初二奧數(shù)題及答案

1、初二數(shù)學(xué)奧數(shù)1 如圖，梯形ABCD中,AD/BC,DE EC,EF/AB交 BC于點(diǎn)F,EF= EC,連結(jié)DF。(1)試說明梯形ABCD是等腰梯形；假設(shè)AD= 1, BC= 3, DO 2，試判斷厶DCF的形狀；(3)在條件(2)下，射線BC上是否存在一點(diǎn) P,使厶PCD是等腰三角形，假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫 出PB的長；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。2、在邊長為6的菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿 B宀C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接 DM交AC于點(diǎn)N.1如圖251，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，連接BN. 求證： ABNADN ; 假設(shè)/ ABC = 60 ° AM = 4，求點(diǎn) M到AD的距離；2如圖252

2、，假設(shè)/ ABC = 90°記點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為 x6<x< 12試問：x 為何值時(shí)， ADN為等腰三角形.圖 25-1©25-23、對(duì)于點(diǎn) O M點(diǎn) M沿 MO勺方向運(yùn)動(dòng)到 O左轉(zhuǎn)彎繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到 N使OMk ON,且OML ON, 這一過程稱為M點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)完成一次“左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)正方形ABCD點(diǎn)P, P點(diǎn)關(guān)于A左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到 Pi, Pi關(guān)于B左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到 F2, F2關(guān)于C左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P3, P3關(guān)于D左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到 R, R關(guān)于A左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到 F5,.1請(qǐng)你在圖中用直尺和圓規(guī)在圖中確定點(diǎn)Pi的位置；2連接PiA、PiB,判斷 ABP與厶ADP之間有怎樣的關(guān)系？并

3、說明理由。以D為原點(diǎn)、直線 AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，并且點(diǎn)B在第二象限，A P兩點(diǎn)的坐標(biāo)為0, 4、 i, i，請(qǐng)你推斷:P4、P202i、 P?02i三點(diǎn)的坐標(biāo).圖iPAr£爲(wèi).:r.H.L-r-'-illl. ?'M i-=-工:! -.i-工-* 奮-i.l*鏗-2-I-.X.TJ'.£ 皆'X一徹-T-i.-x'*!tF-r'-l8:F:'J.''1,I±!為 mTi-i!-i±:?.¥"|3'屮!"rirT'-J 1* *呷

4、I If Ii4.二 iM -rhT-*-.:.li.-4.jl:EyrH'Fhbi -4-1-414、如圖1和2,在20X 20的等距網(wǎng) 格每格的寬和高均是1個(gè)單位長 中，Rt ABC從點(diǎn)A與點(diǎn)M重合的位 置開始，以每秒1個(gè)單位長的速度先 向下平移，當(dāng) BC邊與網(wǎng)的底部重合 時(shí)，繼續(xù)同樣的速度向右平移，當(dāng) 點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，Rt ABC停止 移動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x秒， QAC勺 面積為y.1如圖1,當(dāng)Rt ABC向下平移到 Rt AB1C1的位置時(shí)，請(qǐng)你在網(wǎng)格中畫出Rt ABC關(guān)于直線QN成軸對(duì)稱的圖形；2如圖2,在Rt ABC向下平移的過程中，請(qǐng)你求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明當(dāng)x分

5、別取何值時(shí)，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？3在Rt ABC向右平移的過程中，請(qǐng)你說明當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值和最小值？最大值和最值分別是多少？為什么？5、如圖， ABC中，AB=AC , / B、/ C的平分線交于 0點(diǎn)，過0點(diǎn)作EF/ BC交AB、 AC 于 E、F.(1) 圖中有幾個(gè)等腰三角形 ？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由.(2) 如圖，假設(shè) ABM AC,其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們?cè)诘?1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？如圖，假設(shè) ABC中/ B的平分線B0與三角形外角平分線 CO交于O,過0點(diǎn) 作OE/

6、BC交AB于E,交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎 ？EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由。AF-$6、，如圖， ABC 中，/ BAC=90 ° , AB=AC,D 為 AC 上一點(diǎn)，且 / BDC=124°,延長BA到點(diǎn)E，使AE=AD,BD的延長線交CE于點(diǎn) F，求/ E的度數(shù)。7、如圖，正方形 ABCD勺對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,將一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)0處，讓其繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，三角尺的直角邊與正方形 ABCD勺兩邊交于點(diǎn)E和F。通過觀察或測量 0E,0F的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么？試說明理由。1 解：1證明：T EF=EC ,/ EFC= / ECF, / EF/

7、AB ,/-Z B= / EFC,/ B= Z ECF，梯形 ABCD是等腰梯形；12 DCF是等腰直角三角形，證明：T DE=EC , EF=EC，/ EF= CD ,2 CDF是直角三角形如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，梯形ABCD是等腰梯形， CF= 1 BC-AD=1 ,/ DC= 2 ,由勾股定理得:2DF=1 , DCF是等腰直角三角形；3共四種情況：PB=1 , PB=2, PB=3- 2 , PB=3+ 22、證明：1四邊形 ABCD是菱形， ABN ADN .解：作 MH丄DA交DA的延長線于點(diǎn) H . AB=AD , Z 1 = Z

8、2. 又T AN=AN , 由 AD / BC，得Z MAH= Z ABC=60 ° .在 Rt AMH 中，MH=AM ?sin60=4X sin60=23.點(diǎn)M到AD的距離為23 . AH=2 . DH=6+2=8 .2解：tZ ABC=90 ° ,菱形 ABCD 是正方形.CAD=45 ° .下面分三種情形：I假設(shè) ND=NA，那么Z ADN= Z NAD=45 ° .此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6 ;假設(shè) DN=DA，那么Z DNA= Z DAN=45 ° . 此時(shí)，點(diǎn) M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12 ;川假設(shè) AN=AD=6，那么Z

9、 1 = Z 2./ AD / BC,1 = Z 4，又Z 2= Z 3, Z 3= Z 4. CM=CN . AC=6 2 . CM=CN=AC-AN=6 2-6故 x=12-CM=12- 6 2-6=18-6 2 .綜上所述：當(dāng)x=6或12或18-6 2時(shí)， ADN是等腰三角形。作圖痕跡清晰;2 ABP1 ADP，且 ABP1可看成是由 ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得.理由如下：在 ABP1和厶ADP中,由題意：AB=AD , AP=AP1,Z PAD= Z P1AB , ABP1 ADP , 又 ABP1和厶ADP有公共頂點(diǎn) A，且Z PAP1=90 ABPi可看成是由 AD

10、P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得；3點(diǎn)P 1,1關(guān)于點(diǎn)A 0, 4左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到 Pi-3, 3，點(diǎn)Pi-3，3關(guān)于點(diǎn)B-4，4左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P2-5，3，點(diǎn)P2-5，3關(guān)于點(diǎn)C-4，0左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P3-1，1，點(diǎn)P3-1，1關(guān)于點(diǎn)D 0，0左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) P4 1，1，點(diǎn)P4 1，1關(guān)于點(diǎn)A 0，4左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) P5 -3，3，點(diǎn)P5與點(diǎn)P1重合，點(diǎn)P6與點(diǎn)P2重合，點(diǎn)P2021的坐標(biāo)為-3，3點(diǎn)P2021的坐標(biāo)為-5，3.4、解：1如圖， A2B2C2是厶A1B1C1關(guān)于直線QN成軸對(duì)稱的圖形;圖1S 22當(dāng)厶ABC以每秒1個(gè)單位長的速度向下平移 x秒時(shí)如圖2，那么有：MA=x，M

11、B=x+4，MQ=20，y=S 梯形 QMBC-S AMQ-SSBC111=4+20x+4- X 20x- X 4 X 4222=2x+40 0< x< 16.由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=0時(shí)，y取得最小值，且 y最小=40，當(dāng)x=16時(shí)，y取得最大值，且 y最大=2X 16+40=72 ;3解法一： 當(dāng)厶ABC繼續(xù)以每秒1個(gè)單位長的速度向右平移時(shí), 此時(shí) 16W xw 32，PB=20- x-16=36-x，PC=PB-4=32-x，- y=S 梯形 BAQP-SCPQ-SABC =1 4+20 36-x-1 X 20 X 32-x- 1 X 4 X 42 2 2=-2x+104

12、 16< x w 32.由一次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)x=32時(shí)，y取得最小值，且y 最小=-2 X 32+104=40 ;當(dāng)x=16時(shí)，y取得最大值，且 y最大=-2 X 16+104=72 .解法二：在厶ABC自左向右平移的過程中， QAC在每一時(shí)刻的位置都對(duì)應(yīng)著2中厶QAC某一時(shí)刻的位置, 使得這樣的兩個(gè)三角形關(guān)于直線QN成軸對(duì)稱.因此，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，只需考查厶ABC在自上至下平移過程中厶 QAC面積的變化情況， 便可以知道 ABC在自左向右平移過程中厶 QAC面積的變化情況. 當(dāng)x=16時(shí)，y取得最大值，且y最大=72, 當(dāng)x=32時(shí)，y取得最小值，且y最小=40.5、解：1圖中有

13、5個(gè)等腰三角形，EF=BE+CF , BEO CFO,且這兩個(gè)三角形均為等腰三角形， 可得 EF=EO+FO=BE+CF ;2還有兩個(gè)等腰三角形，為BEO> CFO ,如以下圖所示： EF/ BC ,aZ 2= / 3,又/ 1 = / 2 ,/ 仁/3, BEO為等腰三角形，在 CFO中，同理可證. EF=BE+CF 存在.3有等腰三角形： BEO、 CFO,此時(shí)EF=BE-CF ,如以下圖所示：OE/ BC， / 5=7 6,又/ 4= 7 5，/ 4= 7 6 , BEO是等腰三角形，在厶CFO中，同理可證 CFO是等腰三角形，此時(shí) EF=BE-CF ,6、解：在 ABD和厶ACE中，/ AB=AC，/ DAB= / CAE=90 ° AD=AE , ABD ACE SAS，/ E= / ADB ./ ADB=180 ° -/ BDC=180 ° -12