河海大學(xué)材力課件能量原理

1、4 4 虛功原理（虛位移原理）、虛余功原理（虛力原理）虛功原理（虛位移原理）、虛余功原理（虛力原理）一、虛位移、虛功；虛力、虛余功一、虛位移、虛功；虛力、虛余功虛位移：結(jié)構(gòu)的虛位移：結(jié)構(gòu)的“變形變形協(xié)調(diào)性協(xié)調(diào)性”得到滿足的任得到滿足的任意微小變形（位移）意微小變形（位移）ACFPB真實(shí)位真實(shí)位移移C虛功：力在虛位移上虛功：力在虛位移上作的功。作的功。CPFW 21 實(shí)功實(shí)功CPFW 虛功虛功ACB虛位移虛位移C虛力：任一平衡力系虛力：任一平衡力系對(duì)于完整約束的結(jié)構(gòu)，如右圖，對(duì)于完整約束的結(jié)構(gòu)，如右圖，在梁上加任意力系，必可以和在梁上加任意力系，必可以和約束反力構(gòu)成平衡力系。約束反力構(gòu)成平衡力系

2、。虛余功：虛力在真實(shí)位移虛余功：虛力在真實(shí)位移上所作的功。上所作的功。ACFPB真實(shí)狀態(tài)真實(shí)狀態(tài)EDcmFW 虛余功虛余功D E 任意加一個(gè)力系任意加一個(gè)力系A(chǔ)DFBEm二、虛功原理（虛位移原理）二、虛功原理（虛位移原理）1.1.“真實(shí)力系在虛位移上作的虛功真實(shí)力系在虛位移上作的虛功”等于等于“真實(shí)真實(shí)內(nèi)力在虛內(nèi)位移上所作的虛功內(nèi)力在虛內(nèi)位移上所作的虛功”。2.2.說(shuō)明（以梁為例）說(shuō)明（以梁為例）真實(shí)力系真實(shí)力系A(chǔ)1F1B2F2虛位移虛位移A1B21 2 dxM(x)M(x+dx)真實(shí)內(nèi)力真實(shí)內(nèi)力虛內(nèi)位移虛內(nèi)位移 d“真實(shí)力系在虛位移上作的虛功真實(shí)力系在虛位移上作的虛功” 等于等于 “真實(shí)內(nèi)力

3、在虛內(nèi)位移上所作的虛功真實(shí)內(nèi)力在虛內(nèi)位移上所作的虛功”真實(shí)力系真實(shí)力系A(chǔ)1F1B2F2虛位移虛位移A1B21 2 dxM(x)M(x+dx)真實(shí)內(nèi)力真實(shí)內(nèi)力虛內(nèi)位移虛內(nèi)位移 d iiiFW ldxM 兩者都等于變形體內(nèi)的兩者都等于變形體內(nèi)的虛應(yīng)變能，故相等虛應(yīng)變能，故相等 liiidxMF 3.3.對(duì)于組合變形對(duì)于組合變形 lNlxliiildxFdxMdxMF 4. 4. 是結(jié)構(gòu)平衡的充要條件是結(jié)構(gòu)平衡的充要條件 VW lNNlPxxldxEAxFxFdxGIxMxMdxEIxMxM三、虛余功原理（虛力原理）三、虛余功原理（虛力原理）1.1.“虛力在真實(shí)位移上作的虛余功虛力在真實(shí)位移上作的虛

4、余功”等于等于“虛內(nèi)虛內(nèi)力在真實(shí)內(nèi)位移上所作的虛余功力在真實(shí)內(nèi)位移上所作的虛余功”。2.2.說(shuō)明（以梁為例）說(shuō)明（以梁為例）實(shí)內(nèi)位移實(shí)內(nèi)位移 d真實(shí)位移真實(shí)位移A1B21 2 虛力虛力A1F1B2F2dxM(x)M(x+dx)虛內(nèi)力虛內(nèi)力 iiicFW ldxM liiidxMF M(x)M(x+dx)虛內(nèi)力虛內(nèi)力實(shí)內(nèi)位移實(shí)內(nèi)位移 d虛力虛力A1F1B2F2真實(shí)位移真實(shí)位移A1B21 2 3.3.對(duì)于組合變形對(duì)于組合變形 lNlxliiildxFdxMdxMF 4. 4. 是變形協(xié)調(diào)的充要條件是變形協(xié)調(diào)的充要條件ccVW lNNlPxxldxEAxFxFdxGIxMxMdxEIxMxM四、卡氏

5、定理四、卡氏定理1.1.由虛功原理由虛功原理a.a.Fi 、 i 為真實(shí)狀態(tài)為真實(shí)狀態(tài)2 1 n 1FnF2F nVV 21, 應(yīng)變能應(yīng)變能b.0,b.0, ,di, 為虛位移為虛位移 iiidVdVVd 0, 0 .虛應(yīng)變能虛應(yīng)變能iidFWd . c 虛功虛功因此因此iiiidVdF iiVF 卡氏第一定理卡氏第一定理2.2.由虛余功原理由虛余功原理a.a.Fi 、 i 為真實(shí)狀態(tài)為真實(shí)狀態(tài)2 1 n 1FnF2F nccFFFVV21, 應(yīng)變余能應(yīng)變余能b.0,b.0, ,dF Fi, 為虛力系為虛力系 iiciccdFFVdFVVd 0, 0 .虛應(yīng)變余能虛應(yīng)變余能iicdFWd .

6、c 虛余功虛余功iiciidFFVdF 因此因此iciFV 5 5 莫爾定理（莫爾定理（單位荷載法單位荷載法）1.1.欲求欲求C處位移處位移C，另畫一梁，另畫一梁，只在只在C處加一單位荷載，視為虛處加一單位荷載，視為虛力，它引起的內(nèi)力為虛內(nèi)力力，它引起的內(nèi)力為虛內(nèi)力C ACFPmB真實(shí)狀態(tài)真實(shí)狀態(tài)2.2.由虛余功原理由虛余功原理 lcdxMFW 虛應(yīng)變余能虛應(yīng)變余能虛余功虛余功c llCdxEIxMxMdxM 1 ACF=1B虛力虛力虛內(nèi)力虛內(nèi)力M(x)5 5 莫爾定理（單位荷載法）莫爾定理（單位荷載法）一般形式一般形式C ACFPmB真實(shí)狀態(tài)真實(shí)狀態(tài) iiilNiNilPxixiliiCdx

7、EAFFdxGIxMxMdxEIxMxM1ACF=1B虛力虛力虛內(nèi)力虛內(nèi)力M(x)C：真實(shí)位移，不妨稱為真實(shí)位移，不妨稱為C點(diǎn)點(diǎn)n方向方向的位移；的位移；Mi、Mxi、FNi：原荷載下，原荷載下，i 桿中的彎矩、桿中的彎矩、扭矩和軸力；扭矩和軸力；Mi、Mxi 、FNi ：結(jié)構(gòu)受結(jié)構(gòu)受C點(diǎn)點(diǎn)n方向單位荷方向單位荷載時(shí)，載時(shí)，i桿中的彎矩、扭矩和軸力；桿中的彎矩、扭矩和軸力；例例1 1：求：求A A處位移及轉(zhuǎn)角。已知處位移及轉(zhuǎn)角。已知BC=CD=2l，CA=l；各截面各截面EA、EI。ACFBD1. 求求A在在F作用下作用下單位荷載作用下單位荷載作用下AC1BDlxxFMAC 0 lxFFDC2

8、0 2/3 lxxFMBC20 2/ lxxMAC 0 1lxFDC20 2/3 lxxMBC20 2/1 ACFBDAC1BD ilNiNiiliiAiidxEAFFdxEIxMxM1dxEAFdxEIFxdxEIFxlllA 2020202494lxFxMAC 0 lxFFDC20 2/3 lxFxMBC20 2/ lxxMAC 0 lxFDC20 2/3 lxxMBC20 2/ ACFBDlxMAC 0 1lxlFDC20 2/1 lxlxMBC20 2/ 2.求求AAC1BD在在F作用作用下下單位單位荷載荷載作用作用下下lxFxMAC 0 lxFFDC20 2/3 lxFxMBC20

9、2/ lllAdxEAlFdxEIlxFxdxEIFx202002/12/32/2/11 例例2 2：求：求B B處轉(zhuǎn)角及處轉(zhuǎn)角及A A、C C兩點(diǎn)在其連線方兩點(diǎn)在其連線方向的位移（不考慮軸力影響）向的位移（不考慮軸力影響）。1.求求BlxFxMAB 0 lxFlMBD20 ACFBlllDAC1BlllDlxMAB 0 0lxMBD20 1 EAFldxEIFllB220211 lxFxMAB 0 lxFlMBD20 ACFBlllDAC1BlllDlxMAB 0 0lxMBD20 1 EAFldxEIFllB220211 因?yàn)橐驗(yàn)榕c與MBD方向方向相反相反2.求求A A、C C兩點(diǎn)在其連線

10、方向的位移兩點(diǎn)在其連線方向的位移ACFBlllD dxEIxlFldxEIxFxllAC 0022221AC1BD1lxxMAB 0 22 lxxlMBC 0 22lxMCD 0 0lxFxMAB 0 lxFlMBC 0 lxFlMCD 0 例例3 3 軸線為半圓形的平面曲桿如圖示，其軸線為半圓形的平面曲桿如圖示，其曲率半徑曲率半徑R R遠(yuǎn)大于橫截面的直徑遠(yuǎn)大于橫截面的直徑。試求試求F F力作力作用下用下A A點(diǎn)的撓度。點(diǎn)的撓度。RFAB解：對(duì)曲率半徑解：對(duì)曲率半徑R R遠(yuǎn)大于梁高的曲遠(yuǎn)大于梁高的曲梁，計(jì)算方法類似于直桿。梁，計(jì)算方法類似于直桿。D截面上的內(nèi)力截面上的內(nèi)力 cos1 sin F

11、RTFR扭矩扭矩彎矩彎矩DAF dds段應(yīng)變能段應(yīng)變能PGIdsTEIdsMdV2222 PGIRPEIRPV4343232 功的互等及位移互等定理（線彈性）功的互等及位移互等定理（線彈性）AF1BAFBAF1BFAFBF1AF1B11 21 AF1BF11 12 21 22 AFBF111 12 21 22 AFB12 22 12122211112121 FFFV 21211122222121 FFFV AF1B11 21 AF1BF11 12 21 22 AFBF111 12 21 22 AFB12 22 212121 FF功的互等定理：功的互等定理：F1在在“F引起的位移引起的位移12”上作的功，上作的功， 等于等于 F2在在“F引起的位移引起的位移21”上作的功。上作的功。AFB12 22 2112 作用力相等或均取為單位荷載時(shí)：作用力相等或均取為單位荷載時(shí)：AFB11 21 2112 位移互等定理：位移互等定理：A1B12 DC位移互等定理：位移互等定理：C處單