2005年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、如05年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試卷、選擇題：（每題7分，共42分）1、化簡:4+759+30723-66-4072的結(jié)果是OA、無理數(shù)B、真分?jǐn)?shù)C、奇數(shù)D、偶數(shù)2、圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14;則這個四邊形的面積為A、78.5B、97.5C、90D、1023、設(shè)r？4,a=11,b=工一J,rr+1、,r.r+1c=r('一r+,r+1),則下列各式一定成立的是A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a4、圖中的三塊陰影部分由兩個半徑為1的圓及其外公0D切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這

2、兩圓的公共弦長是A、C、穴25一D、1725、已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示，1記p=|ab+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2ab|,則A、p>qB、p=qC、p<qD、p、q大小關(guān)系不能確定6、若X1,X2,X3,X4,X5為互不相等的正奇數(shù)，滿足（2005X1）（2005X2）（2005X3)(2005X4)(2005X5)=242,貝Ux2+x2+x2+x2+x5的未位數(shù)字是A、1B、3C、5D、7、填空題（共28分）1、不超過100的自然數(shù)中，將凡是3或5的倍數(shù)的數(shù)相加，具和為2、，7x2+9x+13+57x25x+13=7x,貝Ux=3、

3、若實(shí)數(shù)x、y滿足3x3+3y3=1,3x3+3y3=i，貝,x+y=。33+4333+6353+4353+634、已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A>B>C,用a表示AB,BC以及90°A中的最小者，則a的最大值為。三、解答題（第1題20分，第2、3題各25分）1、a、b、c為實(shí)數(shù)，ac<0,且J2a+J3b+J5c=0,證明：一元二次方程ax2+bx+c=0有大于3而小于1的根。42、銳角AABC中，AB>AC,CD、BE分別是AB、AC邊上的高，過D作BC的垂線交BE于F,交CA的延長線于P,過E作BC的垂線，交CD于G,交BA的延長線于Q,

4、證明：BC、DE、FG、PQ四條直線相交于一點(diǎn)。3、a、b、c為正整數(shù)，且#+b3=c4,求c的最小值2005年全國聯(lián)賽決賽試卷詳解、選擇題：（每題7分，共42分）1、化簡：+的結(jié)果是4+759+3023-也6-40五A、無理數(shù)B、真分?jǐn)?shù)C奇數(shù)D偶數(shù)解4+V>T-V-1+JJ-一4yj551,11,175&+7+560一十_十_z._144+5應(yīng)+335/+47+5727-57249-50所以選D2、圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14;則這個四邊形的面積為。A、78.5B、97.5C、90D>102解：由題意得：52+142-2X5X14Xcosa=102+1122X

5、10X11Xcos(180°a).221140COSa=221+220cosa-COSa=0-a=90，四邊形的面積為：5X7+5X11=90，選C,則下列各式一定成立的是.3、設(shè)r>4,1工rr+1c=r(、r+、r+1)A、a>b>cB、b>c>aCc>a>bD>c>b>a25251.036Sz2020解法1:用特值法，取r=4,則有a=1_1Jb=1遮=5-2新4520'b2510c_1_痣_2_5(而-2)：1.184(2+5)42020c>b>a,選D解法2：c=1r(r+.r+1)7r-4,r

6、r1-rr1rlr=rr1Iri-rl.r=rr1)卜干1-r-1-110,r(r+1(r+r1W+r1«)故r<ab又rr1)：；：，：r1、.r.rh.r=.r1,r)Li：rr1一r0,rr1、.r1、，r.rr、,r故b<面上所述：a<b選cD解法3:-r>41=.1<1,r.r1，a二-1二一：二，一二b:r.r1./r,r1.r.r1a<b<c,選D4、圖中的三塊陰影部分由兩個半徑為1的圓及其外公切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩圓的公共弦長是。A、遭B、一6C、125一冗2D、1.16-冗22222

7、解：由圖形割補(bǔ)知圓面積等于矩形ABCD勺面積2二二1=2AB,AB=一2A選D42由垂徑定理得公共弦為5、已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示，記p=|ab+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2ab|,則A、p>qB、p=qC、p<qD、p、q大小關(guān)系不能確定解：由題意得：a<0,b>0,c=0p=|ab|+|2a+b|,q=|a+b|+12ab|一b又>1,a-b<2a,.2a+b>0,從而a+b>-a>02a.p=|ab|+12a+b|=b-a+2a+b=a+2b=2b+a,q=|a+b|+|2ab|=a+b+b

8、-2a=2b-ap<q,選C6、若xi,X2,X3,X4,X5為互不相等的正奇數(shù)，滿足(2005xi)(2005X2)(2005X3)(2005_222222X4)(2005X5)=24,則x1+X2+X3+X4+X5的未位數(shù)字是A、1B、3C5D>7解：因?yàn)閄1,X2,X3,X4,X5為互不相等的正奇數(shù)，所以(2005X1)、(2005X2)、(2005X3)、(2005X4)、(2005X5)為互不相等的偶數(shù)而將242分解為5個互不相等的偶數(shù)之積，只有唯一的形式：242=2(-2)-4-6(-6)所以(2005xi)、(2005X2)、(2005X3)、(2005X4)、(20

9、05X5)分另ij等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005Xi)2+(2005X2)2+(2005X3)2+(2005X4)2+(2005X5)2=22+(-2)2+42+62+(-6)2=96展開得：5,20052-4010(x1+x2+x3+x4+x5)+(X2+X2+x2+x2+x5)=96222222x1+x2+x3+x4+x5=96-52005+4010x1+x2+x3+x4+x5三1(mod10),選A二、填空題(共28分)1、不超過100的自然數(shù)中，將凡是3或5的倍數(shù)的數(shù)相加，其和為。解：(3X1+3X2+3X33)+(5X1+5X2+5X20)-(15X1+15X2+1

10、5X6)=1683+1050315=24182、77x2+9X+13+77x2-5x+13=7x,WJx=。解：分子有理化得：I14X=7x,7x2+9x+13-.7x25x+13xw0,gx2+9x+13-J7x25x+13=2,即j7x2+9x+13=J7x25x+13+2兩邊平方化簡得：7x-2=2、7x2-5x+13再平方化簡得：21x28x-48=0,解之得x=12或x=-4(舍去)733、若實(shí)數(shù)x、y滿足言+志=1，53+4353+63=1,則x+y=解法1：假設(shè)x+y=a,貝Uy=ax.(33+6jx+(33*3a濘(+33X63+3343,2即63一43x3343=333343

11、336343j.(53+63)x+(53)43a燈+53)(6*5343,2即63-43x5343=535343536343(2尸(1泮22333333.33335-3a=(5-35-345-36a=33435363=4326363解法2：易知33、53是關(guān)于t的方程t43t63二1的兩根化簡彳導(dǎo):t2-xy-43-63t-63x43y-4363=0由韋達(dá)定理得：33萬二乂一“3-d_333_3_xy=3456=4324、已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A>B>C,用a表示AB,BC以及90°A中的最小者，則a的最大值為。解：7二=min：A-B,B-C,9

12、0-A?二iAB二-BC9-0A-6：<2A-BB£390A-=270ABC90二15另一方面，當(dāng)A-B=B-C9刃去1嶼有A=75B=60C,菊比題設(shè)條件，故式可取得最大值15三、解答題（第1題20分，第2、3題各25分）1、a、b、c為實(shí)數(shù)，acv0,且J2a+J3b+mC=0,證明：一元二次方程ax2+bx+c=0有大于3而小于1的根。4解：設(shè)fx=ax2bxc93f1=a-bcabc1641c，=9a1b2cl(abc2a#3,6+5c=06a3"c53-15c9a1b2c1abc=a-9，.a4.6c4c1而一二卜J麗-96a.256-.240c麗-建石一國

13、ad:二0-f(1)<0元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根.42、銳角AABC中，AB>AC,CDBE分別是AB>AC邊上的高，DE與BC的延長線于交于T,過D作BC的垂線交BE于F,過E作BC的垂線交CD于G,證明：F、GT三點(diǎn)共線。證法1:設(shè)過DE的垂線分別交BC于MN,在RtABEC與RtBDC中，由射影定理得:cU=cn-cb,bD=bm-BC2,CNCE22BMBD又RtCNGsRDCBRtABMF<RtBEC-BD_CEGNCN,FMBMCDBEGNBDBECN=1,FMCDCEBMBDBECE22CDCEBD2BECE1BDCD在RtABEC

14、與RtBDC中，由面積關(guān)系得:BE-CE=EN-BC,BD-CD=DM-BC.BECE_ENBDCDDM由(1)(2)二!N2TM得MRNCGNTNFMTM，又GNFM，,F、證法2:設(shè)CDBE相交于點(diǎn)G、T三點(diǎn)共線.H,則H為ABC的垂心，記DREGAH與BC的交點(diǎn)分別DM/ARIIEN,DFAHEGFM-HR-GN由合比定理得:DMENGNENTN證法BTTCFM3:在ABC中,CEAD二1EADBGNFMDM直線DET分別交BGCA設(shè)CDBE相交于點(diǎn)H,則H為ABC的垂心,AHIBC,.DHBCEGLBCAH/DF/EGCECGADHFEAGHDBFBBTCGHF，代入（iX導(dǎo)TCGHF

15、B,故F、G、T三點(diǎn)共線.TMAB于T、E、D,由梅涅勞斯定理得:由梅涅勞斯定理的逆定理得：F、GT三點(diǎn)共線.證法4:連結(jié)FT交ENG',易知-DFFMEG'G'N為了證明F、G、T點(diǎn)共線，只需證明DFFM里即可GNDFFM_SBDFS.BMF2BDBFsinABE1BMBFsinCBEBDBMsinABEsinCBEEG二SCEG=2CECGsinACD二CEsinACDGNSCMG2CNCGsinBCDCNsinBCDCMG2BDBCCE_BCBMBDCNCEDFBCsin.ABEFM-BDsin.CBEEGBCsin.ACDGN-CEsin.BCD.CDLAEkB

16、已CA，日HE、C四點(diǎn)共圓/AB曰/ACD(2)BDCE又=BC=,BDsin.CBE=CEsin.BCDsin.BCDsin.CBE將(2)(3)代入(1)得：變=空，故f、gT三點(diǎn)共線.FMGN3、設(shè)a、b、c為正整數(shù)，且a2+b3=c4,求c的最小值。解：顯然c>1.由題設(shè)得：(c2-a)(c2+a)=b3r-2.若取!；a=b2,則c2=b)ca=b21、1、D原式=4+向齊T二13-(5.2-4)2175.27-5/2-14由大到小考察b,使b(b+1)為完全平方數(shù),易知當(dāng)b=8時，c2=36,則c=6,從而2a=28。下面說明c沒有比6更小的正整數(shù)解，列表如下：c4cx3(x

17、3<c4)c4-x32161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113顯然，表中c4-x3的值均不是完全平方數(shù)。故c的最小值為62、C.52+142=221=102+112/A、/C都是直角3、D4、D5、C6、A、1、241812T3、x+y=33+43+53+63=4324、15、1、略2、略3、c的最小值為6情感語錄1 .愛情合適就好，不要委屈將就，只要隨意，彼此

18、之間不要太大壓力2 .時間會把最正確的人帶到你身邊，在此之前，你要做的，是好好的照顧自己3 .女人的眼淚是最無用的液體，但你讓女人流淚說明你很無用4 .總有一天，你會遇上那個人，陪你看日出，直到你的人生落幕5 .最美的感動是我以為人去樓空的時候你依然在6 .我莫名其妙的地笑了，原來只因?yàn)橄氲搅四? .會離開的都是廢品，能搶走的都是垃圾8 .其實(shí)你不知道，如果可以，我愿意把整顆心都刻滿你的名字9 .女人誰不愿意青春永駐，但我愿意用來換一個疼我的你10 .我們和好吧，我想和你拌嘴吵架，想鬧小脾氣，想為了你哭鼻子，我想你了11 .如此情深，卻難以啟齒。其實(shí)你若真愛一個人，內(nèi)心酸澀，反而會說不出話來12 .生命中有一些人與我們擦肩了，卻來不及遇見；遇見了，卻來不及相識；相識了，卻來不及熟悉，卻還要是再見1