中考數(shù)學(xué)培優(yōu)含解析之圓的綜合

1、中考數(shù)學(xué)培優(yōu)（含解析）之圓的綜合一、圓的綜合1.如圖，AB是。的直徑，弦CD±AB,垂足為H,連結(jié)AC,過BD上一點(diǎn)E作EG/AC交CD的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)AE交CD于點(diǎn)F,且EG=FG連結(jié)CE（1）求證：/G=/CEF（2）求證：EG是。的切線；（3）延長AB交GE的延長線于點(diǎn)M,若tanG=-,AH=3j3,求EM的值.4【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）空叵.8【解析】試題分析：（1）由AC/EG,推出/G=/ACG,由AB,CD推出ADAC，推出/CEF=/ACD,推出/G=/CEF,由此即可證明；（2）欲證明EG是。的切線只要證明EG±OE即可；（

2、3）連接OC.設(shè)。的半徑為r.在RtOCH中，利用勾股定理求出r,證明AHHCAHCAMEO,可得，由此即可解決問題；EMOE試題解析：（1）證明：如圖1.AC/EG,ZG=ZACG,/AB±CD,ADAC，./CEF=/ACD,，/G=/CEF,/ECF=/ECG.AECfAGCE(2)證明：如圖2中，連接OE.GF=GE,/GFE=/GEF=/AFH,/OA=OE,/OAE=ZOEA,/AFH+ZFAH=90；./GEF+/AEO=90:：./GEO=90;：.GE±OE,.EG是。O的切線.(3)解：如圖3中，連接OC.設(shè)。的半徑為r.在RtAHC中，tanZACH=

3、tanZG=AH-=-,AH=3/3,HC4'HC=4V3，在ReHOC中,.OC=r,OH=r-3/3,HC=4V3,，(r373)2(473)2AHHC.GM/AC,，/CAH=/M,/ZOEM=ZAHC,AHCMEO,.EMOE33EM4.325百,6.EM="8點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，正確尋找相似三角形，構(gòu)建方程解決問題嗎，屬于中考壓軸題.2.如圖，四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AB=CD.(1)如圖(1)，求證:AD/BC;(2)如圖(2)，點(diǎn)

4、F是AC的中點(diǎn)，弦DG/AB,交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)M,求證:AE=2DF；在(2)的條件下，若DG平分/ADC,GE=5/3,tan/ADF=4/3，求。O的半徑。0網(wǎng).)【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)JT29【解析】試題分析：（1）連接AC.由弦相等得到弧相等，進(jìn)一步得到圓周角相等，即可得出結(jié)論.（2）延長AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形ABED是平行四邊形，從而有AD=BE,DN=BE.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到ZNDC=ZB,即可證明MBEACND,得到AE=CN,再由三角形中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.（3）連接BG,過點(diǎn)A作AHLBC,由（2）知/AEB

5、=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，得到AB=DE.再證明ACDE是等邊三角形，ABGE是等邊三角形，通過解三角形ABE,得到AB,HB,AH,HE的長，由EC=DE=AB,得到HC的長.在RtAHC中，由勾股定理求出AC的長.作直徑AP,連接CP,通過解4APC即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）連接AC.,.AB=CD,弧AB=MCD,z.ZDAC=ZACB,.AD/BC.(2)延長AD至ijN,使DN=AD,連接NC.AD/BC,DG/AB,一.四邊形ABED是平行四邊形，AD=BE,.1.DN=BE,ABCD是圓內(nèi)接四邊形，/NDC=/B./AB=CD,八八八1八.MBECND,AE

6、=CN./DN=AD,AF=FQDF=-CN,，AE=2DF.(3)連接BG,過點(diǎn)A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，AB=DE.DF/CN,，/ADF=/ANC,./AEB=/ADF,，tan/AEB=tan/ADF=4>/3,DG平分/ADC,./ADG=/CDG.AD/BC,/ADG=/CED,ZNDC=ZDCE./ABO/NDC,./ABC=/DCE.AB/DG,./ABC=/DEC,/DEC=ZECD=ZEDC,工DE是等邊三角形，.AB=DE=CE-/GBC=ZGDC=60;/G=/DCB=60；.ABGE是等邊三角形，BE=GE=5J3.

7、tanZAEB=tan/ADF=4J3,設(shè)HE=x，貝UAH=45/3x.,ZABE=ZDEC=60°,，/BAH=30°,.BH=4x,AB=8x,，4x+x=5而，解得：x=6,.AB=8V3,HB=4Q,AH=12,EC=DE=AB=8而，.HC=HE+EC=石8v3=9上.在RtAAHC中，ac=Jah2hc2J122(9廢2=3/3.作直徑AP,連接CP,/ACF=90°,AP-C-432129sin603TAC/P=ZABC=60,sin/P=,APoo的半徑是JT29.3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,對角線AC為。的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD

8、的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB,DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若DB平分ZADC,AB=5V2AD:DE=4：1,求DE的長.【答案】(1)見解析；(2)5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,進(jìn)而得出答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD,./ODO/OCD.AC為。O的直徑，ZADC=ZEDC=90°.點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，DF=CF=EF,./FDO/FCD,./FDO=/FCO.又AC，

9、CE,ZFDO=ZFCO=90°,.DF是。的切線.(2)AC為。的直徑，ZADC=ZABC=90°.DB平分/ADC,./ADA/CDB,，Ab=?C，-BC=AB=55/2在RtABC中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,ACAE.ADCMCE1=,AC2=AD?AEADAC設(shè)DE為x,由AD:DE=4:1,，AD=4x,AE=5x,.100=4x?5x,x=75,，DE=V5.點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出AC2=AD?AE是解題的關(guān)鍵.4.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-8,0),B(0,

10、6),點(diǎn)M在線段AB上。(1)如圖1,如果點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，且OM的半徑等于4,試判斷直線OB與。M的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2,OM與x軸，y軸都相切，切點(diǎn)分別為E,F,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖3,OM與x軸，y軸，線段AB都相切，切點(diǎn)分別為E,F,G,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)(直接寫出答案)【答案】(1)OB與OM相切；(2)M(弓，弓)；(3)M(2,2)【解析】分析：(1)設(shè)線段OB的中點(diǎn)為D,連結(jié)MD,根據(jù)三角形的中位線求出MD,根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可；(2)求出過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)關(guān)系式是y=-x+6,設(shè)M(a,-a),把x=a,y=-a代4入y=3x+6得出關(guān)于a

11、的方程，求出即可.4(3)連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,設(shè)ME=MF=MG=r,根據(jù)Saabc=1AO?ME+1BO?MF+1AB?MG=1AO?BO求得r=2,據(jù)此可得答案.2222詳解：(1)直線OB與。M相切.理由如下：設(shè)線段OB的中點(diǎn)為D,如圖1,連結(jié)MD,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，所以MD/AO,MD=4,，/AOB=/MDB=90；，MD，OB,點(diǎn)D在。M上.又.點(diǎn)D在直線OB上，直線OB與。M相切；(2)如圖2,連接ME,MF,8kb.A(-8,0),B(0,6),設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,b6得：k=3,b=6,即直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=x+644OM與x軸、y

12、軸都相切，點(diǎn)M到x軸、y軸的距離都相等，即ME=MF,(a,a)(8vav0),把x=a,y=a代入y=x+6,得：a=-a+6,得:44,，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,).(3)如圖3,連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,0M與x軸，y軸，線段AB都相切，ME，A。MF±BO>MGLAB,設(shè)ME=MF=MG=r,則Saabc=1AO?ME+1BO?MF+1AB?MG=1AO?BO.2222.A(-8,0),B(0,6),，AO=8、BO=6,AB=7AQ2_BO2=10，1？8+1？6+廠?10=1*648解彳導(dǎo):r=2,即ME=MF=2,.,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(設(shè)Ma=-2,2).點(diǎn)睛：

13、本題考查了圓的綜合問題，掌握直線和圓的位置關(guān)系，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：已知。的半徑為r,圓心O到直線l的距離是d,當(dāng)d=r時，直l和。O2222相切.5.如圖，已知AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D在。O上，BC=6cm,AC=8cm,ZBAD=45°.點(diǎn)E在。0外，做直線AE,且/EAC=ZD.(1)求證：直線AE是。的切線.(2)求圖中陰影部分的面積.B25-50【答案】(1)見解析；(2)25504【解析】分析：(1)根據(jù)圓周角定理及推論證得/BAE=90,即可得到AE是。的切線;(2)連接0

14、D,用扇形ODA的面積減去4A0D的面積即可.詳解：證明：(1).AB是。的直徑，/ACB=90,°即/BAC+/ABC=90, ZEAC玄ADC,/ADC=ZABC, /EAC玄ABC ./BAC+/EAC=90,°即RBAE=90° 直線AE是。O的切線;(2)連接ODBC=6AC=8AB628210OA=5又OD=OA/ADO=/BAD=45/AOD=90°1-SW=S扇形ODASAOD903602550(cm2)點(diǎn)睛：此題主要考查了圓周角定理和圓的切線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的和弓形的面積的求法求解，注意

15、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用6.如圖，PA、PB是。的切線，A,B為切點(diǎn)，ZJAPB=60°,連接PO并延長與。交于C點(diǎn)，連接ACBC.(I)求/ACB的大小；(n)若。半徑為1,求四邊形ACBP的面積.【解析】分析：(I)連接AO,根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理，得到OALAP,OP平分/APB,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)，得到/ACB的度數(shù)；(n)根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等底同高的性質(zhì)求三角形的面積即可.詳解：(I)連接OA,如圖，.PA、PB是。的切線，OAXAP,OP平分/APB,/AOP=60；.OA=OC,ZOA

16、C=ZOCA,，1八o/ACO=AOP=30,2同理可得/BCP=30,/ACB=60(n)在RtOPA中，/APO=30,，AP=V3OA=BOP=2OA=2,.OP=2OQc1c3.Saaoc=Spac=,24，四邊形ACBP的面積=2S/ACP=33.2點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.矩形ABCD中，點(diǎn)C(3,8),E、F為AB、CD邊上的中點(diǎn)，如圖1,點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動矩形ABCD在平面內(nèi)滑動，如圖2,設(shè)運(yùn)動

17、時間表示為t秒，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)原點(diǎn)時停止運(yùn)動.(1)當(dāng)t=0時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)t=4時，求OE的長及點(diǎn)B下滑的距離；(3)求運(yùn)動過程中，點(diǎn)F到點(diǎn)O的最大距離；(4)當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，求t的值.和【答案】(1)F(3,4)；(2)8-4J3;(3)7；(4)t的值為仝或土55【解析】試題分析：(1)先確定出DF,進(jìn)而彳#出點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)利用直角三角形的性質(zhì)得出/ABO=30°,即可得出結(jié)論；(3)當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線時，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，即可得出結(jié)論；(4)分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可.試題解析：解：(1)當(dāng)t=0時.AB=C

18、D=8,F為CD中點(diǎn)，DF=4,，F(xiàn)(3,4);(2)當(dāng)t=4時，OA=4.在RtABO中，AB=8,ZAOB=90°,./ABO=30；點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE=3AB=4,BO=4，3,，點(diǎn)B下滑的距離為84石.(3)當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線時，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，.FO=OE+EF=.01圖2(4)在RtADF中，F(xiàn)D2+AD2=AF2,AF=fd2ad2=5,設(shè)AO=ti時，。5與乂軸相切，點(diǎn)A為切點(diǎn)，-OA,ZOAB+ZFAB=90°,/ZFAD+ZFAB=90°,AO8ti一FE5332t2=5,八一一一。一一八AB/BAO=ZFAD./BOA=ZD=90

19、.RtAFA&RtAABO,FA24.ti=,設(shè)AO=t2時，OF與y軸相切，B為切點(diǎn)，同理可得,24.32綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，t的值為三或32.55點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)的意義，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解(2)的關(guān)鍵是得出/ABO=30。，解(3)的關(guān)鍵是判斷出當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線時，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，解(4)的關(guān)鍵是判斷出RHFA&RtAABD,是一道中等難度的中考?？碱}.8.某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑.如圖，

20、若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm,水最深的地方的高度為4cm,求這個圓形截面的半徑.【解析】分析：先過圓心O作半徑CC>±AB,交AB于點(diǎn)D設(shè)半彳仝為r,得出AD、OD的長，在RtAACD中，根據(jù)勾股定理求出這個圓形截面的半徑.詳解：解：過點(diǎn)。作CC，AB于D,交。于C,連接CB,.OCXAB.BD=1AB=1X16=8cm22由題意可知，CD=4cm二設(shè)半徑為xcm,則CD=(x-4)cm在RtABCD中,由勾股定理得：CD2+BD2=CB2(x4)2+82=x2解得：x=10.答：這個圓形截面的半徑為10cm.C點(diǎn)睛：此題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意

21、畫出圖形，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解.9.如圖，AB是圓。的直徑，射線AMLAB,點(diǎn)D在AM上，連接CD交圓。于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DC=DA交圓。于點(diǎn)C(A、C不重合)，連接CC、BCCE(1)求證：CD是。的切線；(2)若圓。的直徑等于2,填空： 當(dāng)AD=時，四邊形CADC是正方形; 當(dāng)AD=時，四邊形CECB是菱形.出【答案】(1)見解析；(2)1;，3.試題分析：(1)依據(jù)SSS證明OAD0OCD,從而得到/OCD=/OAD=90;(2)依據(jù)正方形的四條邊都相等可知AD=OA；依據(jù)菱形的性質(zhì)得到OE=CE則4EOC為等邊三角形，則/CEO=60°,依據(jù)平行線的性質(zhì)可知/DOA=60,利

22、用特殊銳角三角函數(shù)可求得AD的長.試題解析：解：AMXAB,/OAD=90: .OA=OC,OD=OD,AD=DC,.OADAOCD,/OCD=/OAD=90: OCXCD, .CD是。O的切線.(2)二.當(dāng)四邊形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案為：1.;四邊形OECB是菱形，.OE=CE又.OC=OE.OC=OE=CE/CEO=60°.1.CE/AB,/AOD=60:在RtAOAD中,/AOD=60,AO=1,.AD=.1.故答案為：陋.點(diǎn)睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握相

23、關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.10.(1)問題背景如圖，BC是。的直徑，點(diǎn)A在。O上,AB=AC,P為BmC上一動點(diǎn)(不與B,C重合)，求證：2PA=PB+PC小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出發(fā)有三條線段AB,AP,AC,且AB=AC這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考過程：第一步：將APAC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。至4QAB(如圖)；第二步：證明Q,B,P三點(diǎn)共線，進(jìn)而原題得證.請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.(2)類比遷移如圖，。的半徑為3,點(diǎn)A,B在。上，C為。內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,AB±AC,垂足為A,求OC的最小值.(3)拓展延伸4如圖，OO的半徑為3,點(diǎn)A,B在。上，C為。

24、內(nèi)一點(diǎn)，AB=_AC,ABXAC,垂足3為A,則0C的最小值為【答案】（1）證明見解析；（【解析】試題分析：（1）將APAC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AQAB（如圖），只要證明AAPQ是等腰直角三角形即可解決問題；（2）如圖中，連接OA,將AOAC繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90°AQAB,連接OB,OQ,在BOQ中，利用三邊關(guān)系定理即可解決問題;（3）如圖構(gòu)造相似三角形即可解決問題.作4ACUOA,使得AQ=-OA,連接OQ,34BQ,OB,由QABsOAC,推出BQ=-OC,當(dāng)BQ最小時，OC最?。?試題解析：（1）將APAC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AQAB（如圖）；

25、BC是直徑，ZBAC=90,AB=AC,.ZACB之ABC=45,由旋轉(zhuǎn)可得ZQBA=ZPCA,ZACB=ZAPB=45,PC=Q,.ZPCA+ZPBA=180ZQBA+ZPBA=180Q,B,P三點(diǎn)共線，ZQAB+ZBAP=ZBAP+ZPAC=90,QP2=AF?+AQ2=2AP2,.QP=x/JAP=QB+BP=PC+PB6Ap=PC+PB(2)如圖中，連接OA,將aOAC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°AQAB,連接OB,OQ,圖 .ABXAC/./BAC=90,°由旋轉(zhuǎn)可得QB=OC,AQ=OA/QAB=/OAC,./QAB+/BAO=/BAO+ZOAC=90, 在RtOAQ

26、中，OQ=372,AO=3,.在OaB中，BOOQ-OB=3723,即OC最小彳1是3J2-3;(3)如圖中，作AQ±OA,使得AQ=±OA,連接OQ,BQ,OB.3圖QAAB4/QAO=ZBAC=90,/QAB=ZOAC,=-,OAAC34QABsOAC,BQ=OC,3當(dāng)BQ最小時，OC最小，易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BOOQ-OB,.-.OO2,.BQ的最小值為2,.33.OC的最小值為一X20,423故答案為3.2【點(diǎn)睛】本題主要考查的圓、旋轉(zhuǎn)、相似等知識，能根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.11.如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OCAB,OB=4,D是OB

27、的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧BC上的動點(diǎn)，連接AE,DE.(1)當(dāng)點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)時，求4ADE的面積；3(2)右tanAED，求AE的長；(3)點(diǎn)F是半徑OC上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E到直線OC的距離為m,當(dāng)DEF是等腰直角三角形時，求m的值.ODB【答案】(1)Sade6”；(2)AE竺斯；(3)m273,m2我，5m一71.【解析】【分析】(1)作EHI±AB,連接OE,EB,設(shè)DH=a,貝UHB=2-a,OH=2+a,貝UEH=OH=2+a,根據(jù)RtAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出Sade的值；AFAD(2)作DF,AE,垂足為F,連接BE,設(shè)EF=2x,DF=3x,根據(jù)D

28、F/BE故,EFBD得出AF=6x,再利用RtAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出x,進(jìn)而求出AE的長；(3)根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，分別求出m的值.【詳解】解：(1)如圖，作EHI±AB,連接OE,EB,設(shè)DH=a,貝UHB=2-a,OH=2+a,點(diǎn)E是弧BC中點(diǎn)，/COE=/EOH=45°,-.EH=OH=2+a,在RtMEB中，EH2=AH?BH,(2+a)2=(6+a)(2-a),解得a=2J22，a=2>/22，eh=2V2，Sade=_nADnEH62；2(2)如圖，作DF±AE,垂足為F,連接BEODB設(shè)EF=2x,DF

29、=3x1) DF/BEADBD6一=32.afEF.af2x.AF=6x在RtMFD中,AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2解得x=2/5516AE=8x=55(3)當(dāng)點(diǎn)D為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時，如圖設(shè)DH=a由DF=DE/DOF=ZEHD=90,/FDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,/DFO=ZEDH.,.ODFAHED.OD=EH=2在RtMBE中，EH2=AH?BH2) )2=(6+a)?(2-a)解得a=+232m=2石當(dāng)點(diǎn)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時，如圖同理得AEFCADEH設(shè)DH=a，貝UGE=a,EH=FG=2+a在RtMBE中，EH2=AH?BH(2+

30、a)2=(6+a)(2-a)解得a=222EVDHB.m=272當(dāng)點(diǎn)F為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時，如圖同理得EFMFDO設(shè)OF=a,則ME=a,MF=OD=2.EH=a+2在RtMBE中，EH2=AH?BH(a+2)2=(4+a)?(4-a)解得a=±771m=幣1【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定與性質(zhì).12.如圖，AC是。的直徑，OB是。的半徑，PA切。于點(diǎn)A,PB與AC的延長線交于點(diǎn)M,/COB=/APB.(1)求證：PB是。的切線；22)3.求。的半徑.【分析】(1)根據(jù)題意/M+/P=90°,而/COB=/A

31、PB,所以有/M+/COB=90°,即可證明PB是。的切線.(2)設(shè)圓的半徑為r,則OM=r+2,BM=4,OB=r,再根據(jù)勾股定理列方程便可求出r.【詳解】證明：(1).AC是。的直徑，PA切。O于點(diǎn)A,PAXOA在RtAMAP中，ZM+ZP=90；而/COB=/APB,ZM+ZCOB=90°,/OBM=90°,即OB±BP,.PB是。的切線；(2)設(shè)OO的半徑為r,OMr2,OBr,BM4QOBM為直角三角形，OM2OB2BM2,即(r2)2r2+42解得：r=3,OO的半徑為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線問題，證明圓的切線有兩種思路一種是證明連線

32、是半徑，另一種是證明半彳5垂直.13.如圖所示，AB是半圓。的直徑，AC是弦，點(diǎn)P沿BA方向，從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A,速度為1cm/s,若AB10cm,點(diǎn)。到AC的距離為4cm.(1)求弦AC的長；(2)問經(jīng)過多長時間后，APC是等腰三角形.【答案】(1)AC=6;(2)t=4或5或14s時，APC是等腰三角形;5AC的(1)過。作ODLAC于D,根據(jù)勾股定理求得AD的長，再利用垂徑定理即可求得長；(2)分AC=PCAP=ACAP=CP三種情況求t值即可.【詳解】(1)如圖1,過。作ODLAC于D,易知AO=5,OD=4,從而ad=Joa2-OD車3,.AC=2AD=6;(2)設(shè)經(jīng)過t秒4APC是等

33、腰三角形，則AP=10-t如圖2,若AC=PC過點(diǎn)C作CHI±AB于H,/A=ZA,/AHC=ZODA=90；.AHCAADO,.AC:AH=OA:AD,即AC:10-tco=5:3,解得t=514s,s后4APC是等腰三角形;，經(jīng)過又.AC=6,則10-t=6,解得t=4s,，經(jīng)過4s后4APC是等腰三角形；如圖4,若AP=CPP與O重合,第4則AP=BP=5,，經(jīng)過5s后4APC是等腰三角形.口綜上可知當(dāng)t=4或5或q-s時，4APC是等腰二角形.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，解決問題利用了垂徑定理，勾股定理等知識點(diǎn)，解題時要注意當(dāng)BPC是等腰三角形時，點(diǎn)P的位置有三種情況.14.如

34、圖，在RtABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以。為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC,AB相交于點(diǎn)D,E,連接AD.已知ZCAD=ZB.(1)求證：AD是。的切線；(2)若CD=2,AC=4,BD=6,求。的半徑.j【答案】(1)詳見解析；(2)述.2【解析】【分析】(1)解答時先根據(jù)角的大小關(guān)系得到Z1=Z3,根據(jù)直角三角形中角的大小關(guān)系得出ODLAD,從而證明AD為圓。的切線；(2)根據(jù)直角三角形勾股定理和兩三角形相似可以得出結(jié)果【詳解】-.OB=OD,.1./3=/B,一/B=/1,Z1=Z3,在RtACD中，/1+/2=90°,/4=180-(Z2+Z3)=90°,ODXAD,則AD為圓。的切線；(2)過點(diǎn)。作OF,BC,垂足為F,.OFXBD1 -c.DF=B