matlab課后習題答案

1、習題二1. 如何理解“矩陣是MATLAB最基本的數(shù)據(jù)對象”？答：因為向量可以看成是僅有一行或一列的矩陣，單個數(shù)據(jù)(標量)可以看成是僅含一個元素的矩陣，故向量和單個數(shù)據(jù)都可以作為矩陣的特例來處理。因此，矩陣是MATLAB最基本、最重要的數(shù)據(jù)對象。2. 設A和B是兩個同維同大小的矩陣，問：(1) A*B和A.*B的值是否相等？答：不相等。(2) A./B和B.A的值是否相等？答：相等。(3) A/B和BA的值是否相等？答：不相等。(4) A/B和BA所代表的數(shù)學含義是什么？答：A/B等效于B的逆右乘A矩陣，即A*inv(B)，而BA等效于B矩陣的逆左乘A矩陣，即inv(B)*A。3. 寫出完成下列

2、操作的命令。(1) 將矩陣A第25行中第1,3,5列元素賦給矩陣B。答：B=A(2:5,1:2:5);或B=A(2:5,135)(2) 刪除矩陣A的第7號元素。答：A(7)=(3) 將矩陣A的每個元素值加30。答：A=A+30;(4) 求矩陣A的大小和維數(shù)。答：size(A);ndims(A);(5) 將向量t的0元素用機器零來代替。答：t(find(t=0)=eps;(6) 將含有12個元素的向量x轉換成矩陣。答：reshape(x,3,4);(7) 求一個字符串的ASCII碼。答：abs(123);或double(123);(8) 求一個ASCII碼所對應的字符。答：char(49);4.

3、 下列命令執(zhí)行后，L1、L2、L3、L4的值分別是多少？A=1:9;B=10-A;.L1=A=B;L2=A3&A3&A7);答：L1的值為0,0,0,0,1,0,0,0,0L2的值為1,1,1,1,1,0,0,0,0L3的值為0,0,0,1,1,1,0,0,0L4的值為4,5,65. 已知23100.77804145655A32503269.54543.14完成下列操作：(1)取出A的前3行構成矩陣B,前兩列構成矩陣C,右下角32子矩陣構成矩陣D,B與C的乘積構成矩陣E。答：B=A(1:3,:);C=A(:,1:2);D=A(2:4,3:4);E=B*C;(2) 分別求E=10&A25)。01

4、1111答：E=10&A25)=1;5。6. 當A=34,NaN,Inf,-Inf,-pi,eps,0時，分析下列函數(shù)的執(zhí)行結果：all(A)，any(A)，isnan(A)，isinf(A)，isfinite(A)。答：all(A)的值為0any(A)的值為1isnan(A)的值為0,1,0,0,0,0,0isinf(A)的值為0,0,1,1,0,0,0isfinite(A)的值為1,0,0,0,1,1,17. 用結構體矩陣來存儲5名學生的基本情況數(shù)據(jù)，每名學生的數(shù)據(jù)包括學號、姓名、專業(yè)和6門課程的成績。答：student(1).id=0001;student(1).name=Tom;stu

5、dent(1).major=computer;student(1).grade=89,78,67,90,86,85;8. 建立單元矩陣B并回答有關問題。B1,1=1;B1,2=Brenden;B2,1=reshape(1:9,3,3);B2,2=12,34,2;54,21,3;4,23,67;(1) size(B)和ndims(B)的值分別是多少？答：size(B)的值為2,2。ndims(B)的值為2。(2) B(2)和B(4)的值分別是多少？14712342答：B(2)=258，B(4)=5421336942367(3) B(3)=和B3=執(zhí)行后，B的值分別是多少？答：當執(zhí)行B(3)=后，

6、B=1,1,4,7;2,5,8;3,6,9,12,34,2;54,21,3;4,23,67當執(zhí)行B3=后，B=1,;1,4,7;2,5,8;3,6,9,12,34,2;54,21,3;4,23,67習題三1.寫出完成下列操作的命令。(1)建立3階單位矩陣A。答：A=eye(3);(2)建立5X6隨機矩陣A,其元素為100,200范圍內的隨機整數(shù)答：round(100+(200-100)*rand(5,6);(3)產(chǎn)生均值為1，方差為0.2的500個正態(tài)分布的隨機數(shù)。答：1+sqrt(0.2)*randn(5,100);(4)產(chǎn)生和A同樣大小的幺矩陣。答：ones(size(A);(5)將矩陣A

7、對角線的元素加30。答：A+eye(size(A)*30;(6)從矩陣A提取主對角線元素，并以這些元素構成對角陣B。答：B=diag(diag(A);2.使用函數(shù)，實現(xiàn)方陣左旋90o或右旋90o的功能。例如，原矩陣為A,A左旋后得到B,右旋后得到C。14710A2581136912101112321789654BC456987123121110B=rot90(A);C=rot90(A,-1);3.建立一個方陣A,求A的逆矩陣和A的行列式的值，并驗證A與A-1是互逆的。答：A=rand(3)*10;B=inv(A);C=det(A);先計算B*A,再計算A*B,由計算可知B*A=A*B,即AA1

8、=A-1A是互逆。4.求下面線性方程組的解。4x12x2x323x1x22x31012x13x28A=4,2,-1;3,-1,2;12,3,0;b=2;10;8;x=inv(A)*b6.0000方程組的解為x=EMBEDEquation.DSMT426.666727.33335.求下列矩陣的主對角線元素、上三角陣、下三角陣、秩、范數(shù)、條件數(shù)和跡。15(1)A3111231420521509(1) 取主對角線元素：diag(A);上三角陣：triu(A)；下三角陣：tril(A);秩：rank(A);范數(shù)：(2) B0.434328.9421norm(A,1);或norm(A);或norm(A,

9、inf);條件數(shù)：cond(A,1);或cond(A,2);或cond(A,inf)跡：trace(A);(2)【請參考(1)】6. 求矩陣A的特征值和相應的特征向量。110.5A52V,D=eig（A）;習題四1 .從鍵盤輸入一個4位整數(shù)，按如下規(guī)則加密后輸出。加密規(guī)則：每位數(shù)字都加上7,然后用和除以10的余數(shù)取代該數(shù)字；再把第一位與第三位交換，第二位與第四位交換。答：a=input(請輸入4位整數(shù)：);A=a/1000,a/100,a/10,a;A=fix(rem(A,10);A=rem(A+7,10);b=A(3)*1000+A(4)*100+A(1)*10+A(

10、2);disp(加密后的值為：,num2str(b);2 .分別用if語句和switch語句實現(xiàn)以下計算，其中a、b、c的值從鍵盤輸入.2axbxc,0.5x1.5yasincbx,1.5x3.5lnb-,3.5x5.5x答：（1）用if語句實現(xiàn)計算：a=input（請輸入a的值：）；b=input（請輸入b的值：）；c=input（請輸入c的值：）；x=input（請輸入x的值：）;y=a*xA2+b*x+c;endy=a*（sin（b）Ac）+x;endy=log(abs(b+c/x);enddisp(y=,num2str(y);(2) 用switch語句實現(xiàn)計算：a=input(請輸入a

11、的值：)；b=input(請輸入b的值：)；c=input(請輸入c的值：)；x=input(請輸入x的值：);switchfix(x/0.5)case1,2y=a*xA2+b*x+c;casenum2cell(3:6)y=a*(sin(b)Ac)+x;casenum2cell(7:10)y=log(abs(b+c/x);enddisp(y=,num2str(y);3. 產(chǎn)生20個兩位隨機整數(shù)，輸出其中小于平均值的偶數(shù)。答：A=fix(10+89*rand(1,20);sum=0;fori=1:20sum=sum+A(i);endB=A(find(Av_maxv_max=x;end;ifxv_

12、minv_min=x;end;enddisp(最大數(shù)為：,num2str(v_max);disp(最小數(shù)為：,num2str(v_min);(2)用max函數(shù)、min函數(shù)實現(xiàn)：fori=1:5A(i)=input(請輸入第,num2str(i),數(shù)：);enddisp(最大數(shù)為：,num2str(max(A);disp(最小數(shù)為：,num2str(min(A);5. 已知：s122223263,分別用循環(huán)結構和調用MATLAB的sum函數(shù)求s的值。答：(1)用循環(huán)結構實現(xiàn)：s=0;fo門=0:63s=s+2Ai;ends(2)調用sum函數(shù)實現(xiàn)：s=0:63;s=2.As;sum(s)6.當n

13、分別取100、(2)1213116131514171641000、10000時,求下列各式的值。n11(1)(In2)n()414n1一(3)(2n)(2n)(2n1)(2n1)要求分別用循環(huán)結構和向量運算(使用sum或prod函數(shù))來實現(xiàn)。(1)用循環(huán)結構實現(xiàn)：sum=0;fork=1:100sum=sum+(-1)A(k+1)/k；endsum使用sum函數(shù)：x=；fork=1:10000x=x,(-1)A(k+1)/k；endsum(x)(2)用循環(huán)結構實現(xiàn)：sum=0;fork=1:100sum=sum+(-1)A(k+1)/(2*k-1);endsum使用sum函數(shù):x=；fork=

14、1:100x=x,(-1)A(k+1)/(2*k-1);endsum(x)(3) 用循環(huán)結構實現(xiàn)：sum=0;fork=1:100sum=sum+1/(4Ak);endsum使用sum函數(shù)實現(xiàn)：x=;fork=1:100x=x,1/(4Ak);endsum(x)(4) 用循環(huán)結構實現(xiàn)：t=1;fork=1:100t=t*(2*k)*(2*k)/(2*k-1)*(2*k+1);endt使用prod函數(shù)實現(xiàn)：x=;fork=1:100x=x,(2*k)*(2*k)/(2*k-1)*(2*k+1);endprod(x)7.編寫一個函數(shù)文件，求小于任意自然數(shù)n的斐波那契（Fibnacci）數(shù)列各項斐波

15、那契數(shù)列定義如下：f11,n1f21,n2fnfn1fn2,n2答：functionx=fibnacci(n)fori=1:nifi=2x(i)=1;elsex(i)=x(i-1)+x(i-2);endend8 .編寫一個函數(shù)文件，用于求兩個矩陣的乘積和點乘，然后在命令文件中調用該函數(shù)。答：函數(shù)文件myfnc.m：functionx,y=myfnc(A,B)tryx=A*B;catchx=;endy=A.*B;命令文件myexe.m：A=input(請輸入矩陣A:);B=input(請輸入矩陣B:);x,y=myfnc(A,B);iflength(x)=0display(兩矩陣的維數(shù)不匹配，無

16、法進行乘積運算！);elsedisp(矩陣A和矩陣B的乘積為：);xenddisp(矩P$A和矩陣B的點乘為：);y9 .先用函數(shù)的遞歸調用定義一個函數(shù)文件求im,然后調用該函數(shù)文件求1 1101-0k1k10050kk2k1k1答：函數(shù)文件myfnc.m：functionsum=myfnc(n,m)ifnIat58ss=int(exp(sin(x)A3),x=0.pi)1.74用quad求取5e岡sinxdx的數(shù)值積分，并保證積分的絕對精度為109。R目的1quadl,精度可控，計算較快。近似積分指令trapz獲得高精度積分的內存和時間代價較高。R解答1%精度可控的數(shù)值積分f

17、x=(x)exp(-abs(x).*abs(sin(x);formatlongsq=quadl(fx,-10*pi,1.7*pi,1e-7)sq=1.08784993815498%近似積分算法x=linspace(-10*pi,1.7*pi,1e7);dx=x(2)-x(1);st=trapz(exp(-abs(x).*abs(sin(x)*dxst=1.08784949973430%符號積分算法y=exp(-abs(x)*abs(sin(x)si=vpa(int(y,-10*pi,1.7*pi),16)y=exp(-abs(x)*abs(sin(x)si=1.0878494994129115

18、求函數(shù)f(t)(sin5t)2e0.06t21.5tcos2t1.8t0.5在區(qū)間5,5中的最小值點。R目的1理解極值概念的鄰域性。如何求最小值。學習運用作圖法求極值或最小值。感受符號法的局限性。R解答1(1)采用fminbnd找極小值點在指令窗中多次運行以下指令，觀察在不同數(shù)目子區(qū)間分割下，進行的極小值搜索。然后從一系列極小值點中，確定最小值點。clearft=(t)sin(5*t)A2.*exp(0.06*t.*t)+1.8*abs(t+0.5)-1.5*t.*cos(2*t)；disp(計算中，把-5,5分成若干搜索子區(qū)間。)N=input(請輸入子區(qū)間數(shù)N,注意使N=1?);%該指令只

19、能在指令窗中運行tt=linspace(-5,5,N+1);fork=1:Ntmin(k),fobj(k)=fminbnd(ft,tt(k),tt(k+1);endfobj,ii=sort(fobj);%各目標值由小到大排列tmin=tmin(ii);%使極小值點做與目標值相應的重新排列fobj,tmin(2)最后確定的最小值點在N1,2,10的不同分割下，經(jīng)觀察，最后確定出最小值點是-1.28498111480531相應目標值是-0.18604801006545(3)采用作圖法近似確定最小值點(另一方法)(A)在指令窗中運行以下指令：clearft=(t)sin(5*t).A2.*exp(0

20、.06*t.*t)+1.8*abs(t+0.5)-1.5*t.*cos(2*t)；t=-5:0.001:5;ff=ft(t)；plot(t,ff)gridon,shg(B)經(jīng)觀察后，把最小值附近鄰域放到足夠大，然后運行以下指令，那放大圖形被推向前臺，與此同時光標變?yōu)椤笆志€”，利用它點擊極值點可得到最小值數(shù)據(jù)tmin2,fobj2=ginput(1)tmin2=-1.28500000993975fobj2=-0.18604799369136-)figure1FileEdit電摘Insert工oolsDesktopWindowHelpQ昌|%徵十，里|口回-0106-11-1L1-0.18B一;

21、-0.186-v-0186-0.18G-0.1B611:/-01S6一.心1麗_J-0186;-0.18B-1265-1.265TS-1.235-1205出現(xiàn)具有相同數(shù)值的刻度區(qū)域表明已達最小可分辨狀態(tài)(4)符號法求最小值的嘗試symstfts=sin(5*t)A2*exp(0.06*t*t)-1.5*t*cos(2*t)+1.8*abs(t+0.5);dfdt=diff(fts,t);%求導函數(shù)tmin=solve(dfdt,t)%t導函數(shù)的零點fobj3=subs(fts,t,tmin)%得到一個具體的極值點tmin=-.60100931947716486053884417850955e-

22、2fobj3=.89909908144684551670208797723124R說明1最小值是對整個區(qū)間而言的，極小值是對鄰域而言的。在一個區(qū)間中尋找最小值點，對不同子區(qū)間分割進行多次搜索是必要的。這樣可以避免把極小值點誤作為最小值點。最小值點是從一系列極小值點和邊界點的比較中確定的。作圖法求最小值點，很直觀。假若繪圖時，自變量步長取得足夠小，那么所求得的最小值點有相當好的精度。符號法在本例中，只求出一個極值點。其余很多極值點無法秋初，更不可能得到最小值。26設鵬)3皿2y(t)1,y(0)1,曳皿0,用數(shù)值法和符號法求dt2dt出y(t)t0.5R目的1學習如何把高階微分方程寫成一階微分方

23、程組。ode45解算器的導數(shù)函數(shù)如何采用匿名函數(shù)形式構成。如何從ode45一組數(shù)值解點，求指定自變量對應的函數(shù)值。R解答1(1)改寫高階微分方程為一階微分方程組令yi(t)y(t),y2(t),于是據(jù)高階微分方程可寫出dt誓y2(t)dtdy普2yi(t)3y2(t)1dt(2)運行以下指令求y(t)的數(shù)值解formatlongts=0,1;y0=1;0;dydt=(t,y)y(2);-2*y(1)+3*y(2)+1;%匿名函數(shù)寫成的ode45所需得導數(shù)函數(shù)tt,yy=ode45(dydt,ts,y0);y_05=interp1(tt,yy(:,1),0.5,spline),%用一維插值求y(

24、0.5)y_05=0.78958020790127(3)符號法求解symst;ys=dsolve(D2y-3*Dy+2*y=1,y(0)=1,Dy(0)=0,t)ys_05=subs(ys,t,sym(0.5)ys=1/2-1/2*exp(2*t)+exp(t)ys_05=.78958035647060552916850705213780R說明1第條指令中的導數(shù)函數(shù)也可采用M函數(shù)文件表達，具體如下。functionS=prob_DyDt(t,y)S=y(2);-2*y(1)+3*y(2)+1;7已知矩陣A=magic(8),(1)求該矩陣的“值空間基陣B;(2)寫出“A的任何列可用基向量線性表

25、出”的驗證程序(提示：利用rref檢驗)。R目的1體驗矩陣值空間的基向量組的不唯一性，但它們可以互為線性表出。利用rref檢驗兩個矩陣能否互為表出。R解答1(1)A的值空間的三組不同“基”A=magic(8);痛用8階魔方陣作為實驗矩陣R,ci=rref(A);B1=A(:,ci)%直接從A中取基向量%求A值空間的正交基B2=orth(A)V,D=eig(A);rv=sum(sum(abs(D)1000*eps);%非零特征值數(shù)就是矩陣的秩B3=V(:,1:rv)%取A的非零特征值對應的特征向量作基B1=6423955541747464026273234354123224915148B2=58

26、59-0.35360.54010.3536-0.3536-0.3858-0.3536-0.3536-0.2315-0.3536-0.35360.07720.3536-0.3536-0.07720.3536-0.35360.2315-0.3536-0.35360.3858-0.3536-0.3536-0.54010.3536B3=0.35360.62700.39130.3536-0.4815-0.24580.3536-0.3361-0.10040.35360.1906-0.04510.35360.0451-0.19060.35360.10040.33610.35360.24580.48150.3

27、536-0.3913-0.6270(2)驗證A的任何列可用B1線性表出B1_A=rref(B1,A)%若B1_A矩陣的下5行全為0，%就表明A可以被B1的3根基向量線性表出B1A=1001001100101001034-3-47001001-3-445-70000000000000000000000000000000000000000000000000000000B2_A=rref(B2,A)B2_A=Columns1through71.000000-91.9239-91.9239-91.9239-91.923901.0000051.8459-51.8459-51.845951.8459001

28、.00009.8995-7.0711-4.24261.414200000000000000000000000000000000000Columns8through11-91.9239-91.9239-91.9239-91.923951.8459-51.8459-51.845951.8459-1.41424.24267.0711-9.899500000000000000000000B3_A=rref(B3,A)B3_A=Columns1through71.00000091.923991.923991.923991.923901.0000042.3447-38.1021-33.859429.616

29、8001.000012.6462-16.8889-21.131525.374100000000000000000000000000000000000Columns8through1191.923991.923991.923991.923925.3741-21.1315-16.888912.646229.6168-33.8594-38.102142.344700000000000000000000R說明magic(n)產(chǎn)生魔方陣。魔方陣具有很多特異的性質。就其秩而言，當n為奇數(shù)時，該矩陣滿秩；當n為4的倍數(shù)時，矩陣的秩總是3；當n為偶數(shù)但不是4倍數(shù)時，則矩陣的秩等于(n/2+2)。關于魔方陣的有

30、關歷史，請見第6.1.3節(jié)。8已知由MATLAB指令創(chuàng)建的矩陣A=gallery(5)，試對該矩陣進行特征值分解，并通過驗算觀察發(fā)生的現(xiàn)象。展示特征值分解可能存在的數(shù)值問題。condeig是比較嚴謹?shù)奶卣髦捣纸庵噶睢ordan分解的作用。解答(1)特征值分解A=gallery(5)V,D=eig(A);diag(D)A=-911-2170-69141-575575-11493891-389177821024-10242048ans=Columns1through4-0.0181-0.0054%為緊湊地顯示特征值而寫63-252-42116843451-13801-2334593365-614

31、424572-0.0171i-0.0054+0.0171i0.01440.0104iColumn50.0144+0.0104i(2)驗算表明相對誤差較大AE=V*D/Ver_AE=norm(A-AE,fro)/norm(A,fro)%相對F范數(shù)AE=1.0e+004*Columns1through4-0.00090.0000i+0.0000i0.0011-0.0000i-0.0021+0.0000i0.0063-0.0070-0.0000i-0.0069+0.0000i0.0141-0.0000i-0.0421+0.0000i-0.05750.0000i+0.0000i0.0575-0.000

32、0i-0.1149+0.0000i0.3451-0.3891-0.0000i-0.3891+0.0000i0.7781-0.0000i-2.3343+0.0000i0.1024-0.0000i-0.1024+0.0000i0.2048-0.0000i-0.6144+0.0000iColumn5-0.0252+0.0000i0.1684-0.0000i-1.3800+0.0000i9.3359-0.0001i2.4570-0.0000ier_AE=6.9310e-005(3)一個更嚴謹?shù)奶卣髦捣纸庵噶頥c,Dc,eigc=condeig(A)%eigc中的高值時，說明相應的特征值不可信。Vc=C

33、olumns1through4-0.0000-0.0000+0.0000i-0.0000-0.0000i0.0000+0.0000i0.02060.0207+0.0000i0.0207-0.0000i0.0207+0.0000i-0.1397-0.1397+0.0000i-0.1397-0.0000i-0.1397+0.0000i0.95740.95740.95740.95740.25190.2519-0.0000i0.2519+0.0000i0.2519-0.0000iColumn50.0000-0.0000i0.0207-0.0000i-0.1397-0.0000i0.95740.2519

34、+0.0000iDc=Columns1through4-0.01810000-0.0054+0.0171i0000-0.0054-0.0171i00000.0144+0.0104i0000Column500000.0144-0.0104ieigc=1.0e+011*5.26875.23135.23135.17255.1724(4)對A采用Jordan分解并檢驗VJ,DJ=jordan(A);DJ%求出準確的廣義特征值，使A*VJ=VJ*D成立DJ=0100000100000100000100000AJ=VJ*DJ/VJer_AJ=norm(A-AJ,fro)/norm(A,fro)AJ=1.0

35、e+004*-0.00090.0011-0.00210.0063-0.02520.0070-0.00690.0141-0.04210.1684-0.05750.0575-0.11490.3451-1.38010.3891-0.38910.7782-2.33459.33650.1024-0.10240.2048-0.61442.4572er_AJ=2.0500e-011R說明1指令condeig的第3輸出量eigc給出的是所謂的“矩陣特征值條件數(shù)”相當時，就意味著矩陣A可能“退化”，即矩陣可能存在o當特征條件數(shù)“代數(shù)重數(shù)”大于“幾何重數(shù)”的特征值。此時，實施Jordan分解更適宜。順便指出：借助

36、condeig算得的特征值條件數(shù)與cond指令算得的矩陣條件數(shù)是兩個不同概念。前者描述特征值的問題，后者描述矩陣逆的問題。本例矩陣A的特征值條件數(shù)很高，表明分解不可信。驗算也表明，相對誤差較大。當對矩陣A進彳TJordan分解時，可以看到，A具有5重根。當對Jordan分解進行驗算時，相對誤差很小。9求矩陣Axb的解，A為3階魔方陣，b是(31)的全1列向量R提示1了解magic指令rref用于方程求解。矩陣除法和逆陣法解方程。R目的1滿秩方陣求解的一般過程。rref用于方程求解。矩陣除法和逆陣法解方程。R解答1A=magic(3);b=ones(3,1);R,C=rref(A,b)x=Abx

37、x=inv(A)*bR=1.0000001.0000%產(chǎn)生3階魔方陣%(3*1)全1列向量%GaussJordan消去法解方程，同時判斷解的唯一性%矩陣除解方程%逆陣法解方程0.06670.066701.00000.0667C=123x=0.06670.06670.0667xx=0.06670.06670.0667R說明rref指令通過對增廣矩陣進行消去法操作完成解方程。由分解得到的3根“坐標向量”和(或)C3指示的3根基向量，可見A3滿秩，因此方程解唯一。在本例情況下，矩陣除、逆陣法、rref法所得解一致。10求矩陣Axb的解，A為4階魔方陣，b是(41)的全1列向量R提示力用rref可觀察

38、A不滿秩，但b在A的值空間中，這類方程用無數(shù)解。矩陣除法能正確求得這類方程的特解。逆陣法不能求得這類方程的特解。注意特解和齊次解目的A不滿秩，但b在A的值空間中，這類方程的求解過程。rref用于方程求解。矩陣除法能正確求得這類方程的特解。逆陣法不能求得這類方程的特解。解的驗證方法。齊次解的獲取。全解的獲得。解答(1)借助增廣矩陣用指令rref求解A=magic(4);%產(chǎn)生3階魔方陣b=ones(4,1);%全1列向量R,C=rref(A,b)%求解，并判斷解的唯一性R=1.0000001.00000.058801.000003.00000.1176001.0000-3.0000-0.0588

39、00000C=123關于以上結果的說明：R階梯陣提供的信息前4列是原A陣經(jīng)消元變換后的階梯陣；而第5列是原b向量經(jīng)相同變換后的結果。R的前三列為“基”，說明原A陣秩為3；而第4列的前三個元素，表示原A陣的第4列由其前三列線性組合而成時的加權系數(shù)，即方程的一個解。R的第5列表明：b可由原A陣的前三列線性表出；b給出了方程的一個解；由于原A陣“缺秩”，所以方程的確解不唯一。C數(shù)組提供的信息該數(shù)組中的三個元素表示變換取原A陣的第1，2，3列為基。該數(shù)組的元素總數(shù)就是“原A陣的秩”（2）矩陣除求得的解x=AbWarning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Re

40、sultsmaybeinaccurate.RCOND=1.306145e-017.x=0.05880.1176-0.05880運行結果指示：矩陣除法給出的解與rref解相同。（實際上，MATLAB在設計“除法”程序時，針對“b在A值空間中”的情況，就是用rref求解的。）（3）逆陣法的解xx=inv（A）*bWarning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=1.306145e-017.xx=0.04690.1875-0.0625-0.0156（3）驗證前面所得的解b_rref=A（:,C）*R（C

41、,5）%驗算rref的解b_d=A*x%驗算矩陣除的解b_inv=A*xx%驗算逆陣法的解b_rref=1111b_d=1111b_inv=0.73441.54691.17191.8594顯然，在本例中，逆陣法的解是錯誤的。原因是：A不滿秩，A的逆陣在理論上不存在。這里所給出的逆陣是不可信的。（4）求齊次解xg=null（A）%Ax=0的齊次解xg=0.22360.6708-0.6708-0.2236（5）方程的全解齊次解的任何倍與特解之和就構成方程的全解。下面通過一組隨機系數(shù)驗證。rngdefault%為本書結果可被讀者核對而設，并非必要。f=randn（1,6）%6個隨機系數(shù)xx=repm

42、at（x,1,6）+xg*f%產(chǎn)生6個不同的特解A*xx%所得結果的每列都應該是全1，即等于b.f=0.53771.8339-2.25880.86220.3188-1.3077xx=0.17900.4689-0.44630.25160.1301-0.23360.47831.3479-1.39760.69600.3315-0.7596-0.4195-1.28901.4565-0.6372-0.27270.8184-0.1202-0.41010.5051-0.1928-0.07130.2924ans=1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000R解答（在用除法和逆陣法求解時出現(xiàn)）警告信息中RCOND=1.306145e-017是矩陣A的估計條件倒數(shù)。該數(shù)愈