矢量場的通量及散度

1、1.3 1.3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度1 1、矢量場定義及圖示、矢量場定義及圖示 對于空間區(qū)域?qū)τ诳臻g區(qū)域V內(nèi)的任意一點內(nèi)的任意一點r，若有一個矢量若有一個矢量F(r)與之對與之對應(yīng)，我們就稱這個矢量函數(shù)應(yīng)，我們就稱這個矢量函數(shù)F(r)是定義于是定義于V 的矢量場。的矢量場。恒穩(wěn)矢量場恒穩(wěn)矢量場F(r) ，時變矢量場時變矢量場F(r , t)。 矢量場圖矢量場圖 - - 矢量線矢量線0d lF其方程為其方程為 矢量線的示意圖矢量線的示意圖F線線Fdl矢量線矢量線F(x,y,z) = Fx (x,y,z) ex + Fy (x,y,z) ey + Fz (x,y,z) ez (Fy

2、 dz Fz dy) ex + (Fz dx Fx d ) ey + (Fx dy Fy dx) ez = 0Fy dz Fz dy = 0Fz dx Fx dz = 0Fx dy Fy dx = 0或或得得直角坐標(biāo)的矢量線方程直角坐標(biāo)的矢量線方程zyxFzFyFxddd矢量場的直角坐標(biāo)式為矢量場的直角坐標(biāo)式為 0lFd 矢量矢量 F沿有向曲面沿有向曲面S 的面積分的面積分SF dS2 2、通量、通量 矢量矢量 F 在面元在面元dS 的面積分為的面積分為d = Fnds =Fcos dS = F dS 矢量場的通量矢量場的通量 FneSd 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ，可以根據(jù)凈通量的大小判

3、，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)斷閉合面中源的性質(zhì): :ssF d 0 ( (有正源有正源) ) 0 ( (有負源有負源) ) = 0 ( (無源無源) ) 矢量場的閉合面通量矢量場的閉合面通量 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)在直角坐標(biāo)系中，設(shè) F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez ds = dydz ex+ dxdz ey+ dxdy ez則通量可寫成則通量可寫成szyxsyxFzxFzyFdddddddsF 如果包圍點如果包圍點P 的閉合面的閉合面 S 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 V 以任意方式縮小為點以任意方式縮小為點

4、P 時時, , 通通量與體積之比的極限量與體積之比的極限 存在存在, ,我們就將它定義為我們就將它定義為P 點處點處F(r)的散度的散度（divergence），記作記作 VsVsFlimd03 3 散度散度VdivsVsFFdlim0zzzzyyyyxxxxzzx,y,zFx,y,zFzx,y,zyyx,y,zFx,y,zFy,zx,yxxx,y,zFx,y,zFx,y,zxeFeFeF)()()()()()()()()( 求邊長分別為求邊長分別為x、y、z 的小平行六面的小平行六面體的通量，其體積體的通量，其體積V=xyz 。根據(jù)泰勒極數(shù)可知根據(jù)泰勒極數(shù)可知acbFx(x+x,y,z)Fy

5、(x,y+y,z)Fz(x,y,z+z)xyzoxyz(x,y,z)Fx(x,y,z)Fy(x,y,z)Fz(x,y,z)直角坐標(biāo)的微分體積直角坐標(biāo)的微分體積VzFyFxFyxFyxzzFFzxFzxyyFFzyFzyxxFFzyxzzzyyyxxx)()()()(dssFzFyFxFVdivzyxsVsFFdlim0zFyFxFzyx F或?qū)懗苫驅(qū)懗杉吹眉吹?acbFx(x+x,y,z)Fy(x,y+y,z)Fz(x,y,z+z)xyzoxyz(x,y,z)Fx(x,y,z)Fy(x,y,z)Fz(x,y,z) 直角坐標(biāo)的微分體積直角坐標(biāo)的微分體積4 4、散度的物理意義、散度的物理意義 散度

6、代表矢量場的通量源的分布特性散度代表矢量場的通量源的分布特性 F= 0 ( (無源無源） F= 0 ( (負負源源) ) F= 0 ( (正源正源) ) 矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)；矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)；5 5、散度運算的幾個基本關(guān)系式、散度運算的幾個基本關(guān)系式 相對坐標(biāo)矢量函數(shù)相對坐標(biāo)矢量函數(shù) )(rrFFF)(rrR 相對位置矢量相對位置矢量 3 R 標(biāo)量場標(biāo)量場 f (r) 和矢量場和矢量場 F(r) 之積之積 f F FFFfff)( R 及其模及其模R 03RR0RFFFfff)(證明：證明： 設(shè)設(shè) f (r) =f (x,y,z) ， F( x,y

7、,z ) = Fx ( x,y,z ) ex+ Fy ( x,y,z ) ey+ Fz ( x,y,z ) ez 則則FFeeeeeeFffzfFyfFxfFzFyFxFfzfFzFfyfFyFfxfFxFffFzfFyfFxfFfFfFzyxfzyxzyxzzyyxxzyxzzyyxxzyx)()()()()()()()()()()(03RRRF 31Rf 證明：證明：設(shè)：設(shè)：0331311)(433333RRRRRRRRfffRRRRRFFF0RxyazbS1oS5S4S3S2例例3 3 已知已知 F( x,y,z ) =yzex+xz ey+xyz ez ，式求它穿過閉合式求它穿過閉合面的部分圓柱面面的部分圓柱面S1的通量。的通量。 x = acos ， y = asinS1上的上的F 寫成寫成F= azsinex+ azcos ey+ a2zsincos ez 因因 ds1=addz en 則則 F ds1= a2zsin（ex en）+a2zcos（ey en） + a3zsincos（ezen） ddz = 2a2zsin cos d