15實數(shù)復習與鞏固提高知識講解

1、讓的孩子得到更好的教育實數(shù)全章復習與鞏固（提高）撰稿：康紅梅責編：吳婷婷【學習目標】1. 了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2. 了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3. 了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4. 能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】【課堂：389318實數(shù)復習，知識要點】知識點一：平方根和立方根知識點二：實數(shù)有理數(shù)和無理

2、數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù). 1.實數(shù)的分類按定義分：01082025511 傳真：01082079687 第1頁 共7頁地址：北京市西城區(qū)新德街 20 號 4 層類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示±a3 a性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零； 負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根； 一個負數(shù)有一個負的立方根； 零的立方根是零；重要結論( a )2 = a(a ³ 0)a 2 = a = ìa(a ³ 0)íî- a(a < 0)(3 a )3 = a3 a3 = a3 - a = -3 a讓的孩子得到

3、更好的教育ì有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)íî無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)按與 0 的大小關系分：ìì正有理數(shù)ï正數(shù)íî正無理數(shù)ïï實數(shù) 0íïì負有理數(shù)ï負數(shù)íïîî負無理數(shù)要點詮釋：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)5 ， 3 2 等；（2）無理數(shù)分成三類：開方開不盡的數(shù)，如有特殊意義的數(shù)，如；有特定結構的數(shù)，如 0.101

4、0010001（3） 凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.（4） 實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應的.2. 實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.3. 實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式：（1） 任何一個實數(shù) a 的絕對值是非負數(shù)，即| a |0；（2） 任何一個實數(shù) a 的平方是非負數(shù)，即 a2 0；（3）任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即 a ³ 0 ( a ³ 0 ).非負數(shù)具有以下性質(zhì)：（1） 非負數(shù)有最小值零；

5、（2） 有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；（3） 幾個非負數(shù)之和等于 0，則每個非負數(shù)都等于 0.4. 實數(shù)的運算：數(shù) a 的相反數(shù)是 a ；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0 的絕對值是 0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.5. 實數(shù)的大小的比較：有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則 1. 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則 2正數(shù)大于 0，0 大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反：0

6、1082025511 傳真：01082079687 第2頁 共7頁地址：北京市西城區(qū)新德街 20 號 4 層讓的孩子得到更好的教育而?。环▌t 3. 兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.【典型例題】類型一、有關方根的問題【課堂：389318實數(shù)復習，例 1】1、已知 y =，求 x2 y 的值.x - 3【思路點撥】由被開方數(shù)是非負數(shù)，分母不為 0 得出 x 的值，從而求出 y 值，及 x2 y 的值.【與】解：由題意得ì x - 3 ³ 0ïí3 -³ 0x，解得 x 3ïx - 3 ¹ 0&

7、#238;y =2x - 3 x2 y (-3)2 ´(-2) = -18 .【總結升華】根據(jù)使式子有意義的條件列出方程，解方程，從而得到 x2 y 的值. 舉一反三：【變式 1】已知 y =x - 2 +2 - x + 3，求 y x 的平方根?！尽拷猓河深}意得：ìx - 2 ³ 0í2 - x ³ 0解得 x 2î y 3， yx = 32 = 9 ， y x 的平方根為±3.【變式 2】若3 3x - 7 和 3 3y + 4 互為相反數(shù),試求 x + y 的值?！尽拷猓?3 3x - 7 和 3 3y + 4 互為相

8、反數(shù),3 x 73 y 403（ x + y ）3， x + y 1.37 - 22、已知M 是滿足不等式- 3 < a < 6 的所有整數(shù) a 的和，N 是滿足不等式 x £2的最大整數(shù)求 MN 的平方根：01082025511 傳真：01082079687 第3頁 共7頁地址：北京市西城區(qū)新德街 20 號 4 層x- 3 + 3 -x+12x- 3 + 3 -x+12讓的孩子得到更好的教育【與】解： - 3 < a <6 的所有整數(shù)有1，0，1，2所有整數(shù)的和 M11022 x £37 - 2 2，N 是滿足不等式 x £37 - 2

9、的最大整數(shù)22N2MN4，MN 的平方根是±2.【總結升華】先由已知條件確定 M、N 的值，再根據(jù)平方根的定義求出 MN 的平方根類型二、與實數(shù)有關的問題10 的整數(shù)部分， b 是它的小數(shù)部分，求(-a)3 + (b + 3)2 的值3、已知a 是的.通過估算 10 的整數(shù)部分是 3，那么【思路點撥】一個數(shù)是由整數(shù)部分小數(shù)部分它的小數(shù)部分就是 10 - 3 ，再代入式子求值.【與】解： a 是 10 的整數(shù)部分， b 是它的小數(shù)部分， 3 < 10 < 4 a = 3 , b = 10 - 3 (-a)3 + (b + 3)2 = (-3)3 + (10 - 3 + 3)

10、2 = -27 +10 = -17 .【總結升華】可用夾擠法來確定，即看 10 介于哪兩個相鄰的完全平方數(shù)之間，然后開平方.這個數(shù)減去它的整數(shù)部分后就是它的小數(shù)部分.舉一反三：11 的小數(shù)部分為 a ，5 11 的小數(shù)部分為b ，則 a b 的值是；【變式】 已知 5a b 的值是.】 a + b = 1; a - b = 2 11 - 7 ；【提示：由題意可知 a = 11 - 3 ， b = 4 - 11 .4、閱讀理解，回答問題.在解決數(shù)學問題的過程中，有時會遇到比較兩數(shù)大小的問題，解決這類問題的關鍵是根據(jù)命題的題設和結論特征，采用相應辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問題的一種行之有效

11、的方法：若 a b 0，則 a b ；若 a b 0，則a b ；若 a b 0，則a b .例如：在比較 m2 +1與 m2 的大小時，小東同學的作法是：01082025511 傳真：01082079687 第4頁 共7頁地址：北京市西城區(qū)新德街 20 號 4 層讓的孩子得到更好的教育 (m2 +1) - (m2 ) = m2 +1- m2 = 1 m2 +1 > m2請你參考小東同學的作法，比較4 3 與(2 + 3)2 的大小.【思路點撥】仿照例題，做差后經(jīng)過計算差與 0 的關系，從而比較大小.【與】解： 4 3 -(2 + 3)2 = 4 3 - (4 + 4 3 + 3) =

12、-7 < 0 4 3 (2 + 3)2【總結升華】實數(shù)比較大小常用的有作差法和作商法，根據(jù)具體情況加以選擇. 舉一反三：【課堂：389318實數(shù)復習，例 5】，則 a,-a, 1 , a 2 的大小關系是：【變式】實數(shù) a 在數(shù)軸上的位置；a0-1a1【】 < a < a2 < -a ；a類型三、實數(shù)綜合應用5、已知a 、b 滿足 2a + 8+ | b - 3 |= 0 ，解關于 x 的方程(a + 2)x + b2 = a -1?！九c】解： 2a + 8+ | b - 3 |= 02 a 80,b 3 0,解得a 4,b 3 ，代入方程：(a + 2) x + b2

13、 = a -1- 2x + 3 = -5x = 4【總結升華】先由非負數(shù)和為 0，則幾個非負數(shù)分別為 0 解出 a 、b 的值，再解方程. 舉一反三：【變式】設 a 、b 、c 都是實數(shù)，且滿足(2 - a)2 +a2 + b + c + c + 8 = 0 ，求代數(shù)式2a - 3b - c 的值。【】解： (2 - a)2 +a2 + b + c + c + 8 = 0：01082025511 傳真：01082079687 第5頁 共7頁地址：北京市西城區(qū)新德街 20 號 4 層讓的孩子得到更好的教育ì2 - a = 0ìa = 2ïïa + b +

14、c = 0b = 42íí，解得ïc + 8 = 0ïc = -8îî 2a - 3b - c = 4 -12 + 8 = 0 .【課堂：實數(shù)復習，例 6】6、閱讀材料：小組開展了一次探究活動：估算 13 的近似值.學習了無理數(shù)后，某數(shù)學小明的方法： 9 < 13 < 16 ，設13 = 3 + k （ 0 < k < 1）. ( 13)2 = (3 + k)2 .13 = 9 + 6k + k 2 .13 » 9 + 6k .解得 k » 4 . 13 » 3 + 4 »

15、; 3.67 .6問題：（1）請你依照小明的方法，估算 41 的近似值；6m 的公式：已知非負整數(shù) a 、b 、 m ，若（2）請結合上述具體實例，概括出估算a <m < a +1，且 m = a2 + b ，則 m »(用含a 、b 的代數(shù)式表示)；（3）請用（2）中的結論估算 37 的近似值.與】【解：（1） 36 <41 <49 ，設 41 = 6 + k （ 0 < k < 1）. ( 41)2 = (6 + k)2 . 41 = 36 +12k + k 2 . 41 » 36 +12k .512k »解得.5 41 » 6 +» 6.42 .12（2） a <m < a +1，設 m = a + k （ 0 < k < 1）. ( m)2 = (a + k)2 . m = a2 + 2ak + k 2 . m » a2 + 2ak .：01082025511 傳真：01082079687 第6頁 共7頁地址：北京市西城區(qū)新德街 20 號 4 層讓的孩子