知識(shí)講解對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)提高

1、宇軒中心 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)很重要的函數(shù)模型；2. 探索對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行同底對(duì)數(shù)和不同底對(duì)數(shù)大小的比較；3了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù) y = ax 與對(duì)數(shù)函數(shù) y = log x 互為反函數(shù)(a 0, a 1) a【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1. 函數(shù) y=logax(a0，a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是(0, +) ，值域?yàn)?R 2. 一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如 y = loga x(a 0,且a 1) 的形式，即必須滿(mǎn)足以下條件：（1）

2、 系數(shù)為 1；（2） 底數(shù)為大于 0 且不等于 1 的常數(shù)；（3） 對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量 x 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?） 只有形如 y=logax(a0，a1)的函數(shù)才叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，像 y = loga (x +1), y = 2 loga x, y = loga x + 3等函數(shù)，它們是由對(duì)數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)（2） 求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意：對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于 1；對(duì)含有字母的式子要注意分類(lèi)討論要點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)要點(diǎn)詮釋?zhuān)宏P(guān)于對(duì)數(shù)式 logaN 的符號(hào)問(wèn)題，既受 a 的制約又受 N 的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò). 下面介紹一種簡(jiǎn)單記憶方

3、法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.以 1 為分界點(diǎn)，當(dāng) a，N 同側(cè)時(shí)，logaN0；當(dāng) a，N 異側(cè)時(shí)，logaN1 時(shí)，隨 a 的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近 x 軸；當(dāng) 0a 0且a 1) .【】（1）x | x 0；（2）x | x 0 ， 4 - x 0 ，解出不等式就可求出定義域.(1) 因?yàn)?x2 0 ，即 x 0 ，所以函數(shù) y(2) 因?yàn)? - x 0 ，即 x 4 ，所以函數(shù) yoga x 的定義域?yàn)閤 | x 0；2 0 舉一反三：【變式 1】求下列函數(shù)的定義域.x3 - 13(2) y = ln(a - k 2 ) （ a 0 且 a 1, k R ）.xx(1) y=log 1

4、(x - 1) - 1233【】（1）(1， ) U (，2；（2）略22x -1 0x 1【】(1)因?yàn)閘og 1 (x -1) 0 ， 所以0 0 ， 所以 k .2x 2 當(dāng) k 0 時(shí)，定義域?yàn)?R ；當(dāng) k 0 時(shí)，(i) 若 a 2 ，則函數(shù)定義域?yàn)? log a k ，+)；2(ii) 若0 a 2 ，且 a 1，則函數(shù)定義域?yàn)?-， log a k )；2(iii) 若a = 2 ，則當(dāng)0 k 0且a 1）【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小?！尽?1) ；(2) ；(4) ；(5) 略】由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)完成.(1) 解法 1：畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù) y = l

5、og3 x 的圖象，橫坐標(biāo)為 3.6 的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為 8.9 的點(diǎn)的下方，所以，log3 3.6 log3 8.9 ；解法 2：由函數(shù) y = log3 x 在 R+上是單調(diào)增函數(shù)，且 3.68.9，所以log3 3.6 log3 8.9 ；(2) 與第(1)小題類(lèi)似， y = log0 2 x 在 R+上是單調(diào)減函數(shù)，且 1.9 log0 2 3.5 ；(3)函數(shù) y = log2 x 和 y = log7 x 的圖象當(dāng) x 1 時(shí)， y = log2 x 的圖象在 y = log7 x 的圖象上方，這里 x = 5 ，log2 5 log7 5 (4)log3 5 log3 3 = 1 =

6、 log6 6 log6 4,log3 5 log6 4(5) 注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類(lèi)討論 a 的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性大小.解法 1：當(dāng)a 1 時(shí)， y = loga x 在(0，+)上是增函數(shù)，且 5.15.9，所以， loga 4.2 loga 4.8當(dāng)0 a 1時(shí)，y=logax 在(0，+)上是減函數(shù)，且 4.2 loga 4.8解法 2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性大小，令b = log 4.2 ，則ab1 =4.2 ，令b = log 4.8 ，則 ab2 = 4.81a2a當(dāng) a 1 時(shí)， y = ax 在 R 上是增函數(shù)，且 4.24.8， 所以，b1b2，即loga

7、 4.2 loga 4.8當(dāng)時(shí)0 a 1， y = ax 在 R 上是減函數(shù)，且 4.2b2，即loga 4.2loga 4.8 .【總結(jié)升華】比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小的基本方法是：（1） 比較同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（2） 比較同真數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常有兩種方法：先利用對(duì)數(shù)換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大??；利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大?。?） 若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來(lái)比較大小【課堂：對(duì)數(shù)函數(shù) 369070 例 3】例 3比較log b,log a,log 1 ,log 1 其中 0a11 的大小.aba bb

8、a11【】loga b logb a logb a loga b11a【】由 0a11，得a ， b b宇軒中心 log 1 log a = 1， log 1 log b = 1a bab ablog 1 log1b aa b-1-1 logb a loga b ，即-logb a loga blog b log a log 1 b cB b a cC a c bD c a b【】C】另 m = log 3.4 ， n = log 3.6 ，l = log 10 ，在同一坐標(biāo)系【出三個(gè)函數(shù)圖像，由圖像可2433得 m l n又 y = 5x 為單調(diào)遞增函數(shù)，

9、 a c b故選 C.【課堂：對(duì)數(shù)函數(shù) 369070 例 2】【變式 2】比較 a = log3 p , b = log23, c = log32 的大小】c b a】 log32 log33 log23 1 = log3 3 log3 p【c b 1, 則 y = log t 遞增，且t = a - ax 遞減，而 a - ax 0 ，即ax a, x 1 ，a y = log (a - ax ) 在(-,1) 上遞減a 若0 a 0 ，即ax 1，a y = log (a - ax ) 在(1, +) 上遞減a綜上所述，函數(shù) y = loga (a - a ) 的單調(diào)遞減區(qū)間是： (-,1

10、) 和(1, +) x類(lèi)型三、函數(shù)的奇偶性例 5.下列函數(shù)的奇偶性.2- x ;(1) f (x) = ln(2) f (=+ x2 - x) .2 + x【思路點(diǎn)撥】函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行（2），如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（2）求 f (-x) ，如果f (-x) =f (x) ，則函宇軒中心 數(shù)是偶函數(shù)，如果 f (-x) = - f (x) ，則函數(shù)是奇函數(shù)。】（1）奇函數(shù)；（2）奇函數(shù)】首先要注意定義域的考查，然后嚴(yán)格按照證明奇偶性基本步驟進(jìn)行.2- 【 0可得x R(2)【】由

11、所以函數(shù)的定義域?yàn)?R 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)( 1+2又 f1+2即 f(-x)=-f(x)；所以函數(shù) f【總結(jié)升華】此題定義域的確定可能稍有- x)是奇函數(shù).，函數(shù)式的變形用到了有理化的技巧，要求掌握.類(lèi)型四、反函數(shù)例 6（2016 春 河北衡水月考）已知點(diǎn)（2，99）在函數(shù) f（x）=lg（x+b）的反函數(shù)的圖象上（1）求實(shí)數(shù) b 的值；（2）若 0f（12x）f（x）1，求 x 的取值范圍【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)點(diǎn)（2，99）在函數(shù) f（x）=lg（x+b）的反函數(shù)的圖象上，可得：點(diǎn)（99，2） 在函數(shù) f（x）=lg（x+b）的圖象上，代入構(gòu)造關(guān)于 b 的方程，解得實(shí)數(shù) b 的值；1- 2x -

12、1（2）若 0f（12x）f（x），則x -1，解得 x 的取值范圍2 - 2x1 10x +12 1】（1）b=1；（2） (-, ) 3 3】（1）點(diǎn)（2，99）在函數(shù) f（x）=lg（x+b）的反函數(shù)的圖象上，【點(diǎn)（99，2）在函數(shù) f（x）=log（x+b）的圖象上， 即 lg（99+b）=2，即 99+b=100，解得：b=1；（2）由（1）得 f（x）=lg（x+1），x1，則 0f（12x）f（x）1 可化為：2 - 2x0 lg -12 1即x -1，解得： x (-, )，3 32 - 2x1 0 , 且 a1)的反函數(shù)，且 f (2) = 1，則 f (x) = （）12

13、x(C) log x(D)2 x-2(A) log x(B)212【】A【】解法 1： 函數(shù) y =f (x) 是函數(shù) y = ax (a 0 , 且 a1)的反函數(shù) f (x) = loga x ，又 f (2) = 1loga 2 = 1，a = 2 ， 故選 A解法 2： 函數(shù) y = f (x) 是函數(shù) y = ax (a 0 , 且 a1)的反函數(shù)，且 f (2) = 1點(diǎn)（1，2）在函數(shù) y = ax 的圖象上， a = 2故選 A類(lèi)型五、利用函數(shù)圖象解題1 例 7若不等式2x -log x 0 ，當(dāng) x 0,時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍2 a【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出函數(shù) y = 2x

14、 的圖象與函數(shù) y = log x 的圖象，然后借助圖象去求借。a2 1 2】 a 1【 2 1 1 x 0,【】要使不等式2x -log x 0 在y = log x0,2 時(shí)恒成立，即函數(shù)的圖在2 內(nèi)恒在函aa數(shù) y = 2x 圖象的上方，而 y = 2x 圖象過(guò)點(diǎn) 1 , 2 由右圖可知， log1 2 ，顯 2a 21 2 = log a 2 ， a 1 ，即然這里 0a1，函數(shù) y = log x 遞減又log2aa 2a2宇軒中心 22a 1 2所求的 a 的取值范圍為 1 2 a 1 2 2 【總結(jié)升華】“數(shù)”是數(shù)學(xué)的特征，它精確、量化，最有說(shuō)服

15、力；而“形”則形象、直觀，能簡(jiǎn)化思維過(guò)程，降低題目的難度，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，把它們的優(yōu)點(diǎn)集中在一起就是最佳組合本例中，利用圖形的形象直觀快速地得到，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)形結(jié)為中學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運(yùn)用它來(lái)分析和解決問(wèn)題在涉及方程與不等式的問(wèn)題時(shí)，往往構(gòu)造兩個(gè)函數(shù) f (x) 與 g(x) ，則 f (x) = g(x) 的實(shí)數(shù)解等價(jià)于兩個(gè)函數(shù) y = f (x) 與 y = g(x) 的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而 f (x) 0 時(shí)， f (x) = log (x + 1) c9根據(jù)圖像， f (0) = 2 ，即log (0 +

16、 1) = 2 ， c = 1c93113 a + b + c = 2 + 2 +=332x + 2（2）由（1）知， f(x 0) , 0).93當(dāng) m 0 時(shí)，由2m + 2 = -1 解得 m = - 3 .2當(dāng) m 0 時(shí)，由log (m + 1) = -1 解得 m = 26 .1399326綜上所述， m 的值為-或29類(lèi)型六、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用宇軒中心 例 8（1）已知函數(shù) y = lg(x2 + 2x + a) 的定義域?yàn)?R ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；（2）已知函數(shù) y = lg(x2 + 2x + a) 的值域?yàn)?R ，求實(shí)數(shù) a 的取

17、值范圍；（3） f= log (-x2 + logx) 的定義域?yàn)?0, 1) ，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍a2a2【思路點(diǎn)撥】與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問(wèn)題相比，本題屬非常規(guī)問(wèn)題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問(wèn) 題. f (x) 的定義域?yàn)?R，即關(guān)于 x 的不等式 x2 + 2x + a 0 的解集為 R，這是不等式中的常規(guī)問(wèn)題.f (x) 的值域?yàn)?R 與 x2 + 2x + a 恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求 f (x) 取遍一切實(shí)數(shù)，即要求u = x2 + 2x + a 取遍一切正數(shù)， 的條件是D 0 .此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，使 u 能取遍一切正數(shù)【】（1） a 1 ；（2）

18、a 1 ；（3） a 1, 1 2 32【】（1） y = lg(x2 + 2x + a) 的定義域?yàn)?R， x2 + 2x + a 0 恒成立， D = 4 - 4a 1 （2） y = lg(x2 + 2x + a) 的值域?yàn)?R， x2 + 2x + a 取遍一切正數(shù)， D = 4 - 4a 0 ， a 1 1 （3）由題意，問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式 x2 -logx 0的解集為 0,，記2 2a 1 1 C1 : y = x ,C2 : y = log2a x, 作圖形 C1與C2 ，2， 只需 C2 過(guò)點(diǎn) ， ， 2 4 0 2a 1，即滿(mǎn)足0 a 1 ，且log1 = 11( )2

19、即可，解得 a =所以由圖象22a 2213211132 11 1，即(2a)4可以看出若C1 1；（2）0a1【】(1) f (x) 的定義域?yàn)?R，即：關(guān)于 x 的不等式 ax2 + 2x +1 0 的解集為 R， 當(dāng) a=0 時(shí)，此不等式變?yōu)?2x+10，其解集不是 R；a 0當(dāng) a0 時(shí)，有 a1. a 的取值范圍為 a1.D = 4 - 4a 0(2)f(x)的值域?yàn)?R，即 u=ax2+2x+1 能取遍一切正數(shù) a=0 或 0a1，D = 4 - 4a 0 a 的取值范圍為 0a1.宇軒中心 例 9已知函數(shù) f (x) = lg (ax - bx

20、) （常數(shù) a 1 b 0 ）（1） 求 y = f (x) 的定義域；（2） 在函數(shù) y = f (x) 的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使過(guò)此兩點(diǎn)的直線平行于 x 軸；f (x) 在(1, +) 上恒取正值（3）當(dāng)a ， b 滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，【思路點(diǎn)撥】本題為對(duì)數(shù)指數(shù)問(wèn)題的綜合題，求定義域首先保證對(duì)數(shù)的真數(shù)為正，再利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出定義域（2）中證明是否存在要由單調(diào)性來(lái)確定，若單調(diào)遞增或遞減，就不存在兩點(diǎn)兩線平行于 x 軸】（1） (0, +) （2）不存在（3） a b +1】【 a xa（1）由 ax - bx 0 ，得 1 ，由 a 1 b 0 ，得 1 ，故 x 0 ，即函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?b b(0, +) （2）設(shè) x1 x2 0,a 1 b 0 ，a ax2 bx2 bx1 0,故a - bx1 ax2 - bx2 0,lg(a - bx1 ) lg (ax2 - bx2 ),即 f (x1) f (x2 ) ，f (x) 在(0, +) 上為增函數(shù)f (x) 的圖象上存在不同的兩點(diǎn) A( x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，使直線假設(shè)函數(shù) y =AB 平行于 x 軸，即x1 x2 , y1 = y2 ，這與 f (x) 是增函數(shù)故函數(shù) y = f (x) 的圖象上不存在不同