高中數(shù)學(xué)新課程培訓(xùn)問題答疑（專題一）

1、高中數(shù)學(xué)新課程培訓(xùn)資料專題一：怎樣整體把握高中數(shù)學(xué)新課程 一： 高中新課程的主要問題 A老師：新課程它的內(nèi)容和以往的這個(gè)教材內(nèi)容相比增加了很多。但是教學(xué)時(shí)間并沒有增加。那么這是一個(gè)矛盾，該怎么來解決這種矛盾。B老師：新增內(nèi)容，很多老師以前在實(shí)踐中也沒有涉及過。那在教學(xué)中怎么辦？C老師：以后新課程都是以模塊形式展現(xiàn)出來的。那這些各模塊之間有什么聯(lián)系?它與我們?cè)瓉碓诮虒W(xué)過程當(dāng)中的一些通性通法,在這些各模塊之間,應(yīng)該怎么去貫通滲透?D老師：關(guān)注整個(gè)對(duì)新課程這個(gè)教材，老師該如何駕御如何把握？E老師：新課程知識(shí)的體系的出現(xiàn)過程與以前的是不同的。那么對(duì)于新的教材當(dāng)中的這種安排

2、，老師應(yīng)該如何去把握？F老師：新課程已經(jīng)實(shí)施了多年。我們覺得在這個(gè)新課程實(shí)施中間，教師要面臨五個(gè)問題：第一個(gè)問題，就是初高中銜接問題。我們現(xiàn)在教的學(xué)生已經(jīng)不是以前我們教老教材時(shí)所面臨的學(xué)生。它的這個(gè)課程學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、它的能力都發(fā)生了些變化。第二個(gè)，是課時(shí)偏緊的問題。新課程的內(nèi)容在我們一年半的教學(xué)下來，普遍感覺到課時(shí)偏緊。第三個(gè)，就是新舊教材的差異問題。新舊教材的差異使得我們教師在教學(xué)中間，需要注意一個(gè)刪減增留的問題，又如何來處理。第四個(gè)問題，就是教師的自我學(xué)習(xí)的問題。因?yàn)樾陆滩挠幸恍┬略鰞?nèi)容，需要我們教師去學(xué)習(xí)。同時(shí)，新教材還需要我們教師廣泛的使用信息技術(shù)。那么對(duì)很多老師來講，也需要學(xué)習(xí)。第

3、五個(gè)問題，就是高考方案不明朗的問題。老教材的高考，我們很多老師試卷都做過好幾遍?？赡芨呷龔?fù)習(xí)班也帶了好幾次。但新課程的高考我們心里沒底。G老師：對(duì)學(xué)生而言，不會(huì)存在一個(gè)新教材和老教材的問題。而對(duì)于老師而言，如何從老的教學(xué)理念下，盡快的適應(yīng)我們的新課程？H老師：在新的課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，老師們?cè)趺礃觼韺?shí)現(xiàn)這個(gè)信息技術(shù)對(duì)這個(gè)新教學(xué)的促進(jìn)？I老師：現(xiàn)在這個(gè)新教材，更主張讓學(xué)生參與教學(xué)，或者是說參與課堂學(xué)習(xí)。怎么讓學(xué)生真正參與進(jìn)來？這個(gè)和課時(shí)分配的時(shí)間肯定是一個(gè)矛盾體。到底怎樣把這個(gè)矛盾解決得更好一些？答疑參考：提到很多問題歸根到底，就是我們要落實(shí)到如何從整體上，來認(rèn)識(shí)高中新課程。在這個(gè)專題中，我們主要的話

4、題有這樣幾個(gè)：第一個(gè)，是為什么要整體把握高中數(shù)學(xué)新課程。第二個(gè)，就是對(duì)于老師來說，如何做到在教學(xué)中整體把握高中數(shù)學(xué)新課程。第三個(gè)，我們要就具體的課程標(biāo)準(zhǔn)，給我們的要求，來分析一下高中數(shù)學(xué)新課程的主線是什么，各個(gè)模塊的主線是什么？問題：在教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，老師們提的最多的，就應(yīng)該是課時(shí)不夠的問題。比如說我們的入門課集合這一章，那么在課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，好像規(guī)定的是四課時(shí)。在這四課時(shí)當(dāng)中，就是老師們講課的時(shí)候，多數(shù)都用到了八課時(shí)，甚至有的老師講到了十二課時(shí)。那么你看看這個(gè)問題怎么解決？答疑參考1：以集合作為一個(gè)單元的案例來分析一下。對(duì)于集合內(nèi)容，怎么整體把握才能夠把這個(gè)課時(shí)的東西？我們進(jìn)入高中新課程，第一個(gè)

5、內(nèi)容就是集合。如何把握好這個(gè)內(nèi)容呢？我覺得是不是能起到一個(gè)，能給高中課程開一個(gè)好頭的問題。老師普遍反應(yīng)課時(shí)不夠。我們也和實(shí)驗(yàn)區(qū)的老師進(jìn)行了面對(duì)面的、很深入的進(jìn)行研討。我就把我們研討的一些想法，給大家提供一個(gè)參考。首先，我們給大家展示一個(gè)集合單元基本結(jié)構(gòu)框圖?？梢宰屵@個(gè)老師參考一下。搞好一個(gè)單元設(shè)計(jì)，有哪些基本的步驟，我們可以參考一下。我就不詳細(xì)解釋這個(gè)框圖。那么設(shè)計(jì)的時(shí)候有幾個(gè)主題詞：整體理解、實(shí)踐、合作、效率。那么這有一個(gè)參考的設(shè)計(jì)流程圖。那么我們對(duì)于這樣的一個(gè)設(shè)計(jì)的一個(gè)基本思路，有一個(gè)了解以后，我們建議老師主要考慮這么幾個(gè)問題：第一個(gè)，就是內(nèi)容的定位。集合在高中課程中的定位，在標(biāo)準(zhǔn)中寫的比

6、較清楚。標(biāo)準(zhǔn)是這樣說的，集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，使用集合語(yǔ)言可以簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的表達(dá)數(shù)學(xué)中的一些內(nèi)容。這里強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)中的一些內(nèi)容，而不是全部?jī)?nèi)容。我們?nèi)魏我环N語(yǔ)言，只有利于表達(dá)某些東西。那么高中數(shù)學(xué)只將集合作為一種語(yǔ)言來學(xué)習(xí)，它把集合是作為一種語(yǔ)言，來描述和表達(dá)問題的一種語(yǔ)言來學(xué)習(xí)的。學(xué)生學(xué)會(huì)使用最基本的集合語(yǔ)言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力。我覺得這一段話，就給了我們這個(gè)集合內(nèi)容的一個(gè)基本的定位。第二個(gè)問題，就要考慮集合內(nèi)容的一個(gè)目標(biāo)。集合在實(shí)現(xiàn)目標(biāo)中的作用。提高數(shù)學(xué)的表達(dá)和交流的能力，是集合的一個(gè)基本的目標(biāo)。我們數(shù)學(xué)里有自然語(yǔ)言，有符號(hào)語(yǔ)言，有圖形語(yǔ)言，還有圖表語(yǔ)言等等。集

7、合就是一種特殊的符號(hào)語(yǔ)言。集合在實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)中，是起了一個(gè)作用的。第二個(gè)，我們希望老師進(jìn)一步的理解：集合作為一個(gè)數(shù)學(xué)的概念，對(duì)于數(shù)學(xué)中的分類思想，起了一個(gè)促進(jìn)的作用。集合主要是要把各種不同的事物能刻劃清楚。在我們中學(xué)所使用、所體現(xiàn)出來的具體集合，都是非常清楚的元素和集合之間的關(guān)系，是非常清楚的。無論是中學(xué)，還是大學(xué)，都不必要去追究這個(gè)元素與集合的數(shù)學(xué)關(guān)系。那些不清楚的關(guān)系，在我們中學(xué)是不討論的，甚至在大學(xué)也是不討論的。比如說我們老師花了很大時(shí)間去討論集合的三性，我們覺得是沒有必要的。為了搞清楚集合在整個(gè)課程中的一個(gè)定位，我們應(yīng)該搞清楚課程中的一個(gè)基本脈絡(luò)。首先應(yīng)該考慮與集合有聯(lián)系的，學(xué)過的內(nèi)容

8、到底有哪些。比如說，我們學(xué)過生活中的一類事物，我們教室里的男同學(xué)，教室里的女同學(xué)。我們還學(xué)過數(shù)，這也是表達(dá)集合的一個(gè)重要的載體，自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等等。我們用這些來對(duì)數(shù)進(jìn)行分類。另外呢，數(shù)軸上的點(diǎn)集，比如說我們?cè)谥v不等式的點(diǎn)集、不等式的解集、方程的解。我們總希望用數(shù)形結(jié)合，它反映在這個(gè)是一個(gè)點(diǎn)集。另外量的范圍，比如我跟隋老師要約見。隋老師七點(diǎn)到八點(diǎn)有空，我要六點(diǎn)半到七點(diǎn)半有空。那么這些都是表達(dá)集合的一個(gè)生動(dòng)的實(shí)例。另外還有直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集、方程的根、不等式的解集、函數(shù)的定義域等等，這都是我們學(xué)過的知識(shí)。這些學(xué)過的知識(shí)，我們應(yīng)該做一個(gè)分析，哪些知識(shí)可以作為我們?cè)诮榻B集合概念的時(shí)候的一個(gè)載

9、體，那我們就做一個(gè)分析。那么另外我覺得還有必要去考慮，集合和將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的一個(gè)聯(lián)系。我們知道，除了我們講完集合以后，在必修里頭還要學(xué)函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，函數(shù)這個(gè)單調(diào)的區(qū)間，還要學(xué)習(xí)圖形，圖形上的一些特殊點(diǎn)。在應(yīng)用中，我們也需要集合，作為一種支撐的一個(gè)語(yǔ)言。在必修二中，比如說點(diǎn)與直線的關(guān)系，我們常常說某一個(gè)點(diǎn)是屬于一個(gè)集合的。直線與平面的關(guān)系，我們常常說直線L是含于某一個(gè)平面的等等。那么，到了我們學(xué)解析幾何的時(shí)候，我們又要使用集合的語(yǔ)言來幫助我們?nèi)タ虅澠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的某些特殊點(diǎn)，等等。在必修三中，我們要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，我們用了直方圖、扇形圖，這些都是集合的比較好的一個(gè)載體。那么到了必修四

10、，三角函數(shù)的周期刻劃、零點(diǎn)的刻劃、最值的刻劃、單調(diào)區(qū)間的刻劃、向量與平面點(diǎn)集的刻劃等等。那么在學(xué)到必修五，一元二次不等式、目標(biāo)函數(shù)的可行域，在我們線性規(guī)劃問題里數(shù)列的特殊點(diǎn)。所以當(dāng)我們學(xué)完這個(gè)集合的內(nèi)容，在我們后續(xù)的課程中，有很多的內(nèi)容可以幫助我們不斷的加深對(duì)于集合作為一種語(yǔ)言的認(rèn)識(shí)。在選修一、選修二、選修三、選修四中都有這樣的載體。這樣梳理以后，老師清楚我們?cè)谶@四個(gè)課時(shí)要講的內(nèi)容中，在我們整個(gè)高中課程中，所處的一個(gè)位置。我們還希望老師對(duì)于學(xué)生進(jìn)行一個(gè)分析，哪一些載體是學(xué)生比較容易掌握的，哪一些載體是學(xué)生不容易掌握的。在講集合的時(shí)候，我們建議最好選用一維的載體，比如說數(shù)、數(shù)軸、不等式的解集、數(shù)

11、量的范圍等等。這些都是一維的載體。但是平面點(diǎn)集的定量刻劃，就比較困難了。不僅在中學(xué)是一個(gè)比較困難的地方，在我們大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)習(xí)中，我們也需要多次反復(fù)的去介紹這個(gè)點(diǎn)集和它的意義。在分析里要講，實(shí)變里要講，代數(shù)里也要講，所以這一點(diǎn)需要有一個(gè)比較長(zhǎng)的過程，才能幫助學(xué)生去了解平面點(diǎn)集的定量刻劃。那么另外一點(diǎn)，就是有限點(diǎn)集學(xué)生比較容易。我們常常也把這個(gè)開區(qū)間，雖然也是無限的，但是學(xué)生有一個(gè)有限的范圍的感覺。那么比這個(gè)射線相比之下，就要容易一點(diǎn)。另外，比如我們四個(gè)人，這些都屬于有限點(diǎn)集。那么對(duì)于無限的來說，常常有時(shí)會(huì)有一定的難度。那么對(duì)于學(xué)生理解上，有一個(gè)分析以后，我們就知道在講集合的開始階段，我們選用什

12、么樣的載體來支持學(xué)生學(xué)習(xí)集合的語(yǔ)言。我想這樣的分析都使得我們能夠更好的把握課程的定位，更好的理解集合所發(fā)揮的作用。那么根據(jù)上面的這樣的分析，實(shí)際上是我們對(duì)于整個(gè)課程做一個(gè)分析，我們就可以來進(jìn)行我們的教學(xué)設(shè)計(jì)。所以我想這是一個(gè)參考的設(shè)計(jì)，比如說第一個(gè)課時(shí)，我們講一下集合的含義和表示。第二個(gè)課時(shí)，我們講一下集合的基本關(guān)系。第三、第四課時(shí)，我們講一下集合的基本運(yùn)算。那么在以后的課程中，是不是我們繼續(xù)來加深對(duì)這些問題的認(rèn)識(shí)。那么第五節(jié)，我們搞一次復(fù)習(xí)，這次復(fù)習(xí)可以梳理一下在集合以前所學(xué)過的所有數(shù)學(xué)內(nèi)容，我們?nèi)绾蝸硎褂眉险Z(yǔ)言來進(jìn)行刻劃？我們提供這樣一個(gè)參考建議供老師來思考，我們?nèi)绾蝸頉Q定集合內(nèi)容的教學(xué)

13、和集合內(nèi)容的定位。我們希望老師能夠發(fā)現(xiàn)、能夠發(fā)明更多的一些經(jīng)驗(yàn)，來更好的開好我們新課程的這個(gè)頭。答疑參考2：備課的時(shí)候我們面對(duì)的常常是一個(gè)又一個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)。所以我們也特別想知道，面對(duì)一個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，怎么樣來整體把握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)？下面介紹一個(gè)您感受比較深的案例好嗎？就拿斜率這個(gè)概念來說，它從義務(wù)教育階段孩子們就有接觸。所以在講斜率的時(shí)候，就應(yīng)該要注意先去思考他前面學(xué)過什么，后面這些概念還在什么樣的階段出現(xiàn)。比如說，在義務(wù)教育階段，同學(xué)們學(xué)習(xí)過有關(guān)的速度、路程，以及時(shí)間之間的關(guān)系。在這個(gè)關(guān)系當(dāng)中，我們說沒有出現(xiàn)斜率這樣的詞。可是實(shí)際上，他已經(jīng)就是有斜率的概念在隱含在其中。再比如說，我們?cè)谛W(xué)

14、階段學(xué)習(xí)，兩個(gè)量的比是一個(gè)常數(shù)。這里其實(shí)也蘊(yùn)藏斜率的這樣的概念，就是正比例關(guān)系的那個(gè)系數(shù)。到了初中以后，實(shí)際上就學(xué)到正比例。在學(xué)這個(gè)過程當(dāng)中，又提到二元一次方程。不斷地看到這個(gè)斜率的概念不斷的出現(xiàn)。到了必修二的時(shí)候，引進(jìn)了斜率的概念。首先，教材刻劃的是直線和X軸的正方向所成的這個(gè)角。在這個(gè)過程中，首先是這樣研究它的：從原點(diǎn)（0，0）到P點(diǎn)（1，K），這樣的點(diǎn)的變化的時(shí)候，來描述橫坐標(biāo)從0變化到1，然后縱坐標(biāo)由這個(gè)0變化到K。用這樣的一個(gè)變化的過程，來定義斜率K。接著利用了三角形的相似來提到有關(guān)縱坐標(biāo)的變化率，以及橫坐標(biāo)的變化率的這種比值來刻劃斜率。這樣的概念在不斷的遞進(jìn)的過程當(dāng)中，我們看到到必

15、修四的時(shí)候，我們又學(xué)習(xí)三角函數(shù)，斜角的正切值來刻劃斜率。其實(shí)，在必修四后邊，我們還學(xué)到通過向量學(xué)習(xí)到直線和X軸正方向的夾角。到了微積分，再次出現(xiàn)斜率的概念。也就是說通過在不同的學(xué)段，一個(gè)概念不斷的遞進(jìn)，出現(xiàn)的層次越來越近它的一個(gè)本質(zhì)性的一個(gè)刻劃。那么也就是說，如果在一個(gè)數(shù)學(xué)概念當(dāng)中，在不同的學(xué)段不斷的出現(xiàn)的話，那么我們想這個(gè)概念應(yīng)該就是一個(gè)很重要的概念。再有，如果我們老師在講這個(gè)概念之前，去思考了前邊我們學(xué)過了哪些，后邊還有在什么樣的位置出現(xiàn)這個(gè)概念。那么這樣的概念講出來，它味道就會(huì)不一樣。所以，在實(shí)施新課程的過程當(dāng)，教師也要應(yīng)該注意思考這樣的幾個(gè)問題：一個(gè)是怎樣將一個(gè)概念置于一個(gè)整個(gè)課程當(dāng)中

16、，就是說在講這個(gè)概念之前，要前思后想，要有這樣的一個(gè)聯(lián)系。另外，應(yīng)該注意怎樣挖掘一個(gè)概念的一個(gè)深度，也就是說從不同的維度去想這個(gè)概念。另外，就是通過概念的學(xué)習(xí)的過程，我們要注意來怎樣梳理整個(gè)高中課程，對(duì)高中課程的這樣的認(rèn)識(shí)。問題：斜率這個(gè)概念，很多老師覺得是一個(gè)很清楚的概念，他應(yīng)該是放在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之后，有了正切，這樣來說引入起來，很多老師都認(rèn)為先有傾斜角，然后用傾斜角的正切，來定義斜率。我想討論的是第一個(gè)，在新課程的這個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)里頭，如果按照這個(gè)順序做下來的話，那么模塊五里才會(huì)涉及，就是三角函數(shù)在后面。模塊二里就涉及到了。必修四就有直線和圓的關(guān)系了。那這個(gè)怎么處理它？能不能把這個(gè)斜率的概念讓

17、學(xué)生接受，這是第一個(gè)想問的。第二個(gè)問題是斜率這個(gè)概念，您剛才介紹的是從初中就有，是吧？一直到微積分都有這樣的概念。那么像這樣的概念，做概念教學(xué)，整體上把握的時(shí)候，是一次要把它講到最高境界呢？還是怎么做鋪墊？怎么樣來把握這個(gè)概念發(fā)展的度？答疑參考：我覺得我們?cè)谡J(rèn)識(shí)斜率的時(shí)候，可以用不同的方式來引入斜率，在高中階段。當(dāng)然我非常贊成上面剛才的一個(gè)分析，就是在我們理解斜率，不論用哪種方式引入斜率之前，我們一定要考慮在我們義務(wù)教育階段，究竟對(duì)這樣一個(gè)概念做過哪些討論，這是我覺得非常重要的第一點(diǎn)。第二點(diǎn)，我覺得我們引入斜率的方式，可以是多種多樣的。根據(jù)教材的不同的安排，教學(xué)的不同安排，可以采取不同的方式引

18、入斜率。如果你的教材的處理或者教學(xué)的處理，是按照必修一、必修二、必修三、必修四、必修五這么個(gè)順序，我想上面剛才講的就是一種很好的處理方式。很多教材都采用了這樣一種處理方式。它反應(yīng)了斜率的本質(zhì)。它本質(zhì)上說是微積分思想的一個(gè)體現(xiàn)。那么如果你采取另外一種順序，必修一上完了以后，上必修四，再去上必修二。比如說是這樣一個(gè)順序，或者把必修二放在必修四的后面，那么就是說我們已經(jīng)講了三角函數(shù)的正切，講了任意角，任意角的正切函數(shù)的概念。那么我們也可以用三角函數(shù)、正切函數(shù)的概念，來引入斜率。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了必修四的時(shí)候，我們學(xué)了向量，我想我們也可以用向量的方法，引入斜率的概念。因?yàn)槿魏我粋€(gè)直線都有一個(gè)方向向量，那么這

19、個(gè)方向向量是X軸正向的一個(gè)關(guān)系。就反應(yīng)了這樣的一個(gè)夾角，也反應(yīng)了它們的一個(gè)數(shù)量關(guān)系。那么所以引入斜率可以從不同的角度來引入斜率。就是我們的教學(xué)是個(gè)線性序。一天一天的教學(xué)，但是數(shù)學(xué)本身并不是個(gè)線性序，我們可以根據(jù)我們教學(xué)的需要，按照不同的順序，或者按照不同的需求，我們選擇不同的方式來引入這樣一個(gè)概念。什么是重要的數(shù)學(xué)概念呢？它會(huì)多次的出現(xiàn)，在我們數(shù)學(xué)的內(nèi)容中，這是重要的數(shù)學(xué)概念。所以在教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)化這一點(diǎn)。比如說，如果通過三角函數(shù)引入了斜率的概念，那么當(dāng)你講到向量的時(shí)候，一定應(yīng)該用向量的思想再一次從另外一個(gè)維度去描述斜率的概念。讓學(xué)生對(duì)于斜率有一個(gè)更寬的看法。當(dāng)學(xué)完微積分的時(shí)候，又應(yīng)該幫助學(xué)生通

20、過對(duì)于坡度、梯度等等概念的理解，再一次強(qiáng)化對(duì)斜率概念的認(rèn)識(shí)。又換了一個(gè)順序，也應(yīng)該采用同樣的辦法，就是對(duì)于一個(gè)重要的概念，是需要通過不同的維度、不同的角度來加深對(duì)這個(gè)概念的認(rèn)識(shí)。答疑參考：第二個(gè)問題。在具體的教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，在處理斜率這個(gè)概念的時(shí)候，如果一股腦的把這個(gè)對(duì)斜率的刻劃全都交給學(xué)生，這個(gè)是不妥的。還是要依據(jù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的概念的認(rèn)識(shí)，以及他不同的學(xué)段，對(duì)這個(gè)問題的理解，然后根據(jù)自己選擇的教材的不同的出場(chǎng)的這種情況，就像剛才提到，就是你選擇的教材所運(yùn)用的這種課程的順序是什么樣子的，然后從他對(duì)概念的把握上再去講，可能會(huì)更好。問題：關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，很重要的。面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)的方法，或者是一個(gè)

21、數(shù)學(xué)的技能，怎么樣從整體上去把握它。答疑參考：剛才討論到概念，但實(shí)際上就是說，很多老師特別是高中老師，特別關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法。以待定系數(shù)法為例子來說明一下我們的觀點(diǎn)。初一看這個(gè)名字，它不像前面討論的集合，或者說斜率。它不是一個(gè)概念，或者說不是一個(gè)具體的一個(gè)在某一章出現(xiàn)的，它會(huì)反復(fù)的出現(xiàn)。這種反復(fù)性也像某些重要的概念一樣，會(huì)多次在整個(gè)課程中出現(xiàn)。比如說，他可以在初中，可以在高中，當(dāng)然還可以在后續(xù)的高等教育中出現(xiàn)。那么就待定系數(shù)法來說，我們可以從初中的角度來看，它經(jīng)歷了哪些主要過程，這樣以便于我們反過去再看一看他是從哪一個(gè)地方發(fā)展過來的。那么要想分析一下初中的待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)內(nèi)容，或者學(xué)習(xí)的主要的這

22、個(gè)范圍。那么我們現(xiàn)在看一看初中主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，我說的是如果說代數(shù)的話，那么它主要是有什么呢？方程、不等式和一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)。這些簡(jiǎn)單的函數(shù)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)。這些都是他主要的內(nèi)容。在這個(gè)過程中，方程也好，不等式也好，函數(shù)也好，都存在著大量的系數(shù)。那么你在運(yùn)用這些模型來解決問題的時(shí)候，那么就必然需要確定這些系數(shù)。另外一個(gè)，從課程標(biāo)準(zhǔn)來說，在初中也是在義務(wù)課程標(biāo)準(zhǔn)階段，也是明確的規(guī)定了待定系數(shù)法是兩個(gè)重要的方法之一。所以從理論的層面和實(shí)踐的層面來看，在初中就已經(jīng)大量的，或者說經(jīng)常需要使用待定系數(shù)法來解決問題。第二個(gè)呢，我們看一看，如果剛才同意了待定系數(shù)法是確定重要的數(shù)

23、學(xué)模型里面系數(shù)的一個(gè)很好的方法，一個(gè)重要的方法的話，那么，在這個(gè)模型里面，又把它分解一下，到底它什么重要的模型呢？我們可以舉一個(gè)例子來說。比如說代數(shù)和算術(shù)的區(qū)別。那么代數(shù)和算數(shù)的區(qū)別是什么？算術(shù)基本上可以說不需要用到待定系數(shù)法，就是說它這個(gè)數(shù)基本上都確定的。你只要去計(jì)算就可以了。而代數(shù)呢？這里面就需要有一些字母。也就是說代數(shù)里面就需要大量的來確定這種參數(shù)。這種模型的參數(shù)所以這是代數(shù)和算術(shù)的一個(gè)重要的區(qū)別。因此，我們就看一看它在高中階段還有什么可能的發(fā)展。那么高中階段同樣的還是有那三個(gè)方面：方程、不等式、函數(shù)。只不過在方程、不等式、函數(shù)上面，他會(huì)需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)，比如說函數(shù)。他就要學(xué)習(xí)新的函數(shù)，三

24、角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等等。不等式也是一樣，可能要學(xué)習(xí)一元二次、不等式等等。方程也是，我們要學(xué)習(xí)更多的方程。在高中階段仍然需要對(duì)待定系數(shù)法進(jìn)行很好的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。因此，我覺得待定系數(shù)法，既是一種重要的這個(gè)基本技能，又是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想和方法。這就是一個(gè)基本的例子。當(dāng)然還有其他的，包括數(shù)形結(jié)合等等的其他的思想方法。問題：整體把握的意義和操作步驟大概有哪些？答疑參考：整體把握課程是我們新課程發(fā)展中的一個(gè)非常關(guān)鍵的一個(gè)詞。我們強(qiáng)調(diào)雙基，雙基要與時(shí)俱進(jìn)。整體的把握課程，是打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一個(gè)不容回避的一個(gè)問題。那么如何來理解整體把握課程呢？我想從這么幾個(gè)維度供老師作為一個(gè)參考。首先，應(yīng)該整體把握課程

25、的目標(biāo)。在我們這個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)里提出了六個(gè)課程目標(biāo)。我們希望老師能夠完整的理解這六個(gè)課程目標(biāo)。我們過去通常說是三維目標(biāo)：知識(shí)技能、過程方法、情感態(tài)度價(jià)值觀。這三個(gè)目標(biāo)是一個(gè)整體，它滲透在我們數(shù)學(xué)高中課程標(biāo)準(zhǔn)里的這六個(gè)課程目標(biāo)里。這六個(gè)課程目標(biāo)，不是兩兩不交的，它們有著密切的聯(lián)系，它們體現(xiàn)著我們整體高中數(shù)學(xué)課程的一個(gè)追求和一個(gè)價(jià)值取向。第二個(gè)，我想應(yīng)該整體的把握我們數(shù)學(xué)的素養(yǎng)和能力。比如說剛才講到通性通法非常重要。那么哪些是通性通法呢？如待定系數(shù)法。它是一個(gè)幾乎貫穿在我們課程始終的一個(gè)思想方法。它是可操作的，它是有內(nèi)涵的。因?yàn)槲覀冊(cè)絹碓街匾暷Ｐ驮跀?shù)學(xué)教學(xué)中的作用，也重視模型的日常生活和在其他學(xué)科中應(yīng)

26、用的作用。所以全面的理解我們?cè)诟咧须A段想要幫助學(xué)生形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和基本能力，或者說基本的數(shù)學(xué)思想方法，這是老師應(yīng)該關(guān)注的一個(gè)問題。第三個(gè)問題，我想應(yīng)該整體的來理解我們數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容。那么如何整體的理解數(shù)學(xué)課程內(nèi)容呢？我們建議老師從兩個(gè)維度去理解。一個(gè)就是貫穿在我們高中課程中的一些基本脈絡(luò)，或者叫做主線，這件事情到底有哪些主線。不同的人有不同的看法，我覺得這沒有關(guān)系，但是我們應(yīng)該認(rèn)真的思考，有哪些東西是高中課程的基本脈絡(luò)。這個(gè)對(duì)于我們整體的把握課程是有好處的。等一會(huì)兒我們用一些具體的實(shí)例來說明。第二個(gè)呢，就是我們應(yīng)該整體的了解整個(gè)高中課程的知識(shí)結(jié)構(gòu)。每一個(gè)老師的腦子里都應(yīng)該有一個(gè)必修課程的結(jié)構(gòu)框

27、圖。應(yīng)該有一個(gè)必修課程與選修一課程的結(jié)構(gòu)框圖。如果你是在文科教學(xué)的老師，你應(yīng)該有一個(gè)必修一、必修與選修二的結(jié)構(gòu)框圖。如果你是理科教學(xué)的老師，那還應(yīng)該有一個(gè)對(duì)于選修三和選修四的一個(gè)基本框架的理解。這對(duì)于我們提高老師自身的素養(yǎng)、提高教學(xué)效率都是非常重要的。第四個(gè)方面，也是我們這次高中課程要強(qiáng)調(diào)的，我們要以學(xué)生為主體。在學(xué)生為主體這個(gè)基本的思路下，在高中課程中，應(yīng)該幫助學(xué)生養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣。整體的理解如何幫助學(xué)生養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣，是學(xué)生成為主體的必不可少的組成部分。我們通常都說終身發(fā)展能力就是一種學(xué)習(xí)的能力，而學(xué)習(xí)能力是需要靠學(xué)習(xí)習(xí)慣來支撐的。問題：在教學(xué)實(shí)際過程中，整體把握對(duì)于老師來說

28、，對(duì)于備課，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量有著什么樣的作用？答疑參考：在教學(xué)實(shí)踐中，就覺得過去我們備課可能只是備知識(shí)點(diǎn)，就是我這一節(jié)課有多少個(gè)知識(shí)點(diǎn)，我把它備到了，然后拿例題去演算。這是我們平時(shí)上課容易操作的形式。通過剛才談到從不同的維度去來整體把握這個(gè)課程，我想對(duì)我們老師的備課有一個(gè)啟發(fā)的一個(gè)改變，就是說我們過去是一節(jié)課一節(jié)課備，頂多就是備一章?，F(xiàn)在要單元備課，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是它的前后聯(lián)系學(xué)生的情況，以及知識(shí)的前后的這種聯(lián)系，還有學(xué)生到底有什么樣的這種知識(shí)水平。在這種情況下，還要備一些的方法。我覺得這樣的整體把握課程可能備課會(huì)好，更有效。有時(shí)候光看一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有時(shí)看不清楚。你把它擱在整個(gè)課程的這個(gè)大的范疇里

29、頭，你可以更清楚的理解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的作用。   二、什么是高中新課程里頭的主要脈絡(luò)一線老師的討論發(fā)言：A老師：我認(rèn)為是函數(shù)可以稱為主線。為什么？因?yàn)楹瘮?shù)是作為一個(gè)最大的代數(shù)模型。學(xué)習(xí)數(shù)列它是一個(gè)特殊的函數(shù)，然后緊跟著有三角函數(shù)，然后解析幾何里邊有很多內(nèi)容都可以跟函數(shù)相關(guān)。B老師：我覺得一些重要的概念，是始終貫穿這個(gè)課程當(dāng)中的。一些關(guān)鍵的，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科，像角這個(gè)概念，還有距離這個(gè)概念。角這個(gè)概念，我們?cè)谛W(xué)階段就接觸過，到了初中學(xué)平面幾何也有，到了高中我們學(xué)立體幾何、解析幾何的時(shí)候，又再次出現(xiàn)這些概念。這些概念小學(xué)階段、初中階段、高中階段之間的聯(lián)系是什么？我們從哪方面多角度的

30、去關(guān)注這個(gè)概念？我覺得這些概念性的東西在整個(gè)課程當(dāng)中也是很關(guān)鍵的。當(dāng)然還有一些其他像距離等等。這些作為老師來說應(yīng)該從整體上去關(guān)注這樣一些概念，對(duì)我們教學(xué)，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知，我覺得都會(huì)更好一些。C老師：還有一個(gè)是運(yùn)算，不管是從小學(xué)、初中、還是高中，運(yùn)算貫穿到數(shù)學(xué)的始終。數(shù)學(xué)里面很重要的一部分代數(shù)恒等變形，那么這個(gè)變形里面就涉及到了一些符號(hào)的運(yùn)算問題，包括后面立體幾何、解析幾何、推理里面也帶著運(yùn)算。所以運(yùn)算也是一個(gè)主線之一。D老師：我認(rèn)為在高中數(shù)學(xué)里面，這個(gè)集合與簡(jiǎn)易邏輯也是一條主線之一。為什么這么說呢？高一可能一上來我們學(xué)習(xí)集合，但是以后的每一個(gè)模塊里面，其實(shí)都可以用集合的語(yǔ)言來描述，這是第一個(gè)。第

31、二個(gè)，在簡(jiǎn)易邏輯里面我們也可以用集合的語(yǔ)言，或者與集合相關(guān)的這些性質(zhì)，就是它們有關(guān)系。到后面這個(gè)簡(jiǎn)易邏輯，其實(shí)就是研究了命題、條件之間的關(guān)系。對(duì)于以后我們?cè)诿恳粋€(gè)學(xué)習(xí)的部分里都有助于我們來理解定義概念更加深入。比如說在布爾代數(shù)這個(gè)專題里面，其中有一節(jié)就是完全用集合的這種運(yùn)算，還有用命題的運(yùn)算來體現(xiàn)的。那么比前面的模塊有深入的這種趨勢(shì)。所以它也是一個(gè)主線。E老師：我覺得高中數(shù)學(xué)主線應(yīng)該說挺多，大致我個(gè)人感覺有這么幾條：一條就是函數(shù)主線，函數(shù)這條主線它包括基本初等函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式。都應(yīng)該算作函數(shù)這一塊的主線。因?yàn)槲覀兦懊娓嗟膹?qiáng)調(diào)的是函數(shù)的初等性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性。那么到導(dǎo)數(shù)那，我們研究函

32、數(shù)的可導(dǎo)性、連續(xù)性。那么到大學(xué)，這條主線還要繼續(xù)，可微性、可積性等等。另外數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，還有不等式，我們知道函數(shù)方程和不等式是密不可分的。所以函數(shù)應(yīng)該算作高中的一條最主要的主線。第二條主線，就是向量坐標(biāo)主線。向量是作為一種工具，已經(jīng)應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。另外從坐標(biāo)來說，笛卡爾坐標(biāo)系的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從此運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，變化進(jìn)入了數(shù)學(xué)。所以從高中新教材來看，這條主線比較清晰。比如說向量的內(nèi)容、平面向量、解析與平面解析幾何，還有這個(gè)空間向量，特別是立體幾何，把空間向量的角和距離的這個(gè)定量計(jì)算的問題納入了空間向量的這一部分。這樣就突出了向量和坐標(biāo)的這條主線。那么第三條主線，我感覺到新教

33、材加進(jìn)框圖和算法這一條主線，這也很重要。因?yàn)榭驁D和算法不僅僅是計(jì)算機(jī)的內(nèi)容,它是我們決策的內(nèi)容。我們可以利用框圖來指導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，可以利用框圖指導(dǎo)學(xué)生去決策，去分析這個(gè)題怎么做，這個(gè)知識(shí)怎么去理解，去怎么去考慮。所以說框圖和算法是應(yīng)該貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，這也算作一條主線。還有一條就是離散數(shù)學(xué)的組合數(shù)學(xué)的主線。就是排列組合，還有概率統(tǒng)計(jì)這一條主線。我個(gè)人理解高中數(shù)學(xué)應(yīng)該有這么幾條主線。F老師：我覺得在高中數(shù)學(xué)階段里面除了知識(shí)主線以外，還有數(shù)學(xué)思想方法的主線，比如說數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想，它在實(shí)際解題中間也是一個(gè)非常有效的方法。同時(shí)數(shù)形結(jié)合思想還體現(xiàn)在它聯(lián)系了數(shù)學(xué)的不同板塊。比如說向量、解

34、析幾何、三角，它都很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。問題：什么叫主線？或者有了什么樣的條件才能成為主線？答疑參考：用函數(shù)作為一個(gè)例子來說。說是函數(shù)是主線，還是函數(shù)思想是主線，我覺得這沒有關(guān)系。不同的人，不同的專家，會(huì)有不同的說法。但是我們可以理解函數(shù)這個(gè)內(nèi)容應(yīng)該是貫穿高中課程的一個(gè)基本主線。我想不僅是高中課程是整個(gè)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)主線。那么我想先說一下背景。在20世紀(jì)初英國(guó)數(shù)學(xué)家貝利和德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵等人的大力倡導(dǎo)和推動(dòng)下，函數(shù)進(jìn)行了中學(xué)數(shù)學(xué)課程?？巳R茵提出了一個(gè)重要的思想，這個(gè)思想就是以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容。具體是這么說的：函數(shù)概念應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂，以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材

35、集中在它的周圍。進(jìn)行充分的綜合。我覺得克萊茵這個(gè)思想是很重要的。我們不要形式的來理解克萊茵的這個(gè)話。但是我同意克萊茵的這樣的一個(gè)分析，函數(shù)是貫穿我們整個(gè)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)基本的脈絡(luò)。先說義務(wù)教育階段，再說大學(xué)階段，再回到我們高中。在義務(wù)教育階段，把孩子帶入數(shù)學(xué)的殿堂，數(shù)圖形都是吸引我們孩子進(jìn)入數(shù)學(xué)殿堂的重要的載體。另外還有一個(gè)就是量。因?yàn)槲覀兊暮⒆尤粘Ｉ钪袝?huì)碰到大量的不同的量。錢、時(shí)間、重量、質(zhì)量、高度、長(zhǎng)度等等。那么這些量是引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行思考的一個(gè)重要的一個(gè)動(dòng)力。在義務(wù)教育階段，我們不僅要認(rèn)識(shí)各種各樣的量，還要認(rèn)識(shí)量與量之間的關(guān)系。首先建立的這個(gè)量與量之間的關(guān)系，是最基本的一個(gè)模型。比如說

36、是路程、速度和時(shí)間的關(guān)系，是我們的孩子大概在三年級(jí)、四年級(jí)就開始了解。當(dāng)速度一定的時(shí)候，時(shí)間的變化可以引起路程的變化。通常我們的公式是s=vt。雖然當(dāng)時(shí)沒有說函數(shù)，但是我們通過這樣的具體的實(shí)例，已經(jīng)在孩子的心目中種下了函數(shù)的種子。第二個(gè)跳躍應(yīng)該是學(xué)習(xí)正比例關(guān)系和反比例關(guān)系。它強(qiáng)化了量與量之間的一種特殊的關(guān)系。那么這樣是我們對(duì)函數(shù)認(rèn)識(shí)的又一個(gè)飛躍。在這個(gè)基礎(chǔ)上，到了初中階段又開始認(rèn)識(shí)，形成了一個(gè)函數(shù)的基本的一個(gè)概念。我們了解了比如說特殊的一些函數(shù)，比如說線性函數(shù)Y=KX+B，我們又學(xué)習(xí)了其他的一元二次函數(shù)和分段函數(shù)這樣的一些概念。除了對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)之外，我們也幫助孩子去了解函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式

37、之間的關(guān)系，成為了我們對(duì)函數(shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)。我想這是在義務(wù)教育階段大家可以看出，無論是內(nèi)容、作用，那么函數(shù)和函數(shù)的思想已經(jīng)成為我們義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的一個(gè)基本的脈絡(luò)。那么再說到大學(xué)。那么大學(xué)我們現(xiàn)在都要學(xué)數(shù)學(xué)課程。無論是文科、工課、理科。那么在所有這些課程中，以函數(shù)作為主要研究對(duì)象的課程內(nèi)容是非常豐富的。我們以大學(xué)數(shù)學(xué)系為例。我們要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程中，有數(shù)學(xué)分析，它就是以函數(shù)為基本研究對(duì)象的課程。有實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)是以一個(gè)更廣泛的，不同的深度的函數(shù)的理解作為出發(fā)點(diǎn)。所以我們就可以看出，無論在義務(wù)教育階段，還是在大學(xué)階段，函數(shù)都是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象和主要研究思想。在高中階段，我想也是一樣。

38、在高中階段可以分作四個(gè)維度來看待高中階段的函數(shù)的作用。第一個(gè)維度，首先我們要對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行深入的理解。在高中我們一定要形成學(xué)生對(duì)函數(shù)三個(gè)角度的認(rèn)識(shí)。第一個(gè)角度，是我們?cè)诔踔械幕A(chǔ)上進(jìn)一步的深化認(rèn)識(shí)變量與變量之間的依賴關(guān)系。一個(gè)變量的變化將引起另外一個(gè)變量的變化，這是認(rèn)識(shí)函數(shù)的一個(gè)角度。第二個(gè)維度，就是我們要把它看作一個(gè)映射。一個(gè)實(shí)數(shù)集合，另外一個(gè)實(shí)數(shù)集合，它們之間存在著一個(gè)橋梁。這個(gè)橋梁就是在一個(gè)實(shí)數(shù)集合里的一個(gè)數(shù)，按照這種對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一的確定另外一個(gè)集合中的一個(gè)唯一的數(shù)。那么這是我們對(duì)函數(shù)的另外一個(gè)認(rèn)識(shí)的角度。第三個(gè)角度用我們通俗的話來說，就是函數(shù)圖象。一個(gè)函數(shù)有唯一的圖象和它對(duì)應(yīng)，同樣一個(gè)

39、函數(shù)圖象將唯一的決定一個(gè)函數(shù)。這樣的認(rèn)識(shí)會(huì)使我們對(duì)于函數(shù)在高中階段有一個(gè)完整的理解。第二個(gè)維度，就是在高中階段我們將要幫助學(xué)生理解一批函數(shù)的模型。在義務(wù)教育階段的基礎(chǔ)上我們要加深對(duì)于線性函數(shù)Y=KX+B的認(rèn)識(shí)。我們要進(jìn)一步的深化對(duì)一元二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)，同樣我們要理解簡(jiǎn)單的冪函數(shù)。比如說Y等于X三次方，Y等于X負(fù)一次方，Y等于X二分之一次方。這樣的函數(shù)是基本的。我們還要幫助孩子建立起指數(shù)函數(shù)的模型、對(duì)數(shù)函數(shù)的模型、三角函數(shù)的模型。數(shù)列作為特殊函數(shù)的模型，我們還要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于這個(gè)分段函數(shù)的一個(gè)認(rèn)識(shí)。它的規(guī)律是通過不同段落所不同的規(guī)律組成的，一個(gè)新的規(guī)律。我們希望在高中階段把這樣一些函數(shù)的模型印記在學(xué)

40、生的腦海中。通過這樣的一些模型的認(rèn)識(shí)，來幫助他們?nèi)绾卫煤瘮?shù)作為一種基本模型去描述自然生活、自然界和我們?nèi)粘Ｉ钪械囊?guī)律。第三個(gè)維度是函數(shù)的應(yīng)用。我們可以從兩個(gè)方面來看待函數(shù)的應(yīng)用。一個(gè)是函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，也就是在高中階段我們要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)去認(rèn)識(shí)方程，去認(rèn)識(shí)不等式，去認(rèn)識(shí)線性規(guī)劃問題，去認(rèn)識(shí)算法，去認(rèn)識(shí)隨機(jī)過程或者隨機(jī)變量。用隨機(jī)變量去認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象。這些應(yīng)用都體現(xiàn)了函數(shù)的作用。函數(shù)在高中課程中的作用。第二個(gè)方面就是在實(shí)際中的應(yīng)用。函數(shù)是我們刻劃自然界和我們?nèi)粘Ｉ钜?guī)律的最基本的，也是最重要的數(shù)學(xué)模型之一。所以在我們應(yīng)用的這個(gè)層面上，我們分三個(gè)層次來體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用。第一個(gè)層次，我們要幫

41、助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)去描述和刻劃日常生活中和其他學(xué)科中的規(guī)律。第二個(gè)層次，我們要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用我們掌握的函數(shù)模型去解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。比如說我們可以用等比數(shù)列和等差數(shù)列去刻劃經(jīng)濟(jì)生活中的一些基本的問題。第三個(gè)層次，我們希望通過函數(shù)這個(gè)載體幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模的一個(gè)基本的過程。如何從日常生活中發(fā)現(xiàn)問題，如何利用我們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)去描述問題，如何把它抽象成為一個(gè)數(shù)學(xué)的模型，如何去解決這個(gè)數(shù)學(xué)模型中的結(jié)果，如何去分析這個(gè)結(jié)果是否符合實(shí)際。當(dāng)我們不符合實(shí)際的數(shù)學(xué)結(jié)果，我們?nèi)绾握{(diào)整我們所建立的數(shù)學(xué)模型，這樣的一種思想。第四個(gè)維度，就是我們?cè)诟咧须A段將幫助學(xué)生形成研究函數(shù)的兩個(gè)基本方法。第一個(gè)如何用運(yùn)算去研

42、究函數(shù)，比如研究函數(shù)的單調(diào)性。第二個(gè)如何用導(dǎo)數(shù)的思想去研究函數(shù)，去反映函數(shù)的變化規(guī)律。通過這樣一個(gè)基本的分析，我們就可以認(rèn)識(shí)到函數(shù)的的確確是高中課程的一個(gè)基本脈絡(luò)，是一條主線。當(dāng)然在選修三、選修四的課程中，函數(shù)如何體現(xiàn)，我們將在選修三、選修四的課程里再做具體的分析。所以我們提供一個(gè)參考，用這樣的一個(gè)思考來理解函數(shù)，會(huì)對(duì)我們高中課程能有一個(gè)整體的把握。我們也想用這樣的一個(gè)思考提供給老師一個(gè)參考，如何來認(rèn)識(shí)貫穿在高中課程的基本脈絡(luò)。比如說老師剛才想到的這個(gè)我們能不能參考函數(shù)，去梳理一下您對(duì)于高中課程內(nèi)容的基本脈絡(luò)的一個(gè)認(rèn)識(shí)。問題：整體把握或者主線分析，對(duì)老師們掌握像函數(shù)這樣的概念，會(huì)起什么樣的作用

43、？剛才以函數(shù)為例，做的一個(gè)整體觀把握。整體把握的這個(gè)整體是相對(duì)于部分而言的。如何我們?cè)诮虒W(xué)當(dāng)中，學(xué)習(xí)某一些概念，以函數(shù)為例，在高一的時(shí)候他會(huì)出現(xiàn)，在高二、高三都要出現(xiàn)。那么老師們?cè)诮虒W(xué)當(dāng)中容易受一些高考評(píng)價(jià)等等的影響，容易把我們的教學(xué)目標(biāo)制定成為終極目標(biāo)。那么我們整體來看函數(shù)，函數(shù)的這幾個(gè)性質(zhì)以及函數(shù)在不同時(shí)期，像后續(xù)學(xué)習(xí)的數(shù)列、三角函數(shù)等等，它為我們?cè)诤竺嫣峁┝酥笖?shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等等，以及它的應(yīng)用來說，那么不僅僅在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部，相應(yīng)跨界到了物理當(dāng)中，提供給我們的函數(shù)模型。如果我們用這種聯(lián)系的觀點(diǎn)來看待，在高一教學(xué)的時(shí)候以單調(diào)性為例。在高一教學(xué)講單調(diào)性的時(shí)候，我們就不應(yīng)該，也不宜花大量的時(shí)間停

44、留在形式化的定義，形式化的做差比較。因?yàn)閷?duì)單調(diào)性的證明來看，可以在將來的學(xué)習(xí)當(dāng)中選一或者選二，用導(dǎo)數(shù)的思想把單調(diào)性刻劃的更透徹。它的證明就更簡(jiǎn)潔了。不必在高一的時(shí)候，把精力花費(fèi)在這，以此為例吧。問題：很多老師在高一講單調(diào)性的時(shí)候就用定義證明，玩兒出了很多很多的花樣。再加上好多函數(shù)性質(zhì)，很多老師就會(huì)在這個(gè)地方按高考的母本，把這幾個(gè)性質(zhì)組合起來，使學(xué)生在做題的時(shí)候去找相應(yīng)的函數(shù)工具，和相應(yīng)的那種好像不是函數(shù)知識(shí)本身的東西?；撕芏嗔?。從這個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)制定的角度來考慮，像這樣的問題應(yīng)該怎么樣去避免？或者對(duì)老師應(yīng)該有什么樣的教學(xué)建議？這次在推進(jìn)新課程的時(shí)候，一個(gè)主題詞就是整體把握。這個(gè)整體把握是我們對(duì)

45、數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的一個(gè)理解的一個(gè)角度。我們不僅要摳清楚每一個(gè)概念，不僅要對(duì)每一個(gè)技能掌握的比較的牢靠。一旦你把一個(gè)概念放在整個(gè)數(shù)學(xué)這個(gè)大的框架里去理解的話，你會(huì)對(duì)這個(gè)概念有更多的感悟。那么一個(gè)概念它可能會(huì)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的不同的地方。你是通過對(duì)于不同地方出現(xiàn)這個(gè)概念的不同理解，來加深這個(gè)概念的認(rèn)識(shí)。所以有時(shí)候老師常常有一個(gè)所謂一步到位。這件事情是分不同的內(nèi)容而異的。我們并不一概的說不應(yīng)該一步到位，或者應(yīng)該一步到位。不同的地方應(yīng)該做不同的分析。函數(shù)的概念是需要一個(gè)很長(zhǎng)的過程，才能對(duì)它有一個(gè)更深的一個(gè)理解。絕不是說敘述清楚了函數(shù)的定義，這個(gè)概念就已經(jīng)完全掌握了。需要通過對(duì)于函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)，需要通過對(duì)于函

46、數(shù)性質(zhì)的了解。在這個(gè)所有的過程中，都在不斷的體會(huì)這個(gè)概念。比如說在應(yīng)用中，我們?yōu)槭裁匆獙?duì)于X中的一個(gè)值，在Y中有唯一的值與之對(duì)應(yīng)？在應(yīng)用中，我們會(huì)感悟到這些事情，當(dāng)我們看外面跑的汽車，我們看表，每一個(gè)時(shí)刻，汽車的速度都是有唯一的值。這是大量存在的日常生活的現(xiàn)象和自然規(guī)律中的現(xiàn)象。所以數(shù)學(xué)只是刻劃這種現(xiàn)象的一種工具，或者是一個(gè)模型，或者一個(gè)想法。它就是把日常生活的這些現(xiàn)象，通過數(shù)學(xué)的概念，把它刻劃出來。所以對(duì)于概念的認(rèn)識(shí)也好，對(duì)于技能的把握也好，那么是需要在一個(gè)過程中去理解的。這次課程把過程當(dāng)作目標(biāo)，我覺得這件事是一個(gè)進(jìn)步。雖然大家對(duì)這件事還有分歧，還有不同的看法，但是我覺得這件事在很大層面達(dá)成

47、了共識(shí)，是我們整個(gè)教育的一個(gè)進(jìn)步。這次在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂的過程中，對(duì)這個(gè)問題達(dá)成的一致，我覺得是非常重要的一件事情。剛才大家都說了我們?cè)诓粩嗟募由钗覀儗?duì)于數(shù)學(xué)課程的理解和認(rèn)識(shí)，這都是非常好的事情。問題：怎樣整體把握幾何的這種思想，或者整體把握像比如說立體幾何，怎樣讓學(xué)生能夠整體的感受到空間中線面、點(diǎn)線面的這些關(guān)系？唐山一中王君老師為我們?cè)O(shè)計(jì)的這樣一節(jié)課的教學(xué)。他竟然能在一節(jié)課里頭讓學(xué)生同時(shí)感知了各種各樣的點(diǎn)線面之間的關(guān)系。我們來看看他是怎么做的。王君：各位老師好！我今天要說課的題目是立體幾何的第一節(jié)課。本節(jié)課的基本思路是跳過平面的基本性質(zhì)，結(jié)合學(xué)生身邊實(shí)例，讓學(xué)生整體了解立體幾何的知識(shí)框

48、架。這樣處理的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：一、對(duì)以前教學(xué)的反思。以前講這一章是根據(jù)教材體系，先講平面的基本性質(zhì)，也就是三個(gè)公理，用它們證明共線、共點(diǎn)共面。我們知道這部分內(nèi)容在立體幾何中，是既抽象又枯燥的，如果一上來就將三個(gè)公理，就會(huì)使一些學(xué)生感到吃力，產(chǎn)生對(duì)立體幾何的恐懼心理。此外，把這一章的內(nèi)容一節(jié)一節(jié)的順序處理，也不利于學(xué)生整體掌握本章的內(nèi)容。二、根據(jù)布魯納的學(xué)科結(jié)構(gòu)論的思想，無論教任何學(xué)科，都要?jiǎng)?wù)必使學(xué)生掌握該學(xué)科的知識(shí)體系，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來，這樣才能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)理解，更好的鞏固所學(xué)知識(shí)，發(fā)揮知識(shí)的整體作用。三、按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，要以長(zhǎng)方體為載體，直觀的認(rèn)識(shí)和理解

49、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，再對(duì)有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行嚴(yán)格的表述，并對(duì)某些結(jié)論加以論證。許多立體幾何問題，只要畫出長(zhǎng)方體，一切問題就迎刃而解了。四、根據(jù)立體幾何這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以用一、二、三、四這四個(gè)數(shù)字來概括本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)?！岸笔侵钙叫泻痛怪眱蓷l主線；“三”是指三個(gè)角，也就是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角；“四”是指四對(duì)定理，也就是線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直的判斷和性質(zhì)定理；“一”就是一個(gè)長(zhǎng)方體，也可以說是正方體。二三四的內(nèi)容，都可以在長(zhǎng)方體中找到解釋。我把長(zhǎng)方體叫做神奇的魔方。我們每天居住在長(zhǎng)方體里，學(xué)生每天在長(zhǎng)方體里上課。把長(zhǎng)方體當(dāng)成載體

50、，既體現(xiàn)了生活直觀，又符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，讓學(xué)生通過觀察教室內(nèi)的天花板、地板、墻壁、門日光、燈、書桌，和教室外的旗桿電線，還有手中筆和書，把筆當(dāng)線，把書作面，就不難說出空間點(diǎn)、直線和平面的各種位置關(guān)系，和各種位置關(guān)系的判定及性質(zhì)定理?；谝陨系目紤]，把這一節(jié)立體幾何的開始的這一節(jié)課，定位成整體把握本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)。二、教學(xué)過程引言按照布魯納的學(xué)科結(jié)構(gòu)論的思想，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的出現(xiàn)，都應(yīng)該既自然又必然，所以引言很重要。引言我是這樣設(shè)計(jì)的?！巴瑢W(xué)們，前面我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一些幾何體，如長(zhǎng)方體、棱柱、棱錐等。這些幾何體，都是由點(diǎn)線面構(gòu)成的，為了進(jìn)一步研究這些幾何體的性質(zhì)，我們必須研究空間點(diǎn)線面的各種位置關(guān)系。

51、其實(shí)這些位置關(guān)系我們平時(shí)都接觸過，今天咱們就一起來歸納一下?！蔽蚁冉o同學(xué)舉一個(gè)范例。然后讓同學(xué)模仿我的范例進(jìn)行歸納總結(jié)。我舉的范例是操場(chǎng)中升國(guó)旗用的旗桿和地面是垂直的，是和地面的關(guān)系，是直線和平面垂直的關(guān)系。同學(xué)們模仿老師的范例，根據(jù)自己觀察教室內(nèi)外的實(shí)物，同學(xué)們很容易說出各種位置關(guān)系。下面就是同學(xué)們，老師來板書。同學(xué)們根據(jù)教室的位置關(guān)系，有的同學(xué)說天花板和地面是平面和平面平行的關(guān)系，有的同學(xué)說日光燈和地面是線面平行的關(guān)系等等。這個(gè)教師按照同學(xué)所說的，根據(jù)線線、線面、面面三個(gè)塊，把各種位置關(guān)系書寫完畢。如果學(xué)生說不全，比如有的同學(xué)沒有說出線在平面內(nèi)這種位置關(guān)系，老師就在黑板上畫一條直線，同學(xué)就

52、想到了線在平面這種位置關(guān)系。有的同學(xué)只想到了線面垂直關(guān)系，想不到線面相交關(guān)系，這樣老師就讓同學(xué)把筆戳在書桌上，然后進(jìn)行比劃，然后同學(xué)就想到了線面相交的關(guān)系。把線面垂直作為線面相交的一種特殊情況。三、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些命題?？偨Y(jié)出了各種位置關(guān)系以后，還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系的各種判定和性質(zhì)。比如老師又給同學(xué)們舉了一個(gè)范例，馬路旁邊的燈桿都和地面垂直。結(jié)果他們就平行說明一個(gè)道理，就是垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行。同學(xué)們根據(jù)老師所說的，每個(gè)人都爭(zhēng)先恐后的發(fā)言，去找身邊的實(shí)例。說出一個(gè)命題，學(xué)生敘述，教師板書。老師們把同學(xué)們敘述出的命題，就稱作某某某命題，比如說是張三說的，老師

53、就說這叫張三猜想。李四說的命題，就叫李四猜想。這樣既能幫助同學(xué)記憶，又激勵(lì)學(xué)生為以后的論證打下伏筆。四、在長(zhǎng)方體中確認(rèn)以上的位置關(guān)系和命題的真假。這個(gè)利用多媒體教學(xué)托出一個(gè)長(zhǎng)方體，讓學(xué)生觀察，把剛才大家所談到的各種位置關(guān)系在長(zhǎng)方體中加以確認(rèn)。教師可以叫出幾個(gè)同學(xué)，就每種位置關(guān)系在長(zhǎng)方體里面找到對(duì)應(yīng)的位置說出來即可。五、教師小結(jié)同學(xué)們通過身邊的實(shí)例，找出了空間中的點(diǎn)和直線的各種位置關(guān)系。其實(shí)我們這一章的內(nèi)容就是這些。大家今天通過一節(jié)課，就把各種位置關(guān)系和各種判定都找出來了，這使同學(xué)們很高興，覺得今天一節(jié)課就把立體幾何中的東西都學(xué)會(huì)了。這樣就使得同學(xué)們對(duì)立體幾何感覺到非常親切，沒有畏難情緒，這對(duì)以

54、后學(xué)生學(xué)好立體幾何打下了基礎(chǔ)。六、布置作業(yè)教師給同學(xué)布置了三方面的作業(yè)。第一在教材中找到相應(yīng)的內(nèi)容，看看教材中是怎樣講的，怎樣表示的，也就是把同學(xué)們所敘述的各種位置關(guān)系在課下在教材中去找對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。第二整理筆記，總結(jié)空間點(diǎn)直線和平面的各種位置關(guān)系，盡量寫出表示方法。如果能畫出直觀圖，自己就試著畫一畫直觀圖。第三長(zhǎng)期的作業(yè)，讓同學(xué)研究各自的猜想，如果錯(cuò)誤，在長(zhǎng)方體中給出反例，如果正確，就在以后加以證明。教學(xué)后記本節(jié)課：一、讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)了解了立體幾何的知識(shí)梗概，對(duì)立體幾何有一個(gè)整體了解。二、降低了知識(shí)門檻，使學(xué)生覺得立體幾何并不難。雖然俗話說萬事開頭難，實(shí)際如果我們這樣講，同學(xué)們就會(huì)感覺到立體

55、幾何是身邊的數(shù)學(xué)，就和他們自己的生活息息相關(guān)，就感覺不到難度。三、突出了生活直觀和幾何直觀，這樣有利于鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)。四、突出了學(xué)生的主體地位，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望。在接下來的課中，我們可以說今天我們就研究某某猜想，待證完以后，我們?cè)俳o出定理的名稱。這樣既便于學(xué)生記憶，又能激勵(lì)學(xué)生自主探索。五、培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成利用長(zhǎng)方體解決問題的習(xí)慣。過去同學(xué)們?cè)谧鲇嘘P(guān)判斷題時(shí)，學(xué)生不知道會(huì)用長(zhǎng)方體去找答案，比如已知AB異面，BC異面，問AC的位置關(guān)系如何？許多同學(xué)說不清楚，也畫不出圖形。我和同學(xué)們開玩笑說：“你們真是不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。你們?yōu)槭裁床划嬕粋€(gè)長(zhǎng)方體呢？你們生活在長(zhǎng)方體里頭，如果能畫出

56、長(zhǎng)方體來，不就很清楚了嗎？”現(xiàn)在同學(xué)們都知道在長(zhǎng)方體中找答案，不必老師再要求了。比如兩邊分別垂直的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)嗎？同學(xué)們只要畫出長(zhǎng)方體，很快就得出了結(jié)論。還有兩個(gè)面分別垂直的兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)嗎？同學(xué)們也是畫出長(zhǎng)方體找出答案。教學(xué)設(shè)計(jì)想法。這節(jié)課給我們提供了一個(gè)非常好的一個(gè)示范。這節(jié)課應(yīng)該說可能很多老師不會(huì)這么上，大多數(shù)老師都是在課堂里面上，雖然教師大多數(shù)也是講一個(gè)立方體，但是他確實(shí)給我們提供了一個(gè)新的視角。因此，我想主要從下面來談。首先第一個(gè)問題是說說這節(jié)課，第二個(gè)問題就這節(jié)課也稍微延伸一下，談一談到底從幾個(gè)角度來認(rèn)識(shí)幾何這條主線。首先，這節(jié)課的重要性或者重要的特點(diǎn)，表現(xiàn)在它加強(qiáng)了幾何

57、學(xué)習(xí)的直觀性。幾何是什么呢？幾何到底是什么內(nèi)容呢？我們可以來聽一聽數(shù)學(xué)家的看法？數(shù)學(xué)家阿蒂亞曾經(jīng)說過，幾何是視覺思維，就是說看到的東西往往是一個(gè)最容易記的東西。這節(jié)課通過學(xué)生的這種觀察，充分體現(xiàn)了直觀的重要性，也就是說，通過學(xué)生的觀察、操作等等這些方式，達(dá)到了直觀上去認(rèn)識(shí)，將來要通過形式化，通過定量化去學(xué)習(xí)的幾何內(nèi)容點(diǎn)線面之間的關(guān)系。不管是它的夾角，還是面積、體積等等這些問題。第二點(diǎn)，這節(jié)課基本上可以說完成了一個(gè)濃縮。因?yàn)楦咧袑W(xué)習(xí)會(huì)比義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的容量肯定是要大一點(diǎn)的。那我們可以嘗試在國(guó)內(nèi)外都大量實(shí)踐的一個(gè)模型，就是范·希爾夫婦的模型，來簡(jiǎn)單的分析一下幾何學(xué)習(xí)的幾個(gè)組成部分。范&

58、#183;希爾夫婦的幾何學(xué)習(xí)的模型，大致有這么五個(gè)階段：第一是直觀化。所謂直觀化就是你看到了什么。第二是描述或者叫分析。就是能夠用自己的語(yǔ)言把看到的東西說出來。第三是歸納和抽象。就是能夠把看到的東西進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)臍w納和抽象。比如學(xué)生能夠說出來面和線垂直是什么意思，這種歸納和抽象可能不是完全按照教科書那么樣去敘述。第四是推理和論證。到了第四個(gè)階段再來推理論證要想證明線面垂直，或者說面面垂直。這個(gè)時(shí)候應(yīng)該首先承認(rèn)一些事實(shí)，也就是基本上達(dá)到了進(jìn)入公理的階段。就是承認(rèn)一些基本事實(shí)。第五就是要回答到底還有什么其他的內(nèi)容。比如說是不是承認(rèn)這樣一個(gè)基本事實(shí)就是唯一的一個(gè)事實(shí)。就是說能夠?qū)@些問題進(jìn)行系統(tǒng)化的

59、整理。因此這一節(jié)課里面雖然沒有達(dá)到后面兩個(gè)階段，但是他為后面的階段奠定了非常重要的基礎(chǔ)，就是直觀化。直觀化的認(rèn)知水平并不是僅僅在義務(wù)教育階段，甚至在大學(xué)學(xué)習(xí)中也是需要直觀化的作為背景。只不過在不同的階段，直觀有不同的水平。因此這節(jié)課體現(xiàn)了這樣一個(gè)很好的一個(gè)學(xué)習(xí)階段。第三點(diǎn)，這節(jié)課充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性。因?yàn)樾抡n程強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，那么主體性的落實(shí)應(yīng)該是通過具體的課堂教學(xué)的落實(shí)，而不是通過我們僅僅從理念上來說這件事情。這節(jié)課應(yīng)該是實(shí)踐了學(xué)生主體性的這樣一個(gè)理念。所以這節(jié)課從這三個(gè)方面來看，應(yīng)該說是一個(gè)具有創(chuàng)新性的一個(gè)實(shí)踐。關(guān)于這節(jié)課的延伸，我們高中教師應(yīng)該去掌握或者分析到底什么是幾何主線。義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容與高中學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)系大致有這么幾條維度，可以供大家去思考幾何學(xué)習(xí)：第一是從整體到局部，再到整體，這樣一個(gè)學(xué)習(xí)過程。