中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系綜合經(jīng)典題及答案

1、中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系綜合經(jīng)典題及答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A3,0,B3,0,C3,8,以線段BC為直徑作圓,圓心為E,直線AC交eE于點(diǎn)D,連接OD.(1)求證：直線OD是eE的切線；(2)點(diǎn)F為x軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接CF交eE于點(diǎn)G,連接BG:1當(dāng)tanACF7時(shí)，求所有f點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫出)；BG求的最大值.CF【答案】(1)見解析；(2)F133,0,F2(5,0)；吧的最大值為1.31CF2【解析】【分析】(1)連接DE,證明/EDO=90即可；(2)分'F位于AB上”和F位于BA的延長線上”結(jié)合相似三角形進(jìn)行求解即可；作GMBC于點(diǎn)M

2、,證明ANFiABC,得當(dāng)-,從而得解.CF2【詳解】(1)證明：連接DE,則:BC為直徑BDC90BDA90OAOB ODOBOAOBDODBEBEDEBDEDBEBDOBDEDBODB即：EBOEDO CBx軸 EBO90EDO90 ,直線OD為eE的切線.(2)如圖1,當(dāng)F位于AB上時(shí)：ANF1ABCANNF1AF1"ABBCAC.設(shè)AN3x,則NR4x,AFi5x CNCAAN103x1031F1N4x.tanACF-CN103x.AF15x5031OF1,031如圖2,當(dāng)F位于BA的延長線上時(shí): AMF2ABC設(shè)AM3x,則MF24x,AF25xC

3、MCAAM103xF2M4x1.tanACFCM103x72解得：x一5 AF25x2OF2325即F2（5,0）S2如圖，作GMBC于點(diǎn)M, BC是直徑 CGBCBF90CBFCGBBGMGMGCFBC8 MG半徑4BGMG41-CF882BG的最大值為-.CF2【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性質(zhì)和相似比計(jì)算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.2.在等腰4ABC中，ZB=90°,AM是ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MNAC于點(diǎn)N,/EMF=135將/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使/EMF的兩邊交直線AB于點(diǎn)E,交

4、直線AC于點(diǎn)F,請解答下列問題：(1)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM(2)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖，圖的位置時(shí)，請分別寫出線段BE,CF,BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在(1)和(2)的條件下，tan/BEM、/J,AN、2+1,則BM=,CF=.【解析】【分析】(1)由等腰4ABC中，/B=90°,AM是ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MNLAC于點(diǎn)N,可得BM=MN,/BMN=135,又/EMF=135°,可證明的BME0NMF,可得BE=NFNC=NM=BM進(jìn)而得出結(jié)論；(2)如圖時(shí)，同(1)可證BMENMF,可得BE-CF=BM,如圖

5、時(shí)，同(1)可證BMENMF,可得CF-BE=BM;，.一.,但和朋在RtABM和RtANM中，可得RtAABMRtAANM,后分別求出AB、ACCN、BM、BE的長，結(jié)合(1)(2)的結(jié)論對圖進(jìn)行討論可得CF的長.【詳解】(1)證明：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=ZC=45； .AM是/BAC的平分線，MNLAC,.BM=MN,在四邊形ABMN中，/,BMN=360909045=135°,/ENF=135,°,/BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.NC=NM=BM, .CN=CF+NF .B

6、E+CF=BM;(2)針對圖2,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45J°,.NC=NM=BM, NC=NF-CF,.BE-CF=BM;針對圖3,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF,-.MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°.NC=NM=BM,.NC=CF-NF,.CF-BE=BM;(3)在RtAABM和RtAANM中，RtAABMRtAANM(HL.),.AB=AN=a/2+1,在RtAABC中,AC=AB=巧+1,.AC=AB=2+,.CN=AC-AN=2+/2-(V2+1)

7、=1,在RtCMN中，CM=CN=/2,.BM=BC-CM=+1-=1,在RtBME中，tan/BEM.-.BE=.由(1)知，如圖1,BE+CF=BM.CF=BM-BE=13由（2）知，如圖，此種情況不成立；由（2）知，如圖CF=BM+BE=1+,2,由tan/BEM三百,3,CF-BE=BM,故答案為1,1+上3或1-31【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識求解3.已知RtABC中，/ACB=90°,點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P,設(shè)AC=kBD,CD=kAEk為常數(shù)，試探究/APE的度數(shù)：(1)如圖1,若k=1,則

8、/APE的度數(shù)為(2)如圖2,若k=J3,試問(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出/APE的度數(shù).3)(2)中結(jié)論成立，理D(3)如圖3,若k=J3,且D、E分別在CRCA的延長線上，(2)中的結(jié)論是否成立,請說明理由.ffll圖2【答案】(1)45。；(2)(1)中結(jié)論不成立，理由見解析;由見解析.【解析】分析：(1)先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,進(jìn)而判斷出FAEAACD,得出EF=AD=BF再判斷出/EFB=90；即可得出結(jié)論；(2)先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,FAEAACD,再判斷出/EFB=90

9、；即可得出結(jié)論；(3)先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,ACDAHEAS再判斷出/EFB=90；即可得出結(jié)論；詳解：(1)如圖1,過點(diǎn)A作AF/CB,過點(diǎn)B作BF/AD相交于進(jìn)而判斷出進(jìn)而判斷出F,連接EF, ./FBE=ZAPE,/FAC4C=90四邊形ADBF是平行四邊形,BD=AF,BF=AD. .AC=BD,CD=AE，AF=AC. /FAC土C=90； .FAEAACD,EF=AD=BF/FEA=ZADC. /ADC+/CAD=90； /FEA+/CAD=90=ZEHD.1.AD/BF,/EFB=90.°,.EF=BF/FBE=45,°

10、;/APE=45,°(2) (1)中結(jié)論不成立，理由如下：如圖2,過點(diǎn)A作AF/CB,過點(diǎn)B作BF/AD相交于F,連接EF,./FBE=ZAPE,/FACWC=90四邊形ADBF是平行四邊形,BD=AF,BF=AD.2 .ac=、,§bd,cd=、,3ae,ACCD3BDAEBD=AF,ACCD3AFAE3 /FACC=90;4 .FAEAACD,ACADBF-V3,/FEA之ADC.AFEFEF5 /ADC+ZCAD=90,°6 /FEA+ZCAD=90=ZEMD.1.AD/BF,/EFB=90.°在RtEFB中，tanZFBE=EF，BF/FBE=3

11、0,/APE=30,(3)(2)中結(jié)論成立，如圖3,作EH/CD,DH/BE,EH,DH相交于H,連接AH,/APE=ZADH,/HEC=ZC=90；四邊形EBDH是平行四邊形,，BE=DH,EH=BD .AC=J3BD,CD=3AE,ACCD石BDAE /HEA=ZC=90:.ACgHEA,ADAHAC不，V3,/ADC=ZHAEEH /CAD+-ZADC=90,° /HAE+ZCAD=90,°/HAD=90:AH在RtADAH中，tan/ADH=pAD'/ADH=30；/APE=30.°點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三

12、角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì).4.問題背景：如圖(a),點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B'連接AB與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求(1)實(shí)踐運(yùn)用：如圖(b),已知，。的直徑CD為4,點(diǎn)A在。O上，/ACD=30,B為弧AD的中點(diǎn),直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為_.（2）知識拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.【答案】解：（1

13、）242-（2）如圖，在斜邊AC上截取AB=AB連接BB'.AD平分/BAC點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對稱.過點(diǎn)B作B'MAB,垂足為F,交AD于E,連接BE.則線段B'的長即為所求（點(diǎn)到直線的距離最短）.在RtAAFB/中，ZBAC=4更AB="AB="10,.BE+EF的最/、值為功【解析】試題分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置，根據(jù)題意先求出/C'AE再根據(jù)勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值：如圖作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB最小

14、，且等于A.作直徑AC,連接C'F根據(jù)垂徑定理得弧BD=MDE./ACD=30,°/AOD=60；/DOE=30：/AOE=90,°/CAE=45°又AC為圓的直徑，/AEC=90°./C'AC'AE=45，C'E=AE=AC'2V2.AP+BP的最/J、值是272（2）首先在斜邊AC上截取AB'=AB連接BB',再過點(diǎn)B作B'1AB,垂足為F,交AD于E,連接BE,則線段B'的長即為所求.5 .如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量校園主教學(xué)樓AB的高度，由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá)，故興趣小

15、組在平地上選擇一點(diǎn)C,用測角器測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為30。，再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米，到達(dá)點(diǎn)E處（C,E,B三點(diǎn)在同一直線上），又測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60。，已知測角器CD的高度為1.6米，請計(jì)算主教學(xué)樓AB的高度.（J3=1.73結(jié)果精確到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而求解.【詳解】解：在RtAFG中，tan/AFG=J3,AGAGFG=-Fr,tanAFG.3AG在RtACG中，tan/ACG=,CG.CG=tanACG=、.3AG.又CG-FG=24m,即V3AG-3

16、J=2=24m,.AG=12、3m,.AB=12百+1.6=2214.6 .如圖，已知，在eO中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E,且AcBd.(1)求證：ABCD;(2)如圖，若直徑FG經(jīng)過點(diǎn)E,求證:EO平分AED;(3)如圖，在(2)的條件下，點(diǎn)P在CG上，連接FP交AB于點(diǎn)M,連接MG,若ABCD,MG平分PMB,MG2,FMG的面積為2,求eO的半徑的長.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)eO的半徑的長為國.(1)利用相等的弧所對的弦相等進(jìn)行證明；(2)連接AO、DO,過點(diǎn)。作OJAB于點(diǎn)J,OQCD于點(diǎn)Q,證明AOJDOQ得出OJOQ,根據(jù)角平分線的判定定理可得結(jié)論；(3)如圖，延

17、長GM交eO于點(diǎn)H,連接HF,求出FH2,在HG上取點(diǎn)L,使HLFH,延長FL交eO于點(diǎn)K,連接KG,求出FL22，設(shè)HMn,則有_.22LKKG-n,FKFLLK2V21n,再證明22KFGEMGHMF,從而得到tanKFGtanHMF,G莊,再代入FKHMLK和FK的值可得n=4,再求得FG的長，最后得到圓的半徑為屈.【詳解】解：(1)證明：AcBd,AcCb?dCb,3bCd,ABcd.(2)證明：如圖，連接AO、DO,過點(diǎn)O作OJAB于點(diǎn)J,OQCD于點(diǎn)Q,AD11AJODQO90,AJ-AB-CDDQ,22又.AODO,AOJDOQ,OJOQ,又OJAB,OQCD,EO平分AED.(

18、3)解：CDAB,AED90,_1_由(2)知，AEFAED45,2如圖，延長GM交eO于點(diǎn)H,連接HF,C1L'八FG為直徑，H90,Smfg-MGFH2,2 MG2,FH2,在HG上取點(diǎn)L,使HLFH,延長FL交eO于點(diǎn)K,連接KG,HFLHLF45,KLGHLF45, FG為直徑，K90,KGL90KLG45KLG,LKKG,在RtFHL中，F(xiàn)L2FH2HL2，F(xiàn)L2金，設(shè)HMn,HLMG2,GLLMMGHLLMHMn,在RtLGK中，LG2LK2KG2,LKKGn,2FKFLLK2&n,2 GMPGMB,PMGHMF,HMF1 AEF-AED45,2HLF45 MGFE

19、MGMEF45, KFGEMGHMF,tanKFGtanHMF,2nKGHF2n2FKHM2匹V2nn .HGHMMG6,在RtHFG中，F(xiàn)G2FH2HG2,FG2.10,FO.10.MGFKFG即eO的半徑的長為7i0.【點(diǎn)睛】考查了圓的綜合題，本題是垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等的綜合應(yīng)用，適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵.7.如圖，在。的內(nèi)接三角形ABC中，/ACB=90°,AC=2BC,過C作AB的垂線l交。O于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P是AC上異于A，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F,連接PC與PD,PD交AB于點(diǎn)G.(1)求證：PASPDF；(2)若AB=5,?_?。，求P

20、D的長.APBP【答案】證明見解析；(2)3竺.2【解析】【分析】(1)根據(jù)AB±CD,AB是。的直徑，得到ADAC,/ACD=/B,由/FPC=/B,得至ij/ACD=/FPC可得結(jié)論；(2)連接OP,由AP?P,得到OP,AB,/OPG=/PDQ根據(jù)AB是。的直徑，得BC一至U/ACB=90,由于AC=2BC,于是得到tan/CAB=tanZDCB=,得到ACCEAEBE1OG,求得AE=4BE,通過OPGsEDG,得到CE2GEOPED然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果.【詳解】(1)證明：連接AD,.ABXCD,AB是。的直徑,AdAc,/ACD=/B=/ADC, /FPC=/B,

21、/ACD=/FPC/APC=ZACF, /FAC=/CAF, .PACCAF;1_5(2)連接OP,則OA=OB=OP=-AB22'Ap即, .OP，AB,/OPG=/PDC,.AB是。的直徑，/ACB=90；.AC=2BC,BCtan/CAB=tan/DCB=ACCEBE1-，AECE2.AE=4BE,.AE+B&AB=5,.AE=4,BE=1,C$2,.OE=OB-BE=2.5-1=1.5,/OPG=/PDC,/OGP=/DGEOPED'OG.1.OPGAEDG,GEOEGEOP2.5GECE2GE=,OG=,36PG=OP2OG25,6GD=DE=GE22,3【點(diǎn)

22、睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，證得OPGsEDG是解題的關(guān)鍵.8.如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且/PDA=/PBD.延長PD交圓的切線BE于點(diǎn)E(1)判斷直線PD是否為。的切線，并說明理由;(2)如果/BED=60°,PD=J3,求PA的長；B證明見解析；(2)(3)將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF,點(diǎn)F正好在圓O上，如圖2,求證：四邊形DFBE為菱形.【答案】(1)【解析】【分析】/ADO+/PDA=90,即可得再由PD為。的切線，得即可得出PA；O的直徑，得/ADB=90,(1)連接OD,由AB是圓O的

23、直徑可得ZADB=90,進(jìn)而求得出直線PD為。的切線；(2)根據(jù)BE是。的切線，則/EBA=90,即可求得ZP=30°,/PDO=90；根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD,由勾股定理得OP,(3)根據(jù)題意可證得/ADF=/PDA=ZPBD=ZABF,由AB是圓設(shè)/PBD我，則可表示出/DAF=/PAD=90+x°,ZDBF=2x,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，可得出4BDE是等邊三角形.進(jìn)而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為。的切線，理由如下：如圖1,連接OD,量.AB是圓O的直徑，/ADB=90,°/ADO+ZBDO=90；又.DO=BO,/BDO=Z

24、PBD,/PDA=ZPBD,/BDO=ZPDA, /ADO+/PDA=90;即PD±OD, 點(diǎn)D在。O上， 直線PD為。O的切線；(2)BE是。的切線，/EBA=90； /BED=60,°/P=30； .PD為。的切線，/PDO=90；在RtPDO中，/P=30°,PD=R,0OD_.tan30而"，解得OD=1,PO.PD2OD2=2,PA=PO-AO=2-1=1；(3)如圖2,依題意得：/ADF=ZPDA,/PAD=ZDAF, /PDA=ZPBDZADF=ZABF,/ADF=ZPDA=ZPBD=ZABF,.AB是圓O的直徑，/ADB=90；設(shè)/PBD

25、=x,貝U/DAF=ZPAD=90+x°,/DBF=2x, 四邊形AFBD內(nèi)接于OO, /DAF+ZDBF=180,°即90°+x+2x=180°,解得x=30°,/ADF=ZPDA=ZPBD=ZABF=30,°.BE、ED是。的切線， .DE=BE/EBA=90；/DBE=60,°4BDE是等邊三角形，.BD=DE=BE又/FDB=ZADB-/ADF=9030=60/DBF=2x=60°, .BDF是等邊三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF 四邊形DFBE為菱形.本題是一道綜合性的題目，考查了切線

26、的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔題，難度較大.9.如圖，AB是OO的直徑，PAPC與。分別相切于點(diǎn)A,C,PC交AB的延長線于點(diǎn)D,D已PO交PO的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：/EPD=/EDO；3 (2)若PC=3tan/PDA=,求OE的長.4【答案】(1)見解析；(2)也23(1)由切線的性質(zhì)即可得證.(2)連接OC,利用tan/PDA=,可求出CD=2進(jìn)而求得43OC=,再證明OE24DEP根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長.2【詳解】(1)證明：.PA,PC與。分別相切于點(diǎn)A,C,/APO=ZCPO,PALAO,-.DE±PO,/PAO=ZE=90；/

27、AOP=ZEOD,/APO=ZEDO,/EPD=ZEDO.(2)連接OC,PA=PC=33.tan/PDA=，4 在RtPAD中，AD=4,PD=pA2ADT=5, .CD=PD-PC=5-3=23.tan/PDA=，4 在RtOCD中，“3OC=，2.5OD=yoccd-=-'/EPD=/ODE,/OCP=/E=90;.,.OEDADEP,PDPEDE=2,DODEOEDE=2OE,5225在RtOED中，OE2+DE2=OD2,即5OE2=5=一,24【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù);勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，充分利用0),點(diǎn)D點(diǎn)l與菱形3tanZPDA=-,得線

28、段的長是解題關(guān)鍵410.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)(-6,3C在y軸正半軸上，且cosB=-,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長度的速度向5移動(dòng)(P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng))，移動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線的其它邊交于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)求4OPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；3在直線l移動(dòng)過程中，是否存在t值，使除囪S菱形abcd?右存在，求出t的值；右不存在，請說明理由.rB【答案】(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(10,S=4t（0趣4）33）3或5+".2220,S的最大值為50.-t21（4t,10）333【解析】【分

29、析】(1)在RtBOC中，求BC,OC,據(jù)菱形性質(zhì)再求D的坐標(biāo)；(2)分兩種情況分析：當(dāng)04W4時(shí)和當(dāng)4vtW10寸，根據(jù)面積公式列出解析式，再求函數(shù)的最值；(3)分兩種情況分析：當(dāng)04W4時(shí)，4t=12,；當(dāng)4vtW1叫，-t220t1233【詳解】3解：（1）在RtBOC中，/BOC=90,OB=6,cosB=-,5BCOBcosB10OCBBC2OB28',四邊形ABCD為菱形，CD/x軸,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10,8）.（2）AB=BC=10,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,0）,，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）.分兩種情況考慮，如圖1所示.當(dāng)04W4時(shí),PQ=OC=8,OQ=t,-1.S=-PQ?OQ

30、=4t,2.4>0,當(dāng)t=4時(shí)，S取得最大值，最大值為16；當(dāng)4vtw1耐，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(kwQ,將A(4,0),D(10,8)代入y=kx+b,得：4kb0,解得:10kb8直線AD的解析式為16416當(dāng)x=t時(shí)，y4t16,33PQ8164(103t)2pqOP2t25032t320t33(t5)25020.當(dāng)t=5時(shí)，S取得取大值，取大值為34t(0別4)綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=3t220萬t(4t,10),一一50,S的最大值為-50.3綜上所述：在直線l移動(dòng)過程中，存在【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問題(3) S菱形ABCD=AB?

31、OC=80.當(dāng)04W4時(shí)，4t=12,解得：t=3;當(dāng)4<tW10寸，2t2-20t=12,33解得：t1=5-J7(舍去)，t2=5+J7.一一3一t值，使S=S菱形ABCD,t的值為3或5+J7.20'.數(shù)形結(jié)合，分類討論是關(guān)鍵11 .如圖，在RtABC中，/C=90°,ZA=30°,AB=4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作PD±AC于點(diǎn)D（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合），作/DPQ=60邊PQ交射線DC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)用含t的代數(shù)式表示線段DC的長：;(2)當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)；(3)

32、當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過4ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，求出t的值.II35|【答案】(1)2-9小(2)1；(3)t的值為彳或彳或耳.【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函數(shù)求出AD,即可得出結(jié)論;(2)利用AQ=AQ即可得出結(jié)論；(3)分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】(1) -.AP=2t,AB=4,ZA=30.AC=23,AD=V%(2) AQ=2AD=2j3£當(dāng)AQ=AC時(shí)，Q與C重合即上AF=t=1;(3)如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過AB的中點(diǎn)F時(shí),1AB=2.ZA=ZAQP=30,ZFPG=60,ZPFG=30,PF=2PG=2t,1,-，AP+PF=2t+2

33、t=2,.-.t=w如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過AC的中點(diǎn)N時(shí),.ZQMN=90,AN=2AC=V35QM=2PQ=?AP=t在RtANMQ中，.AN+NQ=AQ,如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過BC的中點(diǎn)F時(shí),.BF=BC=1,/ABC=60；在RtAPEH中,54.卻圖2副11PE=亍PQ=t,/H=30：/BFH=30=/H,BH=BF=1.PH=2PE=2t.AH=AP+PH=AB+BH,/.2t+2t=5,/.t=即當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，t的值為萬或a或彳【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的

34、關(guān)鍵.12 .已知拋物線y=-1x2-Zx+2與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，拋物線的對63稱軸與x軸交于H點(diǎn)，分別以O(shè)GOA為邊作矩形AECQ(1)求直線AC的解析式；(2)如圖，P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，在對稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)四邊形AQCP面積最大時(shí)，求|PM-QM|的值.(3)如圖，將AAQC沿直線AC翻折得AACD,再將4ACD沿著直線AC平移得A'C'.D使得點(diǎn)A'、C在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn)D',使得ED;直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)D'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=-x+2；(2)點(diǎn)M坐標(biāo)為(-2,5)時(shí)，四邊形AQCP的面積最大，此時(shí)33319|PM-OM|有最大值詈;（3）存在，D坐標(biāo)為：（0,4）或（-6,2）或（-,）【解析】【分析】（1）令x=0,則y=2,令y=0,則x=2或-6,求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，即可求解；（2）連接OP交對稱軸于點(diǎn)M,此時(shí)，|PM-OM|有最大值，即可求解；（3）存在；分A'DAE;ADTED'ED。AE三種情況利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】A(6,0)、B(2,0)、C(0,(1)令x=0,則y=2,令y=0,則x=2或6,2）,函數(shù)對稱軸為：x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,8）C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,則過點(diǎn)C的直線