人教A版數(shù)學(xué)必修41兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、3.1.1兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)一、概述、1 .三角恒等變換處于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)和交匯點(diǎn)上，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力的重要素材兩角差的余弦公式是三角恒等變換這一章的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)2 .由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，我們可以在獲得其中一個(gè)公式的基礎(chǔ)上，通過角的變換得到另一個(gè)公式我們可以用“隨機(jī)、自然進(jìn)入”的方式選擇其中的一個(gè)作為突破口教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，其基本出發(fā)點(diǎn)是使公式的證明過程盡量簡(jiǎn)潔明了，易于學(xué)生理解和掌握，同時(shí)也有利于提高學(xué)生運(yùn)用向量解決相關(guān)問題的意識(shí)和能力3 .教材沒有直接給出

2、兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果、證明結(jié)果兩步進(jìn)行探究，并從簡(jiǎn)單情況入手得出結(jié)果這樣的安排不僅使探究更加真實(shí)，也有利于學(xué)生學(xué)會(huì)探究、思維發(fā)展4 .由于本節(jié)課可以從不同的角度提出不同的問題，并且可以用不同的途徑與方法解決問題，因此本節(jié)課為學(xué)生的思維發(fā)展提供了很好的空間和平臺(tái)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生用觀察、聯(lián)想、對(duì)比、化歸等方法分析、處理問題，尋找解決問題的思路二、教學(xué)目標(biāo)分析1 掌握兩角差的余弦公式，并能簡(jiǎn)單運(yùn)用這個(gè)公式求解教材上的練習(xí)和習(xí)題2 全體學(xué)生能理解“探求結(jié)果，證明結(jié)果”這一常用的探究的步驟；多數(shù)學(xué)生能在兩角差余弦公式的探究過程中體會(huì)以退求進(jìn)、割補(bǔ)思想、分類討論、觀察聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法和思

3、維方法，能體會(huì)到數(shù)學(xué)思維的合理性與條理性3 能理解怎樣運(yùn)用向量解決問題，充分認(rèn)識(shí)和感受向量的工具價(jià)值；課堂上能樂于思考和主動(dòng)探究，并有愉悅的情感體驗(yàn)（二）教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：兩角差的余弦公式及公式的靈活應(yīng)用；設(shè)計(jì)意圖：課標(biāo)要求要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程；難點(diǎn)：余弦公式的探索，推導(dǎo)和證明;設(shè)計(jì)意圖：高一學(xué)生邏輯思維能力還比較薄弱，對(duì)于公式的證明還存在很大的問題。三、學(xué)習(xí)者特征分析1 從學(xué)生已有的知識(shí)與方法看:高一學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量和三角函數(shù)的知識(shí)，從日常教學(xué)所反應(yīng)的學(xué)生特點(diǎn)來看，學(xué)生對(duì)類比和分類討論的思想有所體會(huì)，但是還是只停留在體會(huì)階段，沒有辦法真正靈活的運(yùn)用。具有了一定歸納總結(jié)的

4、能力，但對(duì)于一般結(jié)論的原因，還是沒能用嚴(yán)格的定義證明；2從學(xué)生的情感，態(tài)度看：高一學(xué)生已經(jīng)厭倦老師的單獨(dú)說教，希望老師創(chuàng)設(shè)便于他們進(jìn)行觀察的環(huán)境，給他們發(fā)表自己見解和表現(xiàn)自己才華的機(jī)會(huì)，希望老師滿足他們的創(chuàng)造愿望，讓他們實(shí)際操作，小組交流，使他們獲得施展自己創(chuàng)造才能的空間。四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)課標(biāo)要求我們要盡量的把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生小組合作，在得到新知的同時(shí)又能培養(yǎng)他們的合作，分析和探索能力。我們主要采用引導(dǎo)探索的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流去發(fā)現(xiàn)，探求兩角差的余弦公式（關(guān)鍵在于如何引導(dǎo)學(xué)生通過大膽猜想，類比得出公式）。五、教學(xué)資源與工具設(shè)計(jì)學(xué)生方面：1,學(xué)生每人準(zhǔn)備畫好3個(gè)圓的方

5、格紙一張;教師方面：1,多媒體課件（幾何畫板課件）；2,圓規(guī)直尺;六、教學(xué)流程圖:問題引入課堂小結(jié)七、教學(xué)過程:一回顧復(fù)習(xí)（2分鐘）在三角函數(shù)中，我們學(xué)習(xí)了哪些基本的三角函數(shù)公式?問題引入：（4分鐘）201我們?cè)谇懊嫠鶎W(xué)二角函數(shù)值時(shí)就知道，cos45,cos30一,而22ocos15°cos（45°30°）,大家猜想一下，c0s15等于多少呢？是不是等于cos45o-cos300?（學(xué)生猜測(cè)答案）（幾何畫板演示c0s150的答案）根據(jù)我們?cè)诘谝徽滤鶎W(xué)的知識(shí)可知我們的猜想是錯(cuò)誤的，也就是cos()不會(huì)等于cos-cos問：那么會(huì)是多少呢？(學(xué)生大膽猜測(cè)兩角差余弦的表

6、達(dá)式)設(shè)計(jì)意圖:通過問題的提出，吸引學(xué)生的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生小組討論，大膽的進(jìn)行猜測(cè),讓學(xué)生體驗(yàn)如何用反例進(jìn)行反駁，同時(shí)搞清錯(cuò)誤的原因，避免以后犯類似的錯(cuò)誤.二新知探究(15分鐘)(學(xué)生拿出小紙片，小組合作，在圓上做出角歸納：我們發(fā)現(xiàn)，通過割補(bǔ)法很難得出兩角差的余弦值，那現(xiàn)在應(yīng)該如何考慮?設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)向量的夾角與的聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生通過觀察，聯(lián)探究L如何用角位，產(chǎn)的正?玄、余葩值來表示匕狀(4-呢？/探究2.運(yùn)用三角函數(shù)定義探索C”(-初的表達(dá)式想到,終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A(cos,sin),B(cos,sin),同時(shí)發(fā)現(xiàn)uuruuuuuuuuuOAgOBOAOBcos(cos,

7、sin)gcos,sin)coscossinsin(二)得出新知所以，cos()coscossinsin(三)定義解析(3分鐘)1成立條件：是不是對(duì)于任意的，都適用于差的余弦公式？等價(jià)于不屬于0,時(shí)是否成立？2 結(jié)論：歸納為“余余正正符號(hào)異”(四)定義鞏固(10分鐘)例1利用差角余弦公式求cos15°的值分析：引導(dǎo)學(xué)生用15°=45°-30°,和15°=60°-45°兩種方法求解.oooo(2) cos15cos105sin15sin105=.(3) cos(21o)cos(24o)sin(21o)sin(24o)=.4 5

8、例2已知sin一，(,),cos一,是第二象限角，求cos(-)的值.5 213分析：注意各角所在象限的符號(hào)，對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生，把條件(一，)去掉，結(jié)果又如何？2例3公式逆用求3cos15o*sin15°的值22設(shè)計(jì)意圖:定義，概念結(jié)束之后，緊接著應(yīng)對(duì)定義進(jìn)行鞏固，最好的辦法就是運(yùn)用實(shí)例。通過兩個(gè)既簡(jiǎn)單又具代表性的題目對(duì)公式的應(yīng)用進(jìn)行鞏固，效果很好，之中還加入了例題的變換條件，擴(kuò)展學(xué)生的思維。(五)回顧提高(5分鐘)剛才我們經(jīng)歷了兩角差的余弦公式的完整、曲折探索過程，回顧來看，大家有什么啟發(fā)和感悟？(引導(dǎo)學(xué)生從思想方法，思路轉(zhuǎn)換等方面去總結(jié)提高)公式探究的一般步驟：特殊猜想證明根據(jù)你

9、所總結(jié)的知識(shí)，能否證明下面的公式：例4對(duì)于任意的，cos()coscossinsin分析：可以把+看成是-(-)；或者根據(jù)兩角差的余弦公式探索過程，重新證明兩角和的余弦公式；設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生經(jīng)歷探索的過程之后，適當(dāng)?shù)奈覀儜?yīng)該做一些總結(jié)，而總結(jié)的最好方法就是用一些相似的題目去加以鞏固提高，培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問題的能力，這樣對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力的提高有很好的效果。11,求cos的值。14（六）課堂練習(xí)（3分鐘）1例5,都是銳角cos,COS（分析：兩角和的余弦公式的逆用（七）課堂小結(jié)（5分鐘）1 .學(xué)生小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)到了什么知識(shí)、怎么獲得這些知識(shí)和有什么感悟與體會(huì)三方面進(jìn)行小結(jié).2.教

10、師小結(jié)：（1）本節(jié)課所走過的路:siiu（信+購(gòu)=?提出問題t=?1猜想.舉反例推翻猜想.并分析猜想不成立原因；探求結(jié)果以退求進(jìn)P從a而端F是銳角開始探究I特殊值監(jiān)證，確認(rèn)猜想，探殲問號(hào)頁(yè)4觀察猜想結(jié)果的構(gòu)成及其結(jié)構(gòu)特征，展開聯(lián)想；證明結(jié)果發(fā)現(xiàn)co£（a-0=asacog.+gina;sin磨口證明思路1搞清楚色-聲與相應(yīng)向量夾角的聯(lián)系與區(qū)別1給出證明.'U工'仙（廈+=sin生MWcogs向的證明；仍未解決的問題匕應(yīng)比+=cosacos15Tin/Esin顏?zhàn)C明；sin（出一戶5=7（2）兩位數(shù)學(xué)大家的名言很好地概括了本節(jié)課的探究思路與學(xué)習(xí)感悟:（八）布置作業(yè)：1教

11、材習(xí)題第2,3,4題中試根據(jù)自己的情況選做2題.；（必做）2課本P138頁(yè)習(xí)題B組第4題。（選做）3思考題：通過今天的學(xué)習(xí)，你能自己推到出sin（）,sin（）的公式嗎?設(shè)計(jì)意圖:針對(duì)學(xué)生素質(zhì)的差異進(jìn)行分層進(jìn)行訓(xùn)練，能使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到拔尖和“減負(fù)”的目的。備選練習(xí):Cl)coal50cos1050+sin15°sin1050l»+sinxsin(.x+15°)(3)CQs32ocQs77o-sm32oc0s670.，.J忑.(4)一uosm+smx設(shè)計(jì)意圖:設(shè)置備用練習(xí)主要是為了避免課堂時(shí)間剩余或者題量不夠而導(dǎo)致課堂到最后不

12、能正常進(jìn)行。備課嘛，做到萬(wàn)無(wú)一失。（九）、板書設(shè)計(jì):兩角差的余弦公式）兩角差的余弦公式證明過程練習(xí)）兩角和的余弦公式八、教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)：1學(xué)生方面：經(jīng)常反問自己這節(jié)課學(xué)到了什么?2教師方面:學(xué)校班級(jí)姓名學(xué)號(hào)知識(shí)與技能（50分）平時(shí)作業(yè)（書面考試、考查、作業(yè)等）（10分）操作與技能考試（含實(shí)踐活動(dòng)）（10分）評(píng)定成績(jī)學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)方法（30分）項(xiàng)目（括號(hào)內(nèi)為該項(xiàng)的滿分值）自評(píng)分?jǐn)?shù)他評(píng)分?jǐn)?shù)教師評(píng)定分?jǐn)?shù)本項(xiàng)得分1.平時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)的參與情況（作業(yè)、討論、活動(dòng)、實(shí)驗(yàn)等）（10分）2.觀察思考及質(zhì)疑的能力（6分）3.猜想、假設(shè)及探究能力（4分）4.對(duì)知識(shí)和信息的處理、分析及應(yīng)用能力（4分）5.學(xué)習(xí)的效率及進(jìn)步情況（6分）情感態(tài)度和價(jià)值觀（20分）項(xiàng)目（括號(hào)內(nèi)為該項(xiàng)的滿分值）1.對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的愛好、興趣及學(xué)習(xí)表現(xiàn)（4分