一輪復(fù)習(xí)高三數(shù)學(xué)第十二編概率與統(tǒng)計(jì)正態(tài)分布

1、2010屆步步高一輪復(fù)習(xí)高三數(shù)學(xué)第十二編概率與統(tǒng)計(jì)正態(tài)分布基礎(chǔ)自測(cè)1.把一正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到一條新的曲線C2，下列說(shuō)法不正確的是（ ）A.曲線C2仍是正態(tài)曲線B.曲線C1，C2的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C.以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2D.曲線C2為概率密度曲線的總體的均值比以曲線C1為概率密度曲線的總體的均值大2答案 C2.已知N(0,)且P（-20）=0.4，則P(2)的值為（ ）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案 A3.（2008安徽理，10）設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（，） （0）和N（，） （0）的密度函數(shù)圖象如圖

2、所示，則有 （ ）A.，B.C.，D.，答案 A4.（2008湖南理，4）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（2，9），若P（c+1）=P（c-1），則c等于（ ）A.1B.2 C.3D.4答案 B5.已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績(jī)XN（110，52），據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？（ ）A.（90，110B.（95，125C.（100，125D.（105，115答案 C例1 若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為.（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（-4，4）的概率.解 （1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其

3、圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即=0.由=，得=4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是=，x（-,+）.（2）P（-4X4）=P(0-4X0+4)=P(-X+)=0.683.例2 設(shè)XN（5，1），求P（6X7）.解 由已知=5, =1.P(4X6)=0.683，P(3X7)=0.954，P(3X4)+P(6X7)=0.954-0.683=0.271.如圖，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得P（3X4)=P(6X7)P(6X7)=0.135 5.例3 （12分）在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從一個(gè)正態(tài)分布，即N（90，100）.(1)試求考試成績(jī)位于區(qū)間（70，110）上的概率是多少？（2）若這次考試共有2 000

4、名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)冢?0，100）間的考生大約有多少人？解 N（90，100），=90，=10.2分（1）由于正態(tài)變量在區(qū)間（-2，+2）內(nèi)取值的概率是0.954，而該正態(tài)分布中，-2=90-210=70，+2=90+210=110，于是考試成績(jī)位于區(qū)間（70，110）內(nèi)的概率就是0.954.6分（2）由=90，=10，得-=80，+=100.由于正態(tài)變量在區(qū)間（-，+）內(nèi)取值的概率是0.683，所以考試成績(jī)位于區(qū)間（80，100）內(nèi)的概率是0.683.8分一共有2 000名考生，所以考試成績(jī)?cè)冢?0，100）間的考生大約有2 0000.683=1 366（人）.12分1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

5、概率密度函數(shù)是f(x)=(xR).（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；（2）求f（x）的最大值；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f（x）的增減性.（1）證明 對(duì)任意xR，有f(-x)= =f(x),f(x）為偶函數(shù).（2）解 令t=,當(dāng)x=0時(shí)，t=0,et=1.et是關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，t0，et1.當(dāng)x=0，即t=0時(shí)，=et取最小值.當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=取得最大值.(3)解 任取x10，x20，且x1x2,有,.f(x1)f(x2),即當(dāng)x0時(shí)，f(x)遞增.又f(x)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)x0時(shí)，f（x）遞減.2.設(shè)XN（1，22），試求（1）P（-1X3);(2)P(3X5);(

6、3)P(X5).解 XN（1，22），=1，=2.（1）P（-1X3)=P(1-2X1+2)=P（-X+)=0.683.（2）P（3X5)=P(-3X-1)P(3X5)=P(-3X5)-P(-1X3)=P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2)=P(-2X+2)-P(-X+)=(0.954-0.683)=0.135 5.(3)P(X5)=P(X-3),P(X5)=1-P(-3X5)=1-P(1-4X1+4)=1-P(-2X+2)=（1-0.954)=0.023.3.工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N(4，)，問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間（3，5）這個(gè)尺寸范圍的零

7、件大約有多少個(gè)？解 XN(4,)，=4，=.不屬于區(qū)間（3，5）的概率為P（X3）+P(X5)=1-P（3X5)=1-P(4-1X4+1)=1-P(-3X+3)=1-0.997=0.003,1 0000.003=3(個(gè)），即不屬于區(qū)間（3，5）這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè). 一、選擇題1.對(duì)于正態(tài)分布N（0，1）的概率密度函數(shù)f(x)=,下列說(shuō)法不正確的是（ ）A. f(x)為偶函數(shù)B. f(x)的最大值為C. f(x)在x0時(shí)是單調(diào)減函數(shù)，在x0時(shí)是單調(diào)增函數(shù)D. f(x)關(guān)于=1對(duì)稱答案 D2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（2，）,P(4)=0.84,則P（0）等于（ ）A.0.16B.0.

8、32C.0.68D.0.84答案 A3.（2008重慶理，5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（3，），則P（3）等于（ ）A.B.C.D.答案 D4.設(shè)隨機(jī)變量XN（，），則隨著的增大，概率P（|x-|3）將會(huì)（ ）A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.保持不變D.增減不定答案 C5.在正態(tài)分布N(0，)中，數(shù)值落在（-，-1）（1，+）內(nèi)的概率為（ ）A.0.097B.0.046C.0.03D.0.003答案 D6.某次市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的直方圖如圖所示（由于人數(shù)眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布），則由如圖曲線可得下列說(shuō)法中正確的一個(gè)是（ ）A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B.丙科總體平均

9、數(shù)最小C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同答案 A二、填空題7.已知正態(tài)分布總體落在區(qū)間（0.2，+）的概率為0.5，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x= 時(shí)達(dá)到最高點(diǎn).答案 0.28.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（1，）(0).若在（0,1）內(nèi)取值的概率為0.4,則在(0,2)內(nèi)取值的概率為 .答案 0.8三、解答題9.設(shè)XN（10，1）.（1）證明：P（1X2)=P（18X19);(2)設(shè)P（X2）=a,求P(10X18).（1）證明 因?yàn)閄N(10,1),所以，正態(tài)曲線f(x)關(guān)于直線x=10對(duì)稱，而區(qū)間1，2和18，19關(guān)于直線x=10對(duì)稱，所以f(

10、x)dx=f(x)dx，即P（1X2)=P（18X19）.（2）解 P(10X18)=P(2X10)=P(X10)-P(X2)=-a.10.某市有210名初中學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽，隨機(jī)調(diào)閱了60名學(xué)生的答卷，成績(jī)列表如下： 成績(jī)（分）12345678910人數(shù)分布0006152112330（1）求樣本的數(shù)學(xué)平均成績(jī)及標(biāo)準(zhǔn)差；（精確到0.01）（2）若總體服從正態(tài)分布，求此正態(tài)曲線的近似方程.解 （1）平均成績(jī)=（46+515+621+712+83+93）=6.s2=6(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2=1.5.s1.22,即樣本的

11、數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?分，標(biāo)準(zhǔn)差約為1.22.（2）以=6，s=1.22作為總體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值.即=6,=1.22.則總體服從正態(tài)分布N（6，1.222）.正態(tài)曲線的近似方程為f（x）=.11.某人乘車從A地到B地，所需時(shí)間（分鐘）服從正態(tài)分布N（30，100），求此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率.解 由=30,=10,P(-X+)=0.683知此人在20分鐘至40分鐘到達(dá)目的地的概率為0.683，又由于P （-2X+2)=0.954,所以此人在10分鐘至20分鐘或40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.954-0.683=0.271，由正態(tài)曲線關(guān)于直線x=30對(duì)稱得此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.135 5.12.燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈