有，如果我們老師在講這個概念之前，去思考了前邊我們學(xué)過了哪些，后邊還有在什么樣的位置出現(xiàn)這個概念。那么這樣的概念講出來，它味道就會不一樣。所以，在實施新課程的過程當(dāng)，教師也要應(yīng)該注意思考這樣的幾個問題：一個是怎樣將一個概念置于一個整個課程當(dāng)中

16、，就是說在講這個概念之前，要前思后想，要有這樣的一個聯(lián)系。另外，應(yīng)該注意怎樣挖掘一個概念的一個深度，也就是說從不同的維度去想這個概念。另外，就是通過概念的學(xué)習(xí)的過程，我們要注意來怎樣梳理整個高中課程，對高中課程的這樣的認(rèn)識。問題：斜率這個概念，很多老師覺得是一個很清楚的概念，他應(yīng)該是放在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之后，有了正切，這樣來說引入起來，很多老師都認(rèn)為先有傾斜角，然后用傾斜角的正切，來定義斜率。我想討論的是第一個，在新課程的這個課程標(biāo)準(zhǔn)里頭，如果按照這個順序做下來的話，那么模塊五里才會涉及，就是三角函數(shù)在后面。模塊二里就涉及到了。必修四就有直線和圓的關(guān)系了。那這個怎么處理它？能不能把這個斜率的概念讓

17、學(xué)生接受，這是第一個想問的。第二個問題是斜率這個概念，您剛才介紹的是從初中就有，是吧？一直到微積分都有這樣的概念。那么像這樣的概念，做概念教學(xué)，整體上把握的時候，是一次要把它講到最高境界呢？還是怎么做鋪墊？怎么樣來把握這個概念發(fā)展的度？答疑參考：我覺得我們在認(rèn)識斜率的時候，可以用不同的方式來引入斜率，在高中階段。當(dāng)然我非常贊成上面剛才的一個分析，就是在我們理解斜率，不論用哪種方式引入斜率之前，我們一定要考慮在我們義務(wù)教育階段，究竟對這樣一個概念做過哪些討論，這是我覺得非常重要的第一點。第二點，我覺得我們引入斜率的方式，可以是多種多樣的。根據(jù)教材的不同的安排，教學(xué)的不同安排，可以采取不同的方式引

18、入斜率。如果你的教材的處理或者教學(xué)的處理，是按照必修一、必修二、必修三、必修四、必修五這么個順序，我想上面剛才講的就是一種很好的處理方式。很多教材都采用了這樣一種處理方式。它反應(yīng)了斜率的本質(zhì)。它本質(zhì)上說是微積分思想的一個體現(xiàn)。那么如果你采取另外一種順序，必修一上完了以后，上必修四，再去上必修二。比如說是這樣一個順序，或者把必修二放在必修四的后面，那么就是說我們已經(jīng)講了三角函數(shù)的正切，講了任意角，任意角的正切函數(shù)的概念。那么我們也可以用三角函數(shù)、正切函數(shù)的概念，來引入斜率。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了必修四的時候，我們學(xué)了向量，我想我們也可以用向量的方法，引入斜率的概念。因為任何一個直線都有一個方向向量，那么這

19、個方向向量是X軸正向的一個關(guān)系。就反應(yīng)了這樣的一個夾角，也反應(yīng)了它們的一個數(shù)量關(guān)系。那么所以引入斜率可以從不同的角度來引入斜率。就是我們的教學(xué)是個線性序。一天一天的教學(xué)，但是數(shù)學(xué)本身并不是個線性序，我們可以根據(jù)我們教學(xué)的需要，按照不同的順序，或者按照不同的需求，我們選擇不同的方式來引入這樣一個概念。什么是重要的數(shù)學(xué)概念呢？它會多次的出現(xiàn)，在我們數(shù)學(xué)的內(nèi)容中，這是重要的數(shù)學(xué)概念。所以在教學(xué)中應(yīng)該強化這一點。比如說，如果通過三角函數(shù)引入了斜率的概念，那么當(dāng)你講到向量的時候，一定應(yīng)該用向量的思想再一次從另外一個維度去描述斜率的概念。讓學(xué)生對于斜率有一個更寬的看法。當(dāng)學(xué)完微積分的時候，又應(yīng)該幫助學(xué)生通

20、過對于坡度、梯度等等概念的理解，再一次強化對斜率概念的認(rèn)識。又換了一個順序，也應(yīng)該采用同樣的辦法，就是對于一個重要的概念，是需要通過不同的維度、不同的角度來加深對這個概念的認(rèn)識。答疑參考：第二個問題。在具體的教學(xué)實踐當(dāng)中，在處理斜率這個概念的時候，如果一股腦的把這個對斜率的刻劃全都交給學(xué)生，這個是不妥的。還是要依據(jù)學(xué)生對數(shù)學(xué)的概念的認(rèn)識，以及他不同的學(xué)段，對這個問題的理解，然后根據(jù)自己選擇的教材的不同的出場的這種情況，就像剛才提到，就是你選擇的教材所運用的這種課程的順序是什么樣子的，然后從他對概念的把握上再去講，可能會更好。問題：關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，很重要的。面對一個數(shù)學(xué)的方法，或者是一個

21、數(shù)學(xué)的技能，怎么樣從整體上去把握它。答疑參考：剛才討論到概念，但實際上就是說，很多老師特別是高中老師，特別關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法。以待定系數(shù)法為例子來說明一下我們的觀點。初一看這個名字，它不像前面討論的集合，或者說斜率。它不是一個概念，或者說不是一個具體的一個在某一章出現(xiàn)的，它會反復(fù)的出現(xiàn)。這種反復(fù)性也像某些重要的概念一樣，會多次在整個課程中出現(xiàn)。比如說，他可以在初中，可以在高中，當(dāng)然還可以在后續(xù)的高等教育中出現(xiàn)。那么就待定系數(shù)法來說，我們可以從初中的角度來看，它經(jīng)歷了哪些主要過程，這樣以便于我們反過去再看一看他是從哪一個地方發(fā)展過來的。那么要想分析一下初中的待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)內(nèi)容，或者學(xué)習(xí)的主要的這

22、個范圍。那么我們現(xiàn)在看一看初中主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，我說的是如果說代數(shù)的話，那么它主要是有什么呢？方程、不等式和一些比較簡單的函數(shù)。這些簡單的函數(shù)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)。這些都是他主要的內(nèi)容。在這個過程中，方程也好，不等式也好，函數(shù)也好，都存在著大量的系數(shù)。那么你在運用這些模型來解決問題的時候，那么就必然需要確定這些系數(shù)。另外一個，從課程標(biāo)準(zhǔn)來說，在初中也是在義務(wù)課程標(biāo)準(zhǔn)階段，也是明確的規(guī)定了待定系數(shù)法是兩個重要的方法之一。所以從理論的層面和實踐的層面來看，在初中就已經(jīng)大量的，或者說經(jīng)常需要使用待定系數(shù)法來解決問題。第二個呢，我們看一看，如果剛才同意了待定系數(shù)法是確定重要的數(shù)

23、學(xué)模型里面系數(shù)的一個很好的方法，一個重要的方法的話，那么，在這個模型里面，又把它分解一下，到底它什么重要的模型呢？我們可以舉一個例子來說。比如說代數(shù)和算術(shù)的區(qū)別。那么代數(shù)和算數(shù)的區(qū)別是什么？算術(shù)基本上可以說不需要用到待定系數(shù)法，就是說它這個數(shù)基本上都確定的。你只要去計算就可以了。而代數(shù)呢？這里面就需要有一些字母。也就是說代數(shù)里面就需要大量的來確定這種參數(shù)。這種模型的參數(shù)所以這是代數(shù)和算術(shù)的一個重要的區(qū)別。因此，我們就看一看它在高中階段還有什么可能的發(fā)展。那么高中階段同樣的還是有那三個方面：方程、不等式、函數(shù)。只不過在方程、不等式、函數(shù)上面，他會需要進一步學(xué)習(xí)，比如說函數(shù)。他就要學(xué)習(xí)新的函數(shù)，三

24、角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等等。不等式也是一樣，可能要學(xué)習(xí)一元二次、不等式等等。方程也是，我們要學(xué)習(xí)更多的方程。在高中階段仍然需要對待定系數(shù)法進行很好的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。因此，我覺得待定系數(shù)法，既是一種重要的這個基本技能，又是一個很重要的數(shù)學(xué)思想和方法。這就是一個基本的例子。當(dāng)然還有其他的，包括數(shù)形結(jié)合等等的其他的思想方法。問題：整體把握的意義和操作步驟大概有哪些？答疑參考：整體把握課程是我們新課程發(fā)展中的一個非常關(guān)鍵的一個詞。我們強調(diào)雙基，雙基要與時俱進。整體的把握課程，是打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一個不容回避的一個問題。那么如何來理解整體把握課程呢？我想從這么幾個維度供老師作為一個參考。首先，應(yīng)該整體把握課程

25、的目標(biāo)。在我們這個課程標(biāo)準(zhǔn)里提出了六個課程目標(biāo)。我們希望老師能夠完整的理解這六個課程目標(biāo)。我們過去通常說是三維目標(biāo)：知識技能、過程方法、情感態(tài)度價值觀。這三個目標(biāo)是一個整體，它滲透在我們數(shù)學(xué)高中課程標(biāo)準(zhǔn)里的這六個課程目標(biāo)里。這六個課程目標(biāo)，不是兩兩不交的，它們有著密切的聯(lián)系，它們體現(xiàn)著我們整體高中數(shù)學(xué)課程的一個追求和一個價值取向。第二個，我想應(yīng)該整體的把握我們數(shù)學(xué)的素養(yǎng)和能力。比如說剛才講到通性通法非常重要。那么哪些是通性通法呢？如待定系數(shù)法。它是一個幾乎貫穿在我們課程始終的一個思想方法。它是可操作的，它是有內(nèi)涵的。因為我們越來越重視模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，也重視模型的日常生活和在其他學(xué)科中應(yīng)

26、用的作用。所以全面的理解我們在高中階段想要幫助學(xué)生形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和基本能力，或者說基本的數(shù)學(xué)思想方法，這是老師應(yīng)該關(guān)注的一個問題。第三個問題，我想應(yīng)該整體的來理解我們數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容。那么如何整體的理解數(shù)學(xué)課程內(nèi)容呢？我們建議老師從兩個維度去理解。一個就是貫穿在我們高中課程中的一些基本脈絡(luò)，或者叫做主線，這件事情到底有哪些主線。不同的人有不同的看法，我覺得這沒有關(guān)系，但是我們應(yīng)該認(rèn)真的思考，有哪些東西是高中課程的基本脈絡(luò)。這個對于我們整體的把握課程是有好處的。等一會兒我們用一些具體的實例來說明。第二個呢，就是我們應(yīng)該整體的了解整個高中課程的知識結(jié)構(gòu)。每一個老師的腦子里都應(yīng)該有一個必修課程的結(jié)構(gòu)框

27、圖。應(yīng)該有一個必修課程與選修一課程的結(jié)構(gòu)框圖。如果你是在文科教學(xué)的老師，你應(yīng)該有一個必修一、必修與選修二的結(jié)構(gòu)框圖。如果你是理科教學(xué)的老師，那還應(yīng)該有一個對于選修三和選修四的一個基本框架的理解。這對于我們提高老師自身的素養(yǎng)、提高教學(xué)效率都是非常重要的。第四個方面，也是我們這次高中課程要強調(diào)的，我們要以學(xué)生為主體。在學(xué)生為主體這個基本的思路下，在高中課程中，應(yīng)該幫助學(xué)生養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣。整體的理解如何幫助學(xué)生養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣，是學(xué)生成為主體的必不可少的組成部分。我們通常都說終身發(fā)展能力就是一種學(xué)習(xí)的能力，而學(xué)習(xí)能力是需要靠學(xué)習(xí)習(xí)慣來支撐的。問題：在教學(xué)實際過程中，整體把握對于老師來說

28、，對于備課，對于提高教學(xué)質(zhì)量有著什么樣的作用？答疑參考：在教學(xué)實踐中，就覺得過去我們備課可能只是備知識點，就是我這一節(jié)課有多少個知識點，我把它備到了，然后拿例題去演算。這是我們平時上課容易操作的形式。通過剛才談到從不同的維度去來整體把握這個課程，我想對我們老師的備課有一個啟發(fā)的一個改變，就是說我們過去是一節(jié)課一節(jié)課備，頂多就是備一章?，F(xiàn)在要單元備課，這個知識點就是它的前后聯(lián)系學(xué)生的情況，以及知識的前后的這種聯(lián)系，還有學(xué)生到底有什么樣的這種知識水平。在這種情況下，還要備一些的方法。我覺得這樣的整體把握課程可能備課會好，更有效。有時候光看一個知識點，有時看不清楚。你把它擱在整個課程的這個大的范疇里

29、頭，你可以更清楚的理解這個知識點的作用。   二、什么是高中新課程里頭的主要脈絡(luò)一線老師的討論發(fā)言：A老師：我認(rèn)為是函數(shù)可以稱為主線。為什么？因為函數(shù)是作為一個最大的代數(shù)模型。學(xué)習(xí)數(shù)列它是一個特殊的函數(shù)，然后緊跟著有三角函數(shù)，然后解析幾何里邊有很多內(nèi)容都可以跟函數(shù)相關(guān)。B老師：我覺得一些重要的概念，是始終貫穿這個課程當(dāng)中的。一些關(guān)鍵的，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科，像角這個概念，還有距離這個概念。角這個概念，我們在小學(xué)階段就接觸過，到了初中學(xué)平面幾何也有，到了高中我們學(xué)立體幾何、解析幾何的時候，又再次出現(xiàn)這些概念。這些概念小學(xué)階段、初中階段、高中階段之間的聯(lián)系是什么？我們從哪方面多角度的

30、去關(guān)注這個概念？我覺得這些概念性的東西在整個課程當(dāng)中也是很關(guān)鍵的。當(dāng)然還有一些其他像距離等等。這些作為老師來說應(yīng)該從整體上去關(guān)注這樣一些概念，對我們教學(xué)，對學(xué)生的認(rèn)知，我覺得都會更好一些。C老師：還有一個是運算，不管是從小學(xué)、初中、還是高中，運算貫穿到數(shù)學(xué)的始終。數(shù)學(xué)里面很重要的一部分代數(shù)恒等變形，那么這個變形里面就涉及到了一些符號的運算問題，包括后面立體幾何、解析幾何、推理里面也帶著運算。所以運算也是一個主線之一。D老師：我認(rèn)為在高中數(shù)學(xué)里面，這個集合與簡易邏輯也是一條主線之一。為什么這么說呢？高一可能一上來我們學(xué)習(xí)集合，但是以后的每一個模塊里面，其實都可以用集合的語言來描述，這是第一個。第

31、二個，在簡易邏輯里面我們也可以用集合的語言，或者與集合相關(guān)的這些性質(zhì)，就是它們有關(guān)系。到后面這個簡易邏輯，其實就是研究了命題、條件之間的關(guān)系。對于以后我們在每一個學(xué)習(xí)的部分里都有助于我們來理解定義概念更加深入。比如說在布爾代數(shù)這個專題里面，其中有一節(jié)就是完全用集合的這種運算，還有用命題的運算來體現(xiàn)的。那么比前面的模塊有深入的這種趨勢。所以它也是一個主線。E老師：我覺得高中數(shù)學(xué)主線應(yīng)該說挺多，大致我個人感覺有這么幾條：一條就是函數(shù)主線，函數(shù)這條主線它包括基本初等函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式。都應(yīng)該算作函數(shù)這一塊的主線。因為我們前面更多的強調(diào)的是函數(shù)的初等性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性。那么到導(dǎo)數(shù)那，我們研究函

32、數(shù)的可導(dǎo)性、連續(xù)性。那么到大學(xué)，這條主線還要繼續(xù)，可微性、可積性等等。另外數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，還有不等式，我們知道函數(shù)方程和不等式是密不可分的。所以函數(shù)應(yīng)該算作高中的一條最主要的主線。第二條主線，就是向量坐標(biāo)主線。向量是作為一種工具，已經(jīng)應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域。另外從坐標(biāo)來說，笛卡爾坐標(biāo)系的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點，從此運動進入了數(shù)學(xué)，變化進入了數(shù)學(xué)。所以從高中新教材來看，這條主線比較清晰。比如說向量的內(nèi)容、平面向量、解析與平面解析幾何，還有這個空間向量，特別是立體幾何，把空間向量的角和距離的這個定量計算的問題納入了空間向量的這一部分。這樣就突出了向量和坐標(biāo)的這條主線。那么第三條主線，我感覺到新教

33、材加進框圖和算法這一條主線，這也很重要。因為框圖和算法不僅僅是計算機的內(nèi)容,它是我們決策的內(nèi)容。我們可以利用框圖來指導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，可以利用框圖指導(dǎo)學(xué)生去決策，去分析這個題怎么做，這個知識怎么去理解，去怎么去考慮。所以說框圖和算法是應(yīng)該貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終，這也算作一條主線。還有一條就是離散數(shù)學(xué)的組合數(shù)學(xué)的主線。就是排列組合，還有概率統(tǒng)計這一條主線。我個人理解高中數(shù)學(xué)應(yīng)該有這么幾條主線。F老師：我覺得在高中數(shù)學(xué)階段里面除了知識主線以外，還有數(shù)學(xué)思想方法的主線，比如說數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想，它在實際解題中間也是一個非常有效的方法。同時數(shù)形結(jié)合思想還體現(xiàn)在它聯(lián)系了數(shù)學(xué)的不同板塊。比如說向量、解

34、析幾何、三角，它都很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。問題：什么叫主線？或者有了什么樣的條件才能成為主線？答疑參考：用函數(shù)作為一個例子來說。說是函數(shù)是主線，還是函數(shù)思想是主線，我覺得這沒有關(guān)系。不同的人，不同的專家，會有不同的說法。但是我們可以理解函數(shù)這個內(nèi)容應(yīng)該是貫穿高中課程的一個基本主線。我想不僅是高中課程是整個數(shù)學(xué)課程的一個主線。那么我想先說一下背景。在20世紀(jì)初英國數(shù)學(xué)家貝利和德國數(shù)學(xué)家克萊茵等人的大力倡導(dǎo)和推動下，函數(shù)進行了中學(xué)數(shù)學(xué)課程?？巳R茵提出了一個重要的思想，這個思想就是以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容。具體是這么說的：函數(shù)概念應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂，以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材

35、集中在它的周圍。進行充分的綜合。我覺得克萊茵這個思想是很重要的。我們不要形式的來理解克萊茵的這個話。但是我同意克萊茵的這樣的一個分析，函數(shù)是貫穿我們整個數(shù)學(xué)課程的一個基本的脈絡(luò)。先說義務(wù)教育階段，再說大學(xué)階段，再回到我們高中。在義務(wù)教育階段，把孩子帶入數(shù)學(xué)的殿堂，數(shù)圖形都是吸引我們孩子進入數(shù)學(xué)殿堂的重要的載體。另外還有一個就是量。因為我們的孩子日常生活中會碰到大量的不同的量。錢、時間、重量、質(zhì)量、高度、長度等等。那么這些量是引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)進行思考的一個重要的一個動力。在義務(wù)教育階段，我們不僅要認(rèn)識各種各樣的量，還要認(rèn)識量與量之間的關(guān)系。首先建立的這個量與量之間的關(guān)系，是最基本的一個模型。比如說

36、是路程、速度和時間的關(guān)系，是我們的孩子大概在三年級、四年級就開始了解。當(dāng)速度一定的時候，時間的變化可以引起路程的變化。通常我們的公式是s=vt。雖然當(dāng)時沒有說函數(shù)，但是我們通過這樣的具體的實例，已經(jīng)在孩子的心目中種下了函數(shù)的種子。第二個跳躍應(yīng)該是學(xué)習(xí)正比例關(guān)系和反比例關(guān)系。它強化了量與量之間的一種特殊的關(guān)系。那么這樣是我們對函數(shù)認(rèn)識的又一個飛躍。在這個基礎(chǔ)上，到了初中階段又開始認(rèn)識，形成了一個函數(shù)的基本的一個概念。我們了解了比如說特殊的一些函數(shù)，比如說線性函數(shù)Y=KX+B，我們又學(xué)習(xí)了其他的一元二次函數(shù)和分段函數(shù)這樣的一些概念。除了對函數(shù)的認(rèn)識之外，我們也幫助孩子去了解函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式

37、之間的關(guān)系，成為了我們對函數(shù)認(rèn)識的基礎(chǔ)。我想這是在義務(wù)教育階段大家可以看出，無論是內(nèi)容、作用，那么函數(shù)和函數(shù)的思想已經(jīng)成為我們義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的一個基本的脈絡(luò)。那么再說到大學(xué)。那么大學(xué)我們現(xiàn)在都要學(xué)數(shù)學(xué)課程。無論是文科、工課、理科。那么在所有這些課程中，以函數(shù)作為主要研究對象的課程內(nèi)容是非常豐富的。我們以大學(xué)數(shù)學(xué)系為例。我們要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程中，有數(shù)學(xué)分析，它就是以函數(shù)為基本研究對象的課程。有實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)是以一個更廣泛的，不同的深度的函數(shù)的理解作為出發(fā)點。所以我們就可以看出，無論在義務(wù)教育階段，還是在大學(xué)階段，函數(shù)都是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要研究對象和主要研究思想。在高中階段，我想也是一樣。

38、在高中階段可以分作四個維度來看待高中階段的函數(shù)的作用。第一個維度，首先我們要對函數(shù)的概念進行深入的理解。在高中我們一定要形成學(xué)生對函數(shù)三個角度的認(rèn)識。第一個角度，是我們在初中的基礎(chǔ)上進一步的深化認(rèn)識變量與變量之間的依賴關(guān)系。一個變量的變化將引起另外一個變量的變化，這是認(rèn)識函數(shù)的一個角度。第二個維度，就是我們要把它看作一個映射。一個實數(shù)集合，另外一個實數(shù)集合，它們之間存在著一個橋梁。這個橋梁就是在一個實數(shù)集合里的一個數(shù)，按照這種對應(yīng)關(guān)系唯一的確定另外一個集合中的一個唯一的數(shù)。那么這是我們對函數(shù)的另外一個認(rèn)識的角度。第三個角度用我們通俗的話來說，就是函數(shù)圖象。一個函數(shù)有唯一的圖象和它對應(yīng)，同樣一個

39、函數(shù)圖象將唯一的決定一個函數(shù)。這樣的認(rèn)識會使我們對于函數(shù)在高中階段有一個完整的理解。第二個維度，就是在高中階段我們將要幫助學(xué)生理解一批函數(shù)的模型。在義務(wù)教育階段的基礎(chǔ)上我們要加深對于線性函數(shù)Y=KX+B的認(rèn)識。我們要進一步的深化對一元二次函數(shù)的認(rèn)識，同樣我們要理解簡單的冪函數(shù)。比如說Y等于X三次方，Y等于X負一次方，Y等于X二分之一次方。這樣的函數(shù)是基本的。我們還要幫助孩子建立起指數(shù)函數(shù)的模型、對數(shù)函數(shù)的模型、三角函數(shù)的模型。數(shù)列作為特殊函數(shù)的模型，我們還要強化學(xué)生對于這個分段函數(shù)的一個認(rèn)識。它的規(guī)律是通過不同段落所不同的規(guī)律組成的，一個新的規(guī)律。我們希望在高中階段把這樣一些函數(shù)的模型印記在學(xué)

40、生的腦海中。通過這樣的一些模型的認(rèn)識，來幫助他們?nèi)绾卫煤瘮?shù)作為一種基本模型去描述自然生活、自然界和我們?nèi)粘Ｉ钪械囊?guī)律。第三個維度是函數(shù)的應(yīng)用。我們可以從兩個方面來看待函數(shù)的應(yīng)用。一個是函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，也就是在高中階段我們要幫助學(xué)生學(xué)會用函數(shù)去認(rèn)識方程，去認(rèn)識不等式，去認(rèn)識線性規(guī)劃問題，去認(rèn)識算法，去認(rèn)識隨機過程或者隨機變量。用隨機變量去認(rèn)識隨機現(xiàn)象。這些應(yīng)用都體現(xiàn)了函數(shù)的作用。函數(shù)在高中課程中的作用。第二個方面就是在實際中的應(yīng)用。函數(shù)是我們刻劃自然界和我們?nèi)粘Ｉ钜?guī)律的最基本的，也是最重要的數(shù)學(xué)模型之一。所以在我們應(yīng)用的這個層面上，我們分三個層次來體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用。第一個層次，我們要幫

41、助學(xué)生學(xué)會用函數(shù)去描述和刻劃日常生活中和其他學(xué)科中的規(guī)律。第二個層次，我們要幫助學(xué)生學(xué)會用我們掌握的函數(shù)模型去解決現(xiàn)實生活中的問題。比如說我們可以用等比數(shù)列和等差數(shù)列去刻劃經(jīng)濟生活中的一些基本的問題。第三個層次，我們希望通過函數(shù)這個載體幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模的一個基本的過程。如何從日常生活中發(fā)現(xiàn)問題，如何利用我們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識去描述問題，如何把它抽象成為一個數(shù)學(xué)的模型，如何去解決這個數(shù)學(xué)模型中的結(jié)果，如何去分析這個結(jié)果是否符合實際。當(dāng)我們不符合實際的數(shù)學(xué)結(jié)果，我們?nèi)绾握{(diào)整我們所建立的數(shù)學(xué)模型，這樣的一種思想。第四個維度，就是我們在高中階段將幫助學(xué)生形成研究函數(shù)的兩個基本方法。第一個如何用運算去研

42、究函數(shù)，比如研究函數(shù)的單調(diào)性。第二個如何用導(dǎo)數(shù)的思想去研究函數(shù)，去反映函數(shù)的變化規(guī)律。通過這樣一個基本的分析，我們就可以認(rèn)識到函數(shù)的的確確是高中課程的一個基本脈絡(luò)，是一條主線。當(dāng)然在選修三、選修四的課程中，函數(shù)如何體現(xiàn)，我們將在選修三、選修四的課程里再做具體的分析。所以我們提供一個參考，用這樣的一個思考來理解函數(shù)，會對我們高中課程能有一個整體的把握。我們也想用這樣的一個思考提供給老師一個參考，如何來認(rèn)識貫穿在高中課程的基本脈絡(luò)。比如說老師剛才想到的這個我們能不能參考函數(shù)，去梳理一下您對于高中課程內(nèi)容的基本脈絡(luò)的一個認(rèn)識。問題：整體把握或者主線分析，對老師們掌握像函數(shù)這樣的概念，會起什么樣的作用

43、？剛才以函數(shù)為例，做的一個整體觀把握。整體把握的這個整體是相對于部分而言的。如何我們在教學(xué)當(dāng)中，學(xué)習(xí)某一些概念，以函數(shù)為例，在高一的時候他會出現(xiàn)，在高二、高三都要出現(xiàn)。那么老師們在教學(xué)當(dāng)中容易受一些高考評價等等的影響，容易把我們的教學(xué)目標(biāo)制定成為終極目標(biāo)。那么我們整體來看函數(shù)，函數(shù)的這幾個性質(zhì)以及函數(shù)在不同時期，像后續(xù)學(xué)習(xí)的數(shù)列、三角函數(shù)等等，它為我們在后面提供了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等等，以及它的應(yīng)用來說，那么不僅僅在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部，相應(yīng)跨界到了物理當(dāng)中，提供給我們的函數(shù)模型。如果我們用這種聯(lián)系的觀點來看待，在高一教學(xué)的時候以單調(diào)性為例。在高一教學(xué)講單調(diào)性的時候，我們就不應(yīng)該，也不宜花大量的時間停

44、留在形式化的定義，形式化的做差比較。因為對單調(diào)性的證明來看，可以在將來的學(xué)習(xí)當(dāng)中選一或者選二，用導(dǎo)數(shù)的思想把單調(diào)性刻劃的更透徹。它的證明就更簡潔了。不必在高一的時候，把精力花費在這，以此為例吧。問題：很多老師在高一講單調(diào)性的時候就用定義證明，玩兒出了很多很多的花樣。再加上好多函數(shù)性質(zhì)，很多老師就會在這個地方按高考的母本，把這幾個性質(zhì)組合起來，使學(xué)生在做題的時候去找相應(yīng)的函數(shù)工具，和相應(yīng)的那種好像不是函數(shù)知識本身的東西?；撕芏嗔狻倪@個課程標(biāo)準(zhǔn)制定的角度來考慮，像這樣的問題應(yīng)該怎么樣去避免？或者對老師應(yīng)該有什么樣的教學(xué)建議？這次在推進新課程的時候，一個主題詞就是整體把握。這個整體把握是我們對

45、數(shù)學(xué)一個非常重要的一個理解的一個角度。我們不僅要摳清楚每一個概念，不僅要對每一個技能掌握的比較的牢靠。一旦你把一個概念放在整個數(shù)學(xué)這個大的框架里去理解的話，你會對這個概念有更多的感悟。那么一個概念它可能會出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的不同的地方。你是通過對于不同地方出現(xiàn)這個概念的不同理解，來加深這個概念的認(rèn)識。所以有時候老師常常有一個所謂一步到位。這件事情是分不同的內(nèi)容而異的。我們并不一概的說不應(yīng)該一步到位，或者應(yīng)該一步到位。不同的地方應(yīng)該做不同的分析。函數(shù)的概念是需要一個很長的過程，才能對它有一個更深的一個理解。絕不是說敘述清楚了函數(shù)的定義，這個概念就已經(jīng)完全掌握了。需要通過對于函數(shù)模型的認(rèn)識，需要通過對于函

46、數(shù)性質(zhì)的了解。在這個所有的過程中，都在不斷的體會這個概念。比如說在應(yīng)用中，我們?yōu)槭裁匆獙τ赬中的一個值，在Y中有唯一的值與之對應(yīng)？在應(yīng)用中，我們會感悟到這些事情，當(dāng)我們看外面跑的汽車，我們看表，每一個時刻，汽車的速度都是有唯一的值。這是大量存在的日常生活的現(xiàn)象和自然規(guī)律中的現(xiàn)象。所以數(shù)學(xué)只是刻劃這種現(xiàn)象的一種工具，或者是一個模型，或者一個想法。它就是把日常生活的這些現(xiàn)象，通過數(shù)學(xué)的概念，把它刻劃出來。所以對于概念的認(rèn)識也好，對于技能的把握也好，那么是需要在一個過程中去理解的。這次課程把過程當(dāng)作目標(biāo)，我覺得這件事是一個進步。雖然大家對這件事還有分歧，還有不同的看法，但是我覺得這件事在很大層面達成

47、了共識，是我們整個教育的一個進步。這次在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂的過程中，對這個問題達成的一致，我覺得是非常重要的一件事情。剛才大家都說了我們在不斷的加深我們對于數(shù)學(xué)課程的理解和認(rèn)識，這都是非常好的事情。問題：怎樣整體把握幾何的這種思想，或者整體把握像比如說立體幾何，怎樣讓學(xué)生能夠整體的感受到空間中線面、點線面的這些關(guān)系？唐山一中王君老師為我們設(shè)計的這樣一節(jié)課的教學(xué)。他竟然能在一節(jié)課里頭讓學(xué)生同時感知了各種各樣的點線面之間的關(guān)系。我們來看看他是怎么做的。王君：各位老師好！我今天要說課的題目是立體幾何的第一節(jié)課。本節(jié)課的基本思路是跳過平面的基本性質(zhì)，結(jié)合學(xué)生身邊實例，讓學(xué)生整體了解立體幾何的知識框

48、架。這樣處理的依據(jù)有以下幾點：一、對以前教學(xué)的反思。以前講這一章是根據(jù)教材體系，先講平面的基本性質(zhì)，也就是三個公理，用它們證明共線、共點共面。我們知道這部分內(nèi)容在立體幾何中，是既抽象又枯燥的，如果一上來就將三個公理，就會使一些學(xué)生感到吃力，產(chǎn)生對立體幾何的恐懼心理。此外，把這一章的內(nèi)容一節(jié)一節(jié)的順序處理，也不利于學(xué)生整體掌握本章的內(nèi)容。二、根據(jù)布魯納的學(xué)科結(jié)構(gòu)論的思想，無論教任何學(xué)科，都要務(wù)必使學(xué)生掌握該學(xué)科的知識體系，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來，這樣才能加深學(xué)生對知識的系統(tǒng)理解，更好的鞏固所學(xué)知識，發(fā)揮知識的整體作用。三、按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，要以長方體為載體，直觀的認(rèn)識和理解

49、空間點線面的位置關(guān)系，再對有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，用數(shù)學(xué)語言進行嚴(yán)格的表述，并對某些結(jié)論加以論證。許多立體幾何問題，只要畫出長方體，一切問題就迎刃而解了。四、根據(jù)立體幾何這一章的知識結(jié)構(gòu)特點，可以用一、二、三、四這四個數(shù)字來概括本章的知識結(jié)構(gòu)?！岸笔侵钙叫泻痛怪眱蓷l主線；“三”是指三個角，也就是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角；“四”是指四對定理，也就是線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直的判斷和性質(zhì)定理；“一”就是一個長方體，也可以說是正方體。二三四的內(nèi)容，都可以在長方體中找到解釋。我把長方體叫做神奇的魔方。我們每天居住在長方體里，學(xué)生每天在長方體里上課。把長方體當(dāng)成載體

50、，既體現(xiàn)了生活直觀，又符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，讓學(xué)生通過觀察教室內(nèi)的天花板、地板、墻壁、門日光、燈、書桌，和教室外的旗桿電線，還有手中筆和書，把筆當(dāng)線，把書作面，就不難說出空間點、直線和平面的各種位置關(guān)系，和各種位置關(guān)系的判定及性質(zhì)定理?；谝陨系目紤]，把這一節(jié)立體幾何的開始的這一節(jié)課，定位成整體把握本章的知識結(jié)構(gòu)。二、教學(xué)過程引言按照布魯納的學(xué)科結(jié)構(gòu)論的思想，每個知識點的出現(xiàn)，都應(yīng)該既自然又必然，所以引言很重要。引言我是這樣設(shè)計的?！巴瑢W(xué)們，前面我們已經(jīng)認(rèn)識了一些幾何體，如長方體、棱柱、棱錐等。這些幾何體，都是由點線面構(gòu)成的，為了進一步研究這些幾何體的性質(zhì)，我們必須研究空間點線面的各種位置關(guān)系。

51、其實這些位置關(guān)系我們平時都接觸過，今天咱們就一起來歸納一下?！蔽蚁冉o同學(xué)舉一個范例。然后讓同學(xué)模仿我的范例進行歸納總結(jié)。我舉的范例是操場中升國旗用的旗桿和地面是垂直的，是和地面的關(guān)系，是直線和平面垂直的關(guān)系。同學(xué)們模仿老師的范例，根據(jù)自己觀察教室內(nèi)外的實物，同學(xué)們很容易說出各種位置關(guān)系。下面就是同學(xué)們，老師來板書。同學(xué)們根據(jù)教室的位置關(guān)系，有的同學(xué)說天花板和地面是平面和平面平行的關(guān)系，有的同學(xué)說日光燈和地面是線面平行的關(guān)系等等。這個教師按照同學(xué)所說的，根據(jù)線線、線面、面面三個塊，把各種位置關(guān)系書寫完畢。如果學(xué)生說不全，比如有的同學(xué)沒有說出線在平面內(nèi)這種位置關(guān)系，老師就在黑板上畫一條直線，同學(xué)就

52、想到了線在平面這種位置關(guān)系。有的同學(xué)只想到了線面垂直關(guān)系，想不到線面相交關(guān)系，這樣老師就讓同學(xué)把筆戳在書桌上，然后進行比劃，然后同學(xué)就想到了線面相交的關(guān)系。把線面垂直作為線面相交的一種特殊情況。三、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些命題?？偨Y(jié)出了各種位置關(guān)系以后，還可以進一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)空間點線面的位置關(guān)系的各種判定和性質(zhì)。比如老師又給同學(xué)們舉了一個范例，馬路旁邊的燈桿都和地面垂直。結(jié)果他們就平行說明一個道理，就是垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。同學(xué)們根據(jù)老師所說的，每個人都爭先恐后的發(fā)言，去找身邊的實例。說出一個命題，學(xué)生敘述，教師板書。老師們把同學(xué)們敘述出的命題，就稱作某某某命題，比如說是張三說的，老師

53、就說這叫張三猜想。李四說的命題，就叫李四猜想。這樣既能幫助同學(xué)記憶，又激勵學(xué)生為以后的論證打下伏筆。四、在長方體中確認(rèn)以上的位置關(guān)系和命題的真假。這個利用多媒體教學(xué)托出一個長方體，讓學(xué)生觀察，把剛才大家所談到的各種位置關(guān)系在長方體中加以確認(rèn)。教師可以叫出幾個同學(xué)，就每種位置關(guān)系在長方體里面找到對應(yīng)的位置說出來即可。五、教師小結(jié)同學(xué)們通過身邊的實例，找出了空間中的點和直線的各種位置關(guān)系。其實我們這一章的內(nèi)容就是這些。大家今天通過一節(jié)課，就把各種位置關(guān)系和各種判定都找出來了，這使同學(xué)們很高興，覺得今天一節(jié)課就把立體幾何中的東西都學(xué)會了。這樣就使得同學(xué)們對立體幾何感覺到非常親切，沒有畏難情緒，這對以

54、后學(xué)生學(xué)好立體幾何打下了基礎(chǔ)。六、布置作業(yè)教師給同學(xué)布置了三方面的作業(yè)。第一在教材中找到相應(yīng)的內(nèi)容，看看教材中是怎樣講的，怎樣表示的，也就是把同學(xué)們所敘述的各種位置關(guān)系在課下在教材中去找對應(yīng)的內(nèi)容。第二整理筆記，總結(jié)空間點直線和平面的各種位置關(guān)系，盡量寫出表示方法。如果能畫出直觀圖，自己就試著畫一畫直觀圖。第三長期的作業(yè)，讓同學(xué)研究各自的猜想，如果錯誤，在長方體中給出反例，如果正確，就在以后加以證明。教學(xué)后記本節(jié)課：一、讓學(xué)生在短時間內(nèi)了解了立體幾何的知識梗概，對立體幾何有一個整體了解。二、降低了知識門檻，使學(xué)生覺得立體幾何并不難。雖然俗話說萬事開頭難，實際如果我們這樣講，同學(xué)們就會感覺到立體

55、幾何是身邊的數(shù)學(xué)，就和他們自己的生活息息相關(guān)，就感覺不到難度。三、突出了生活直觀和幾何直觀，這樣有利于鞏固學(xué)生所學(xué)的知識。四、突出了學(xué)生的主體地位，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望。在接下來的課中，我們可以說今天我們就研究某某猜想，待證完以后，我們再給出定理的名稱。這樣既便于學(xué)生記憶，又能激勵學(xué)生自主探索。五、培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成利用長方體解決問題的習(xí)慣。過去同學(xué)們在做有關(guān)判斷題時，學(xué)生不知道會用長方體去找答案，比如已知AB異面，BC異面，問AC的位置關(guān)系如何？許多同學(xué)說不清楚，也畫不出圖形。我和同學(xué)們開玩笑說：“你們真是不識廬山真面目，只緣身在此山中。你們?yōu)槭裁床划嬕粋€長方體呢？你們生活在長方體里頭，如果能畫出

56、長方體來，不就很清楚了嗎？”現(xiàn)在同學(xué)們都知道在長方體中找答案，不必老師再要求了。比如兩邊分別垂直的兩個角相等或互補嗎？同學(xué)們只要畫出長方體，很快就得出了結(jié)論。還有兩個面分別垂直的兩個二面角相等或互補嗎？同學(xué)們也是畫出長方體找出答案。教學(xué)設(shè)計想法。這節(jié)課給我們提供了一個非常好的一個示范。這節(jié)課應(yīng)該說可能很多老師不會這么上，大多數(shù)老師都是在課堂里面上，雖然教師大多數(shù)也是講一個立方體，但是他確實給我們提供了一個新的視角。因此，我想主要從下面來談。首先第一個問題是說說這節(jié)課，第二個問題就這節(jié)課也稍微延伸一下，談一談到底從幾個角度來認(rèn)識幾何這條主線。首先，這節(jié)課的重要性或者重要的特點，表現(xiàn)在它加強了幾何

57、學(xué)習(xí)的直觀性。幾何是什么呢？幾何到底是什么內(nèi)容呢？我們可以來聽一聽數(shù)學(xué)家的看法？數(shù)學(xué)家阿蒂亞曾經(jīng)說過，幾何是視覺思維，就是說看到的東西往往是一個最容易記的東西。這節(jié)課通過學(xué)生的這種觀察，充分體現(xiàn)了直觀的重要性，也就是說，通過學(xué)生的觀察、操作等等這些方式，達到了直觀上去認(rèn)識，將來要通過形式化，通過定量化去學(xué)習(xí)的幾何內(nèi)容點線面之間的關(guān)系。不管是它的夾角，還是面積、體積等等這些問題。第二點，這節(jié)課基本上可以說完成了一個濃縮。因為高中學(xué)習(xí)會比義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的容量肯定是要大一點的。那我們可以嘗試在國內(nèi)外都大量實踐的一個模型，就是范·希爾夫婦的模型，來簡單的分析一下幾何學(xué)習(xí)的幾個組成部分。范&

58、#183;希爾夫婦的幾何學(xué)習(xí)的模型，大致有這么五個階段：第一是直觀化。所謂直觀化就是你看到了什么。第二是描述或者叫分析。就是能夠用自己的語言把看到的東西說出來。第三是歸納和抽象。就是能夠把看到的東西進行一些適當(dāng)?shù)臍w納和抽象。比如學(xué)生能夠說出來面和線垂直是什么意思，這種歸納和抽象可能不是完全按照教科書那么樣去敘述。第四是推理和論證。到了第四個階段再來推理論證要想證明線面垂直，或者說面面垂直。這個時候應(yīng)該首先承認(rèn)一些事實，也就是基本上達到了進入公理的階段。就是承認(rèn)一些基本事實。第五就是要回答到底還有什么其他的內(nèi)容。比如說是不是承認(rèn)這樣一個基本事實就是唯一的一個事實。就是說能夠?qū)@些問題進行系統(tǒng)化的

59、整理。因此這一節(jié)課里面雖然沒有達到后面兩個階段，但是他為后面的階段奠定了非常重要的基礎(chǔ)，就是直觀化。直觀化的認(rèn)知水平并不是僅僅在義務(wù)教育階段，甚至在大學(xué)學(xué)習(xí)中也是需要直觀化的作為背景。只不過在不同的階段，直觀有不同的水平。因此這節(jié)課體現(xiàn)了這樣一個很好的一個學(xué)習(xí)階段。第三點，這節(jié)課充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性。因為新課程強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，那么主體性的落實應(yīng)該是通過具體的課堂教學(xué)的落實，而不是通過我們僅僅從理念上來說這件事情。這節(jié)課應(yīng)該是實踐了學(xué)生主體性的這樣一個理念。所以這節(jié)課從這三個方面來看，應(yīng)該說是一個具有創(chuàng)新性的一個實踐。關(guān)于這節(jié)課的延伸，我們高中教師應(yīng)該去掌握或者分析到底什么是幾何主線。義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容與高中學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)系大致有這么幾條維度，可以供大家去思考幾何學(xué)習(xí)：第一是從整體到局部，再到整體，這樣一個學(xué)習(xí)過程。