李慶揚(yáng)-數(shù)值分析第五版第5章與第7章習(xí)題答案

1、第5章復(fù)習(xí)與思考題1、用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元?答：使用高斯消去法時，在消元過程中可能出現(xiàn)akk=0的情況，這時消去法無法進(jìn)行；即時主元素akk #0 ,但相對很小時，用其做除數(shù)，會導(dǎo)致其它元素?cái)?shù)量級的嚴(yán)重增長和舍入誤差的擴(kuò)散，最后也使得計(jì)算不準(zhǔn)確。 因此高斯消去法需要選主元，以保證計(jì)算的進(jìn)行和計(jì)算的準(zhǔn)確性。當(dāng)主對角元素明顯占優(yōu)（遠(yuǎn)大于同行或同列的元素）時，可以不用選擇主元。 計(jì)算時一般選擇列主元消去法。2、高斯消去法與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線性方程組Ax = b有何不同？ A要滿足什么條件？答：高斯消去法實(shí)質(zhì)上產(chǎn)生了一個將A分解為兩個三角形矩陣相乘的因式分解，

2、其中一個為上三角矩陣U, 一個為下三角矩陣 L。用LU分解解線性方程組可以簡化計(jì)算，減少計(jì)算量，提高計(jì)算精度。A需要滿足的條件是，順序主子式（1,2,，n-1）不為零。3、楚列斯基分解與 LU分解相比，有什么優(yōu)點(diǎn)？楚列斯基分解是 LU分解的一種，當(dāng)限定下三角矩陣L的對角元素為正時，楚列斯基分解具 有唯一解。4、哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計(jì)算穩(wěn)定？具有對稱正定系數(shù)矩陣的線性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解過程中元素的數(shù)量級不會增長，切對角元素恒為正數(shù)， 因此，是一個穩(wěn)定的算法。5、什么樣的線性方程組可用追趕法求解并能保證計(jì)算穩(wěn)定？對角占優(yōu)的三對角方程組6、何謂向量范

3、數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。向量范數(shù)定義見 p53,符合3個運(yùn)算法則。正定性齊次性三角不等式設(shè)x為向量，則三種常用的向量范數(shù)為：（第3章p53,第5章p165）7、何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A = （ai j）的三種范數(shù)| A| i, | A| 2, |A| ”，| A| i與| A| 2哪個更容易計(jì)算？為什么？向量范數(shù)定義見p162,需要滿足四個條件。正定條件齊次條件三角不等式相容條件矩陣的算子范數(shù)有從定義可知，|A |更容易計(jì)算。8、什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程組是病態(tài)的？答：設(shè)A為非奇異陣，稱數(shù) cond(A)v = A- v|A|v (v=1,2,g)為矩陣A的

4、條件數(shù)當(dāng)cond(A) 1時，方程是病態(tài)的。9、滿足下面哪個條件可判定矩陣接近奇異?(1)矩陣行列式的值很小。(2)矩陣的范數(shù)小。(3)矩陣的范數(shù)大。(4)矩陣的條件數(shù)小。(5)矩陣的元素絕對值小。接近奇異陣的有(1)、 (2)注：矩陣的條件數(shù)小說明 A是良態(tài)矩陣。矩陣的元素絕對值小，不能說明行列式的值小等。10、判斷下列命題是否正確：(1)只要矩陣A非奇異，則用順序消去法或直接LU分解可求得線性方程組 Ax = b的解。答：錯誤，主元位置可能為0,導(dǎo)致無法計(jì)算結(jié)果。(2)對稱正定的線性方程組總是良態(tài)的。答：正確。(3) 一個單位下三角矩陣的逆仍為單位下三角矩陣。答：正確。(4)如果A非奇異，

5、則Ax = b的解的個數(shù)是由右端向量 b的決定的。答：正確。解釋：若 A|b與A的秩相同，則 A有唯一解。若不同，則 A無解。(5)如果三對角矩陣的主對角元素上有零元素，則矩陣必奇異。(6)范數(shù)為零的矩陣一定是零矩陣。答：正確。(7)奇異矩陣的范數(shù)-一定是零。答：錯誤，HL可以不為。(8)如果矩陣對稱，則| A| 1 = | A|。答：根據(jù)范數(shù)的定義，正確。(9)如果線性方程組是良態(tài)的，則高斯消去法可以不選主元。答：錯誤，不選主元時，可能除數(shù)為0。(10)在求解非奇異性線性方程組時，即使系數(shù)矩陣病態(tài)， 用列主元消去法產(chǎn)生的誤差也很小。答：錯誤。對于病態(tài)方程組，選主元對誤差的降低沒有影響。(11

6、)II A | 1 = | AT| 8。答：根據(jù)范數(shù)的定義，正確。(12)若A是n ?n的非奇異矩陣，則1 一 cond(A) =cond(A )。答：正確。A是n ?n的非奇異矩陣，則 A存在逆矩陣。cond(A) = A A根據(jù)條件數(shù)的定義有：cond(A-)= A- |(A-)-|=|A1A =1AMl習(xí)題 aaT1、設(shè)a是對稱陣且ail #0,經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為 111 ,證明 a是對5A2 一稱矩陣。證明：'an012a"a12a22an2設(shè)對稱矩陣A=. . .,則經(jīng)過1次高斯校區(qū)法后，有ana2n.ann .所以 a =a12.an2 所以A2為對稱

7、矩陣。2、設(shè)A是對稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為A = (aj)n,其中A = (ajn,A二(端)n；證明：(1) A的對角元素& >0 (i=1,2J|,n)；(2) A2是對稱正定矩陣；(1)依次取X =(0,0,，0,1,0，0)T, i=1,2,，n,則因?yàn)锳是對稱正定矩陣， i所以有 aii =xT Ax >0。(2) A2中的元素滿足aj2) =aj -朝"，(i, j =2,3,，n),又因?yàn)锳是對稱正定 a11矩陣，滿足 a。=aj, i,j =1,2，n,所以 aj2) = a。一一=a一巴包=aj2), a11a11即A2是對稱矩

8、陣。3、設(shè)Lk為指標(biāo)為k的初等下三角矩陣(除第k列對角元以下元素外，Lk和單位陣I相同)，即求證當(dāng)i,j>k時，Lk=IjLkIj也是一個指標(biāo)為k的初等下三角矩陣，其中Ij為初等置換矩陣。4、試推導(dǎo)矩陣 A的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中 L為下三角矩陣，U為單位上三角 矩陣。本題小推導(dǎo)。參見書上例題。P147頁。5、設(shè)Ux =d ，其中U為三角矩陣。(1)就U為上及下二角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，并寫出算法(2)計(jì)算解三角方程組 Ux = d的乘除法次數(shù)(3)設(shè)U為非奇異矩陣，試推導(dǎo)求 U 1的計(jì)算公式本題考查求解公式的一方法，可從第n個兀素開始，逐步計(jì)算n-1,1時對應(yīng)的求解公

9、式。解法，略。6、證明：(1)如果A是對稱正定矩陣，則 A,也是對稱正定矩陣(2)如果A是對稱正定矩陣，則 A可以唯一地寫成 A = LTL ,其中L是具有正對角元的下 三角矩陣均是對稱正定矩陣的性質(zhì)。應(yīng)予以記住。7、用列主元消去法解線性方程組 并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值使用列主元消去法，有A的行列式為-66 方程組的解為X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解(Doolittle分解)求線性方程組的解本題考查LU分解。解：9、用1A =息趕法解三對角方程組 2-1000-12-1000-12-100 0-12-10 0 0 -1 2Ax = b,b =.1), 110000_其中o解

10、：追趕法實(shí)際為 LU分解的特殊形式。設(shè) U為、單位上三角矩陣。有(1)計(jì)算Pi的遞推公式(2)解 Ly=f(3)解 UX=y10、用改進(jìn)的平72-1 1-1 - 2 3匕3 1_亍根設(shè)-xjX2/3 一:解方程:工11歸組o本題明確要求使用平方根法進(jìn)行求解。實(shí)際考查的LDU分解。見P15710723Xi, x2,x3。99911、下列矩陣能否分解為 分解是否唯一。LU （其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么1A= 2431111 , B= 2 2 173 3 11 26C = 2 5 156 15 46LU分解存在的條件一個可逆矩陣可以進(jìn)行 LU分解當(dāng)且僅當(dāng)它的所有子式都非零。

11、如果要求其中的U矩陣）為單位三角矩陣，那么分解是唯一的。同理可知，矩陣的 并且總是唯一的。即使矩陣不可逆，LU仍然可能存在。實(shí)際上，如果一個秩為 不為零，那么它就可以進(jìn)行 LU分解，但反之則不然。L矩陣（或LDU可分解條件也相同，k的矩陣的前k個順序主子式因?yàn)锳的一、二、三階順序主子式分別為 角陣的乘積，但換行后可以。因?yàn)锽的一、二、三階順序主子式分別為 乘積。因?yàn)镃的一、二、三階順序主子式分別為 乘積，并且分解是唯一的。12、設(shè)1, 0,-10,所以A不能直接分解為三1, 0, 0,所以B不能分解為三角陣的1, 5, 1,所以C能夠分解為三角陣的5 3 I o O 6 1 o o, - A解

12、：計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。本題考查的是矩陣范數(shù)的定義及求法行范數(shù) 0.6+0.5=1.1列范數(shù) 0.5+0.3=0.82-范數(shù)的計(jì)算需要用到特征值，特征值的計(jì)算可以使用哥法進(jìn)行計(jì)算，也可以直接求。AT A的最大特征值為0.3690所以2-范數(shù)為0.6074F-范數(shù) 0.842613、求證：（a） kLw|x| "XL；,思日。根據(jù)定義求證。nIXIL=miaxlx=工"修周二討也。L-i 1-14、設(shè)pw Rn加且非奇異，又設(shè) Ml為Rn上一向量范數(shù)，定義 II xll p =|pXI。 試證明II XL是 ppRn上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來

13、證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然 |x|p =|px|Rn0,|cX|p=|pcX|=|c|pX| = 1x1 +X2|p =|P(x1 +X2)|=|PXi +PX2|PXi| +|Px2| =|xl|p +|X2|p，從而 IIXIp 是 上向量的一種范數(shù)。15、設(shè)AW RnM為對稱正定，定義1IXIIa =(ax,x)2,試證明,1A是Rn上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明:要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。1顯然 l|x|A =(Ax,x)2 = JxTAx >016、設(shè)A為非奇異矩陣，求證1A=min二 /.AyMT因?yàn)锳AdX= maX 一

14、X-0X=maXX；0211AA,x二 max 丫 二y0川miny-0悶iy所以得證s -217、矩陣第一行乘以一數(shù)，成為 A = I1 12，一，一,證明當(dāng) 九=±時，cond (A)0c有取小值。3"本題考查條件數(shù)的計(jì)算 首先計(jì)算A的逆陣213 H2一 U3M |3九>2,當(dāng)_23 ,取得最小值為2A，從而 cond (A) ： = AAI：，1 一=(1 +2) max12| |九| ，當(dāng)一取值越大，則最小值為22又當(dāng)|九| W2時, 3cond(A) ： =( 12) max3 ,2?_ (| 2) 2=7當(dāng)2至2時,3cond(A)o0 = (|1|+2)

15、 -maxb|?2 = (- +2) 3圖=3+6九|>7o綜上所述，cond(A)=7時最小，這時|R=a,即九=±2。 33“、兒“100 9918、設(shè)A = |,計(jì)算A的條件數(shù)cond(A)v (v = 2嚴(yán))99 98由 A%<91-98 99可知，A =99 -100(A1)T(A)1-98 99-98 99 _ 19405 -19602國9 -10099 -1001-19602 19801由|>J (A)T(A)卜九-19405 1960219602 九19801鏟-39206Z +1 = 0,ATA =100 99 100 99 _ 19801 196

16、02 匕9 98 _&9 98 _一59602 19405_由浦-ATA = -19801 -19602-19602 九-19405-39206尢+1=0,可得 |a|2 = |a1|2 = <19603 +J384277608 ,從而cond(A)2 =|a，HIAI2 = 19603 + $384277608 球 39206。A1L = 199, |Ak = 199,從而 cond(A)第= |a|AL=199m199 =39601。19、證明：如果 A是正交矩陣，則cond (A) 2 =1若A是正交陣，則A4=AT,從而ATA=I , (A")T A“ = AA

17、“ = I ,故 網(wǎng)2 =M1|2 =1, cond(A)2 =M力|岡2 =1。20、設(shè)A,BWRn而，且M為RnXn上矩陣的算子范數(shù)，證明：(1) AT A為對稱正定矩陣；(2) cond (AT A) =(cond(A)2)2x(ATA)x =(Ax)T Ax =b2 >0 ,所以AT A為對稱正定矩陣。由于ATA為對稱正定矩陣，所以 ATA = AATcond(ATA)2=|ATA|2|(ATA)|2_ max(ATA)T(ATA)一 min( ATA)(ATA)T)_ max(AAT)T(ATA)一 min( AAT)(ATA)T)則= max(ATAATA) , min( A

18、AT AAT), max(ATA)2 , min( AAT )2_ max( AT A), min( AAT)2=(cond (A)2)第7章復(fù)習(xí)與思考題1 .什么是方程的有根區(qū)間？它與求根有何關(guān)系？P213,若f(x)wCa,b且f(a)f (b) <0,根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知f(x)=0在a,b內(nèi)至少有一個實(shí)根，這時稱a,b為f(x)=0的有根區(qū)間。2 .什么是二分法？用二分法求f (x) = 0的根，f要滿足什么條件？P213一般地，對于函數(shù) f(x) = 0如果存在實(shí)數(shù)c,當(dāng)x=c時，若f(c)=0,那么把x=c叫做函數(shù)f(x)=0的零點(diǎn)。解方程即要求 f(x)=0的所有零點(diǎn)。假定

19、f (x) =0在區(qū)間(x, y)上連續(xù)，先找到a、b屬于區(qū)間(x, y),使f(a)f(b) <0 ,說明在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)，然后求f(a+b)/2),現(xiàn)在假設(shè) f (a) <0, f (b) >0,a <b 果f (a + b)/2) =0 ,該點(diǎn)就是零點(diǎn)，如果f(a + b)/2)<0 ,則在區(qū)間(a + b)/2),b內(nèi)有零點(diǎn)，從開始繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值判斷。 如果f(a + b)/2) >0,則在區(qū)間a,(a+b)/2)內(nèi)有零點(diǎn)，從開始繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值判斷。 這樣就可以不斷接近零點(diǎn)。通過每次把f(x)的零點(diǎn)所在小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間

20、的兩個端點(diǎn)逐步迫近函數(shù)的零點(diǎn)，以求得零點(diǎn)的近似值，這種方法叫做二分法。 從以上可以看出，每次運(yùn)算后，區(qū)間長度減少一半，是線形收斂。3 .什么是函數(shù) 中(x)=0的不動點(diǎn)？如何確定 中(x)使它的不動點(diǎn)等價于 f(x)的零點(diǎn)P215.將方程f (x) =0改寫成等價的形式 x=(x),若要求x*滿足f(x*) = 0,則x*=q5(x*)；反之亦然，稱x*為函數(shù)中(x)的一個不動點(diǎn)。4 .什么是不動點(diǎn)迭代法？平(x)滿足什么條件才能保證不動點(diǎn)存在和不動點(diǎn)迭代序列收斂于邛(x)的不動點(diǎn)P215求f(x)=0的零點(diǎn)就等價于求巴x)的不動點(diǎn)，選擇一個初始近似值x0,將它代入x = (x)的右端，可求得

21、X =中(*。)，如此反復(fù)迭代有xk+”(xjk =0,1,2,.,文x)稱為迭代函數(shù)，如果對任何x°wa,b,由xkHiMxJk =0,1,2,得到的序列xj有極限Pmxk =x* ,則稱迭代方程收斂，且 x*=(x*)為(x)的不動點(diǎn)，故稱xk+ =中儀。，k =0,1,2,.為不動點(diǎn)迭代法。5 .什么是迭代法的收斂階？如何衡量迭代法收斂的快慢？如何確定xk+=4(xj(k =0,1,2,.)的收斂階P219設(shè)迭代過程xk由=平屋卜)收斂于*=5(刈的根乂*,如果當(dāng)kT晦 時，迭代誤差ek =Xk -x*滿足漸近關(guān)系式則稱該迭代過程是 p階收斂的，特別點(diǎn)，當(dāng) p=1時稱為線性收斂

22、，P>1時稱為超線性收斂， p=2時稱為平方收斂。以收斂階的大小衡量收斂速度的快慢。6 .什么是求解f (x) =0的牛頓法？它是否總是收斂的？若 f (x*) = 0 , X*是單根，f是光滑，證明牛頓法是局部二階收斂的。牛頓法：當(dāng)|f (Xk) K1時收斂。7 .什么是弦截法？試從收斂階及每步迭代計(jì)算量與牛頓法比較其差別。在牛頓法的基礎(chǔ)上使用2點(diǎn)的的斜率代替一點(diǎn)的倒數(shù)求法。就是弦截法。收斂階弦截法1.618小于牛頓法2計(jì)算量弦截法牛頓法(減少了倒數(shù)的計(jì)算量)8 .什么是解方程的拋物線法？在求多項(xiàng)式全部零點(diǎn)中是否優(yōu)于牛頓法？P229設(shè)已知方程f(x) =0的三個近似根，Xk，Xk，Xk

23、/，以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式p(x),并適當(dāng)選取p2 (x)的一個零點(diǎn)xk4作為新近似根，這樣確定的迭代過程稱為拋物線法。拋物線法的收斂階1.840大于弦截法1.618,小于牛頓法2 可用于所想是的實(shí)根和復(fù)根的求解。9 .什么是方程的重根？重根對牛頓法收斂階有何影響？試給出具有二階收斂的計(jì)算重根方 法。10 .什么是求解n維非線性方程組的牛頓法？它每步迭代要調(diào)用多少次標(biāo)量函數(shù)(計(jì)算偏導(dǎo) 數(shù)與計(jì)算函數(shù)值相當(dāng))11 .判斷下列命題是否正確：(1)非線性方程(或方程組)的解通常不唯一(正確)(2)牛頓法是不動點(diǎn)迭代的一個特例(正確)(3)不動點(diǎn)迭代法總是線性收斂的(錯誤)(4)任何迭代法的收

24、斂階都不可能高于牛頓法(正確)(5)求多項(xiàng)式p(x)的零點(diǎn)問題一定是病態(tài)的問題(錯誤)(7)二分法與牛頓法一樣都可推廣到多維方程組求解(錯誤)(8)牛頓法有可能不收斂(正確)(9)不動點(diǎn)迭代法xk4r =5(xk),其中X* =(x*),若|中'(x*) |<1則對任意處置X0迭代都收斂。(對)(10)弦截法也是不動點(diǎn)迭代法的特例(正確)習(xí)題1、用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求誤差0.05解令 f(x) = x2 x1,則 f(0) = 1 , f (2) =1 ,所以有根區(qū)間為(0,2);又因?yàn)閒(1) = 1 ,所以有根區(qū)間為(1,2);f (1.5) =1.52

25、-1.5 -1 =0.25,所以有根區(qū)間為(1.5,2 )；f (1.75) =1.752 -1.75 -1 =&>0 ,所以有根區(qū)間為(1.5,1.75 );1621f(1.625) =1.625 -1.625 -1 =>0 ,所以有根區(qū)間為64(1.5,1.625);f(11_9_)2_1_9_1=_2L<0,所以有根區(qū)間為16162569 一1,1.625 i;I 16 J一 *19519取 x = 1(1 三+15) =119 =1.59375 ,2 16832191這時它與精確解的距離<-(1.625-1) = , <0.05。216322.為求

26、方程x3 -x2 -1 =0在x。=1.5附近的一個根，設(shè)將方程改寫成下列等價形 式，并建立相應(yīng)的迭代公式：1)x=1+1/x2,迭代公式 xk#=1+1/x)2;2)x3=1+x2,迭代公式 xk+=3M+x23)x2 =,迭代公式xk書=1/g-1 ;x T試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似 值。解1 )設(shè)中(x)=1+4,貝Jb(x)=4,從而 |%1.5)|=1.253=也1,所以27迭代方法局部收斂。一0 72. -22)設(shè)中(x)=、11+x，則中(x) = x(1+x ),從而2'(1.5)| = 2、1.5(1 +1.52) 333=

27、ll 1 ,所以迭代方法局部收斂。1691-3(0.5) 2233)設(shè)中(x) = ,，則*'(x) = -(x -1) 2 ,從而P(1.5)| = -<x -12所以迭代方法發(fā)散。3.1 一4)設(shè)甲(x) =<x -1 ,貝U 平'(x) =-x (x -1) 2 ,從而心(1.5)| =1319 了1.5( ) 22 89 一 =一=>1,所以迭代方法發(fā)散。383 .比較求ex+10x -2 = 0的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量:1）在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法；2）用迭代法xk書=（2exk）/10,取初值x0=0。解1）使用二分法，令f（x）=ex+10x 2

28、,則f（0）= _1, f（i）=e+8,有根區(qū)間為 0,1】；f（0.5） =e0.5+3 A0 ,有根區(qū)間為。0.5】；f(0.25) =e0.25 +0.5 >0 ,有根區(qū)間為 10,0.25】;f (0.125) =e0'25 0.75 >0 ,有根區(qū)間為 0,0.125】;1一f () = e16 = -0.5605 < 0 ,有根區(qū)I可為.1，一 ；168_16 83-= e32 -=0.03578 A0,有根區(qū)間為 I,；16_16 32f(64)= e64-39<0,有根區(qū)間為盧，2I；32_64 321111f () = e128128-73&

29、lt;0,有根區(qū)間為II11, 1；6411128 32一23, ,二f(3)=e256 -<0,有根區(qū)間為 絲,義；256128_256 3247f(一) =e5125122772560,有根區(qū)間為 卜23,-471；11256 51293 -93、1024 5592393f()=e1024 >0,有根區(qū)間為,1,；10245121256 1024從而 x* = 1('23 + 93 ) = 185 = 0.090332 共二分 10 次。 2 256 102420482 _ exk_2 _e02 _ e0.12)使用迭代法 Xk書=,M Xi =0.1 , x2 =匚=

30、0.0894829 ,1010100.08948290.0906391x3 =-e=0.0906391 , x4 =-e=0.0905126 ,1010即 X =X4 =0.0905126 ,共迭代 4 次。4.給定函數(shù)f(x),設(shè)對一切x,(x)存在且0 < m W(x) W M ,證明對于范圍0 <九c2/M內(nèi)的任意定數(shù)九，迭代過程xk41 =xk -”(xk)均收斂于f(x) =0的根* x。證明由xk+=xk Af(xk)可知,令甲(x)=xM(x),則甲,(x) = 1-精<x),又因一.2 .一 .為 0 <m E f (x) <M , 0 c九一，所

31、以 1 >%x) > -1 ,即中(x) <1 ,從而迭代 M1格式收斂。5 .用斯特芬森迭代法計(jì)算第2題中(2)和(3)的近似根，精確到10”。斯特芬森迭代法是一種加速的方法。是埃特金加速方法與不動點(diǎn)迭代結(jié)合。一6 .設(shè)中(x) =x - p(x) f (x)-q(x) f 2(x),試確定函數(shù) p(x)和 q(x),使求解 f(x)=0且以平(x)為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂。7 .用下列方法求f(x)=x3 -3x-1=0在x0 =2附近的根。根的準(zhǔn)確值 x =1.87938524，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。(1)牛頓法(2)弦截法，取 x0 =2,x1 =1.

32、9(3)拋物線法，取 x0 =1,x =3,x2 =2f(xk)x；-3xk-1 2x3 1斛1) xk4t =xk；=xk, x0 = 2,f (xk)3x2 -33x2 -3c 八32(17)3 1x1 =2 = 一=1.888889 , x2 = -9= 1.87945,迭代停止。3 22 -39。/17、256163(9) -3f(Xk)2)Xk 1 - Xk f(Xk) - f(XkJ=Xk3(XkXk 3Xk 13-3Xk -1) (xkJ -3Xk(Xk -'Xk)=-1),X0 = 2 ,XkXk(Xk - Xk) 122cXk XkXkjXk-3Xi= 1.9, x2

33、1.9 2 (1.9 2) 12 Z Z21.91.9 2 2 -315.821582X38.41841= 1.88109415828411.9 (15828411.9) 11582 215822()1.9 1.9 -3841841 _.29558143.42 8412 _.215821582 1.9 841 0.61 84110265424421.879411 546204321迭代停止。3) Xk4=Xk=2f (Xk)-4f (Xk)fXk,Xk，x3)=10,3-10 = f Xk , Xk A + fXk,Xk,Xk_2(Xk - Xk)，X0 1, X1 =3, X2 2f(X0)

34、=-3, f(X1)=17, f(X2)=1, fX0,X1=yf2fX2,X1=21f24:16, X2 - X12 - 3= 16+6(23) = 10 ,fX1,X2 - fX0,X116-10 cfX0, X1,X2 =6，X2 - X。2-111一一八/： = 2 =1.9465745 ,下略。10102 -4 1 610768 . 分別用二分法和牛頓法求 x-tanX = 0的最小正根。解：0是函數(shù)的一個根，01時，x單調(diào)遞增，tanx單調(diào)遞減，趨于負(fù)無窮。在此區(qū)間內(nèi)，函數(shù)沒有根。所以，最小正根大于-.2當(dāng)x接近且大于1時，函數(shù)值為正，當(dāng)x接近且大于y時，函數(shù)值為負(fù)。因此, 最小正根區(qū)間為（：，3）,選才¥ x1=2，函數(shù)值為-0.185<0,選才？x2=4.6,函數(shù) 值為 4.260>0按二分法計(jì)算，略，X* =4.493424。按牛頓迭代法，其迭代公式為Xkl=Xk_f(Xk)=Xk- xk-tanxkf(Xk)(1-ctanx)取初始值 x=4.6,得 x =4.4934249 .研究求v6的牛頓公式x« =(xk +且)，x0>0,證明對一切k=1,2,， 2xkxk 6 ja且序列x1,